工程计算4插值和拟合.ppt

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1、Summer Grass Fade,Arial Font Family,2023/10/26,2,4 插值和拟合,4.1 引言4.2 插值4.3 分段低次插值4.4 三次样条插值4.5 正交多项式4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,3,4.1 引言,4.1.1 函数的插值4.1.2 离散数据的拟合,插值和拟合都是在给定点列xi，yi0n的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。,2023/10/26,4,4.1 引言,4.1.1 函数的插值,区间a，b上的连续函数的全体记为Ca，b,定义 4.1.1 设y=f(x)

2、Ca，b，已知f 在Ca，b 上n+1个互异点,ax0,x1,xn-1,xn b xi xj（i j）,的值 yi=f(xi)（i=0，1，2，n）,如果有不超过n次的多项式 Ln(x)=c0+c1x+c2x2+cnxn,2023/10/26,5,4.1 引言,满足 Ln(xi)=yi（i=0，1，2，n）(4.1),称Ln(x)为f(x)在区间a，b上通过点列xi,yi0n的插值多项式。,其中，a，b称为插值区间，,xi,yi0n称为插值节点，,xi称为插值点，,f(xi)称为插值函数，,(4.1)称为插值条件。,2023/10/26,6,4.1 引言,定理4.1.1 由式(4.1)确定的插

3、值多项式Ln(x)存在唯一。,插值的工程背景,函数插值的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性,2023/10/26,7,4.1 引言,4.1.2 离散数据的拟合,如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数y=(x),选择(x)由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。,确定数学模型中的参数,拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。,2023/10/26,8,4.2 插值,4.2.1 拉格朗日插值法 4.2.2 插值的余项4.2.3 均差和牛顿插值,2023/10/26,9,4.2 插值

4、,4.2.1 拉格朗日插值法,已知点列xi，yi0n，确定插值多项式,n=1时，点列包含2个点，x0，y0和x1，y1，则只能做一条直线。,2023/10/26,10,4.2 插值,n=2时，点列包含3个点，,x0，y0、x1，y1、x2，y2,可做不超过2次的多项式,2023/10/26,11,4.2 插值,推广到一般情况，定义n+1个n次多项式,称为拉格朗日插值基函数。,2023/10/26,12,4.2 插值,n=2时的基函数,2023/10/26,13,4.2 插值,n=3时的基函数,2023/10/26,14,4.2 插值,插值基函数满足,(k，i=0，1，2，n),插值函数为,如果

5、取函数为f(x)=1，则yk=1(k=0,1,2,n)，有,2023/10/26,15,4.2 插值,4.2.2 插值的余项,令,如果f(x)C2a，b，采用线性插值，令,Rn(x)=f(x)Ln(x),则,则,2023/10/26,16,4.2 插值,4.2.3 均差和牛顿插值,定义一阶差商,如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。,如n=1时,N1(x)=y0+fx0，x1(xx0),2023/10/26,17,4.2 插值,当n=2时，再定义一阶差商和二阶差商,并有,N2(x)=f(x0)+fx0，x1(xx0)+fx0，x1，x2(xx0)(xx1),2023/10/26,18,4.

6、2 插值,对一般情况，定义各阶差商,2023/10/26,19,4.2 插值,差商的性质：,1)线性性,如果 f(x)=ay(x)+bz(x),2),3)对称性：,2023/10/26,20,4.2 插值,4)n次多项式关于x，xi的一阶差商为n-1次多项式,则Ln(x)仍为n次多项式，且Ln(xi)=0，所以,设Pn(x)为n次多项式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi),Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中 Pn-1(x)为n-1次多项式，从而有,2023/10/26,21,4.2 插值,差商表,2023/10/26,22,4.2 插值,牛顿插值多项式,f

7、(x)=f(x0)+(xx0)fx，x0,fx，x0=fx0，x1+(xx1)fx,x0,x1,fx,x0,x1=fx0,x1,x2+(xx2)fx,x0,x1,x2,fx,x0,xn-1=fx0,x1,xn+(xxn)fx,x0,xn,f(x)=f(x0)+(xx0)fx，x0+(xx0)(xx1)fx0,x1,x2+(xx0)(xx1)(xxn-1)fx0,x1,xn+(xx0)(xx1)(xxn)fx,x0,xn=Nn(x)+Rn(x),2023/10/26,23,4.2 插值,插值函数为,Nn(x)=f(x0)+fx0，x1(xx0)+fx0,x1,x2(xx0)(xx1)+fx0,x

