电动力学-矢量分析与场论.ppt

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1、电动力学-2013,邹正峰求是楼 233#689487959-16周16次课期末考试80%平时成绩20%每周交一次作业,电动力学,矢量分析与场论电动力学参考书：矢量分析与场论谢树艺，高教出版社电动力学 郭硕鸿，高教出版社电动力学简明教程 俞允强，北大出版社,矢量分析与场论数学预备,矢量及基本运算矢性函数的运算规则哈密顿算子及其简易计算方法积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式场梯度、散度、旋度有势场管形场,矢量,矢量：既有大小（模），又有方向,数量,矢量,矢量的坐标表示方法,基矢,矢量可以用三个有序的数量表示,矢量,矢量的模,单位矢量,矢量的加、减,加、减,矢量的加、减，满足平行四边形法则。,以两

2、矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。,标积,标积,两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。,矢积,积，或矢积,矢积是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。,并矢,并矢,又可以表示为,并矢与张量,张量：就是有坐标的量，它们不随参照系的坐标变换而变化坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标系里，具有三个与坐标相关的独立变量集

3、合，矢量坐标组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，并矢依次类推，三阶，四阶本课程中，如无特别指明，张量均指二阶张量,矢量的运算符,标量的运算符,矢量的运算符,三矢量的混合积,三矢量的混合积,三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。,三矢量的矢积,三矢量的矢积,三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。,“远交近攻”,例：证明证明：是一个矢量，令，有：利用三矢量的

4、矢积公式可以得到，于是可得，,矢性函数的定义,概念 常矢：模和方向都保持不变的矢量。零矢量方向任意，作为常矢特例。变矢：模和方向只要有一个会变化（除零矢量外）即为变矢。,矢性函数,矢性函数 在 直角坐标系中的三个坐标(即它在三个坐标轴的投影)显然都是 的函数.矢性函数的坐标为,矢性函数的坐标表达式为：,矢性函数可以用三个有序的数性函数表示,矢端曲线，矢径，距离矢量,矢径：,距离矢量：,矢性函数的极限,极限定义设矢性函数 在t0点的某个邻域内有定义(但t0点可以没有定义)，为一常矢，若 都，使得当t 满足 时，定有，就称 为矢性函数 当 时的极限。记为：,根据极限运算性质可得到,矢性函数的极限,

5、一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数的极限来描述（或表示）。,矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分,一个矢性函数的（），可以用三个有序的数性性函数的（）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分,极限连续导数,矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分,一个矢性函数的（），可以用三个有序的数性函数的（）来描述（或表示）。极限、连续、导数、微分、积分,微分不定积分定积分,当两个矢量运算时，先进行基矢间的运算，然后再进行函数间的运算。基矢之间的运算规则是与运算符相邻的两个基矢之间发生运算关系。基矢运算只有点、叉、并运算。而函数间运算包含了乘、微分、积分等关系。,矢量运算的基本方法,矢量的

6、基矢运算规则,哈密顿算符,哈密顿算符是一个矢性微分算符，在运算中具有矢量和微分的双重性质。在直角坐标系中，可表示为其运算规则是：,算符,哈密顿算符矢量公式,矢量公式,在下面的公式中 为矢径,证明算子 的公式例：证明,哈密顿算符的运算方法,“先微分，后矢量”分为三步：第一步：利用的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中只作用于一个函数上。此时可在算符的下标标明算符所作用的函数或者在算符不作用的函数下加临时的常数标记,哈密顿算符的运算方法,第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使得算符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数移到算符作用范围外面或第三步，抹去下标，得到结果,例

7、：证明先微分 再矢量去掉下标证毕,例：证明先微分再矢量去掉下标证毕,例：证明先微分再矢量去掉下标证毕,强调：,1：是一个算符，不能看成一个矢量,2：哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一个整体，缺一不可，不能单独使用。,没有对 做微分运算,对做了微分运算,积分变换式-1,高斯公式（奥式公式）上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。采用符号来表示，可将上式写成：,积分变换式-2,斯托克斯公式上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。采用符号来表示，可将上式写成：,场,如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一

8、个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场数量场：温度，密度，电位矢量场：电场强度，力，速度稳定场：不稳定场：数量场的等值面和等值线：矢量场的矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切,方向导数,设M0为数量场 u=u(M)中的一点，从点出发引一条射线l,在l上的点M0的临近取一动点M，记，如右图。若当MM0时比式的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数。,方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率,定义,计算公式,其中,方向导数最大值与方向,l方向上的单位矢量,取矢量,有,梯度,若在数量场u(M)中的一点M处，存在这样的一个矢量，其方向为函数u(M)在M点处

9、变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量 为函数u(M)在点M处的梯度，记作：,定义,计算公式,性质,方向导数等于梯度在该方向上的投影，即 梯度垂直于过该点的等值面，且指向数量增大的方向,通量,设有矢量场，沿其中有向曲面S的某一侧的曲面积分叫做矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面S的通量,定义,通量可叠加,散度,设有矢量场，于场中一点M的某个邻域内作一包含M点在内的任一封闭曲面，设其所包围的空间区域为，以 表其体积，以 表从其内穿出S的通量，若当 以任意方式缩向M点时，比式之极限存在，则称此极限为矢量场在点M处的散度，记作,定义,散度表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处源的

10、强度,散度的计算公式,矢量场,高斯公式（奥氏公式）,由高斯公式,再根据中值定理，在 中总能找到一点，使,由定义,环量,设有矢量场，沿其中某一封闭的有向曲线l的曲线积分叫做矢量场 按积分所取方向沿曲线l的环量,定义,环量面密度,设有M为矢量场 中的一点，在M点处取定一个方向，再过M点任作一微小曲面,以 为其在M点处的法矢，其周界 之正向取作与 构成右手螺旋关系，则矢量场沿 之正向的环量 与面积 之比，当曲面 在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，若 的极限存在，则称其为矢量场 在点M处沿方向 的环量面密度，记作：,定义,环量面密度表示环量对面积的变化率,环量面密度的计算公式,矢量场,斯托

11、克斯公式,根据中值定理,环量面密度变化率最大值与方向,方向上的单位矢量,取矢量,有,旋度,若在矢量场 中的一点M处存在这样的一个矢量，矢量场 在点M处沿其方向的环量面密度为最大，且最大的数值为，则称矢量 为矢量场 在点M处的旋度记作：,定义,计算公式,性质,环量面密度等于旋度在该方向上的投影，即,梯度、散度、旋度,哈密顿算子,雅可比矩阵,积分变换式,高斯公式（奥式公式）斯托克斯公式,思考题,的含义？,梯度、散度、旋度,哈密顿算子,设矢量场，若存在单值函数 满足；则称此矢量场是有势的。令，并称 为这个场的势函数。,有势场,定义,有势场为一个梯度场。有势场的势函数为无穷多。,性质,定理,定理：在线单连域内矢量场 为有势场的充要条件是其旋度在场内处处为零。,必要性：,充分性：,与积分 路径无关,证毕,结论：,有势场梯度场无旋场保守场,与积分 路径无关,设矢量场，若其散度，则称此矢量场是管形场。管形场就是无源场。,管形场,定义,管形场无源场旋度场,柱坐标系中用哈密顿算符表示梯度、散度、旋度,在球坐标系中哈密顿算符表示梯度、散度、旋度,拉普拉斯算子与调和量,拉普拉斯算子调和量,