常数项级数的概念和性质(印).ppt
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1、1,第九章 无穷级数,2,无穷级数,无穷级数,常数项级数,幂级数,第九章,主要研究无限个量相加的问题,包括,无限个数和无限个函数相加的问题。,3,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,4,1.引例:计算圆的面积.,正三角形的面积,这个和逼近于圆的面积 A.,a1,即,正十二边形面积为,正六边形的面积,a1+a2+a3,一、常数项级数的概念,5,1.定义:,给定一个数列,将各项依,即,称为(常数项)无穷级数.,次相加所构成的式子:,说明:,简记为,一、常数项级数的概念,(2)无穷级数(每一项都是数)也称为常数项无穷级数,,简
2、称(常数项)级数。,6,问题1:“无穷个数相加”是否一定有和?,例如:,1(1)1(1)1(1)+,如果写成,(11)(11)(11)+,结果是0,如果写成,1(1)1(1)1,结果是1,结果不同,故“无穷个数相加”不一定有和,问题2:如果存在和,和等于什么?,7,再看例子,Sn=0.333,n,两个概念:,(1)级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,其中,(2)称 为级数的部分和数列.,8,即,并记作:,或者称该级数没有和.,2.级数的收敛与发散:,注意:,(1)常数项级数收敛(发散),存在(不存在).,收敛与发散二者必居其一.,(2)给定一个级数,,(3)级数收敛时才有和,发散时就没有和
3、.,9,余项,(4)如果级数,收敛于s,,即,这时:,显然,存在,级数 收敛,10,3.级数的敛散性举例:,解,所以级数的部分和为:,例1,所以原级数发散.,11,解,例2,判断级数,的敛散性.,若收敛,求其和s.,所以级数收敛,,和 s=1.,即,技巧:,利用“拆项相消”求和,12,例3 讨论等比级数,(又称几何级数),解,收敛,发散,时,发散,当 时,,的敛散性.,当 时,,级数变为,13,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,不存在,因此级数发散.,综上,收敛,,发散,,收敛;,收敛;,发散;,发散.,如:,其和为1.,14,解,所以级数的部分和为:,例4,判断级数,的敛散性.,所以原级数
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