8、1,xn(xx0)(xx1)(xxn-1),=f(x0)+fx0，x11(x)+fx0,x1,x22(x)+fx0,x1,xnn(x),均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的插值点，以前的计算公式不变。,2023/10/26,24,4.2 插值,牛顿插值余项为,Rn(x)=(xx0)(xx1)(xxn)fx,x0,xn=n+1(x)fx0,x1,xn,拉格朗日插值余项为,显然 Rn(xi)=0,因此,2023/10/26,25,4.2 插值,2023/10/26,26,4.2 插值,2023/10/26,27,4.2 插值,2023/10/26,28,4.3 分段插值,4.3.1 龙格现

9、象和分段线性插值 4.3.2 分段埃尔米特三次插值,2023/10/26,29,4.3 分段插值,4.3.1 龙格现象和分段线性插值,高阶插值可能出现龙格现象,例4.3.1 函数 在区间-5,5取等距插值节点,当n=10时，10次插值多项式L10(x)和f(x)如下图。,出现龙格现象。当n取过高时常出现龙格现象，且n继续取大，龙格现象依然存在,2023/10/26,30,4.3 分段插值,采用分段低次插值是消除龙格现象的有效方法，通常采用线性插值，三次插值等,2023/10/26,31,4.3 分段插值,定义4.3.2 函数f(x)Ca,b，n+1个有序节点xi0n满足,称为区间a，b的一个划

10、分。,：a=x0 x1xn1xn=b,x0和xn称为边界点，x1，xn1称为内点。,中的相邻两点xi，xi+1构成区间a,b的子区间xi,xi+1,记子区间的最大长度,2023/10/26,32,4.3 分段插值,则称分段线性函数,为f(x)在区间a,b上关于划分的分段线性插值多项式,其中插值基函数,当i=0时没有第1式，当i=n时没有第2式。,2023/10/26,33,4.3 分段插值,在子区间xi，xi+1上，Ih(x)的表达式为,可以证明，只要h充分小，因而n充分大，就可在插值区间a，b上满足精度要求。即分段线性插值是一致收敛的。,分段线性插值的一阶导数不连续。这点不如高阶插值,202

11、3/10/26,34,4.3 分段插值,4.3.2 分段埃尔米特三次插值,为保证导数连续，增加对导数的要求。,当只有两个插值点，x0 x1，且,yk=f(xk)，mk=f(xk)k=0，1,在区间x0，x1上求多项式H(x)，使得满足插值条件,H(xk)=yk，H(xk)=mk k=0，1,因为有4个插值条件，因此插值函数H(x)为次数不超过3次的多项式，称为埃尔米特三次插值。,2023/10/26,35,4.3 分段插值,定理 设 f(x)C1x0，x1，则在区间x0，x1上满足插值条件,的不超过3次的多项式H(x)存在唯一。并有,H(xk)=yk，H(xk)=mk k=0，1,H(x)=0

12、(x)y0+1(x)y1+0(x)m0+1(x)m1,2023/10/26,36,4.3 分段插值,其中插值基函数,2023/10/26,37,4.3 分段插值,2023/10/26,38,4.3 分段插值,如果f(x)C4a，b，插值余项为,Rn(x)=f(x)Ln(x)=,(xx0)2(xx1)2,xx0，x1,这里：x=(x)(x0，x1),2023/10/26,39,4.3 分段插值,插值基函数满足的条件为,0(x0)=1，0(x1)=0，0(x0)=0，0(x1)=0,1(x0)=0，1(x1)=1，1(x0)=0，1(x1)=0,0(x0)=0，0(x1)=0，0(x0)=1，0(

13、x1)=0,1(x0)=0，1(x1)=0，1(x0)=0，1(x1)=0,2023/10/26,40,4.3 分段插值,定义4.3 设f(x)C1a，b，对于划分,记子区间的最大长度,：a=x0 x1xn1xn=b,yi=f(xi)，mi=f(xi)i=0，1，2，n,则称分段三次线性函数,Hh(x)=i(x)yi+i+1(x)yi+1+i(x)mi+i+1(x)mi+1,x xi，xi+1，i=0，1，2，n1,为f(x)在区间a，b上关于划分的分段埃尔米特三次插值多项式。,2023/10/26,41,4.3 分段插值,其中插值基函数为,2023/10/26,42,4.3 分段插值,Hh(

14、x)满足边界条件,Hh(x0)=y0，Hh(x0)=m0Hh(xn)=yn，Hh(xn)=mn,和内节点处的衔接条件,Hh(xi0)=Hh(xi+0)=yi，Hh(xi0)=Hh(xi+0)=mi i=0，1，2，n1,2023/10/26,43,4.3 分段插值,可以证明，如果f(x)C1a，b，则Hh(x)一致收敛到f(x)，且Hh(x)一致收敛到f(x)。,埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值,2023/10/26,44,4.4 三次样条插值,4.4.1 样条插值的背景和定义 4.4.2 三次样条插值的定解条件 4.4.3 三弯矩方程,2023/10/26,45,4.

15、4 三次样条插值,4.4.1样条插值的背景和定义,埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。,定义4.4 对于区间a，b，给定一个划分,：a=x0 x1xn1xn=b(n2),如果函数s(x)在每个子区间xi，xi+1都是不超过m次的多项式(m1)，并且m1导数s(m1)(x)在内节点x1，xn1处连续，则称s(x)为区间a，b上关于划分的m次样条函数。,2023/10/26,46,4.4 三次样条插值,对于函数 f(x)Ca，b，如果s(x)还满足插值条件,s(xi)=f(xi)i=0，1，2，n,则称s(x)为f(x)在区间a，b上关于划分的m次样条插值

16、多项式。,2023/10/26,47,4.4 三次样条插值,4.4.2 三次样条插值的定解条件,三次样条插值多项式s(x)是在划分上的分段三次多项式,s(x)=aix3+bix2+cix+di i=0，1，2，n1,其中ai、bi、ci、di为待定系数，共4 n个。,s(x)应该满足的条件有,插值和函数连续条件2n个；,n1个内点处的一阶导数连续条件,s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，n1,2023/10/26,48,4.4 三次样条插值,n1个内点处的二阶导数连续条件,s(xi0)=s(xi+0)i=0，1，2，n1,一共4 n2个条件，因此需要附加两个条件。,固支条件 已知两端点

17、的一阶导数,s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn),已知两端点的二阶导数,s(x0)=f(x0)，s(xn)=f(xn),如果两端点的二阶导数f(x0)=f(xn)=0，称为自然边界条件,常用的有如下三个条件,2023/10/26,49,4.4 三次样条插值,周期条件,s(x0+0)=s(xn0)s(x0+0)=s(xn0),其中，显然有s(x0+0)=s(xn0)。,这种方法需要求解4n阶的线性方程组,2023/10/26,50,4.4 三次样条插值,4.4.3 三弯矩方程,三弯矩方程只需要解一个不超过n+1阶的线性方程组。,hi=xi+1 xi i=0，1，2，n1,把a，b看作一

18、段梁，划分的内点上作用剪力，设子区间xi，xi+1的长度为,在子区间xi，xi+1上，弯矩为线性函数，设弯矩,M(x)=s(x)Mi=M(xi),2023/10/26,51,4.4 三次样条插值,则,x xi，xi+1 i=0，1，2，n1,上式保证了在内点处s(x)连续。,经过两次不定积分，有,x xi，xi+1 i=0，1，2，n1,2023/10/26,52,4.4 三次样条插值,由插值条件可得,x xi，xi+1 i=0，1，2，n1,此即三次样条插值,2023/10/26,53,4.4 三次样条插值,它的一阶导数,x xi，xi+1 i=0，1，2，n1,其中，fxi，xi+1是一阶

19、差商。因此,s(xi+0)=fxi，xi+1hi(2Mi+Mi+1)/6,s(xi+10)=fxi，xi+1+hi(Mi+2Mi+1)/6,由于在内节点一阶导数连续，有,s(xi0)=s(xi+0),2023/10/26,54,4.4 三次样条插值,即,i=1，2，n1,令,fxi1，xi+hi1(2Mi1+Mi)/6=fxi，xi+1 hi(2Mi+Mi+1)/6,i Mi1+2 Mi+iMi+1=fxi1，xi，xi+1 i=1，2，n1,这是待定值 Mi n0满足的线性方程组，称为三弯矩方程。,2023/10/26,55,4.4 三次样条插值,现在还缺2个方程，由边界条件决定，分别为,M

20、0=f(x0)Mn=f(xn),n M1+nMn1+2Mn=M0=Mn,其中,2023/10/26,56,4.4 三次样条插值,与内节点方程联立，得到三种方程组,2023/10/26,57,4.4 三次样条插值,2023/10/26,58,4.4 三次样条插值,可写成统一形式,AM=d,把求得的弯矩值代入,即得到三次样条插值多项式。而且还可得到它的导数s(x)和s(x)。,由于 i 0，i 0，i+i=1，因此，系数矩阵A是三对角或仅比三对角多两个元素的严格对角占优矩阵，解存在其数值稳定。,2023/10/26,59,4.4 三次样条插值,三弯矩方程算法,输入参数：区间a，b划分,函数在节点处

21、的函数值,：a=x0 x1xn1xn=b,yi=f(xi)i=0，1，2，n,边界条件类型,2023/10/26,60,4.4 三次样条插值,计算参数,hi=xi+1 xi fxi，xi+1=(xi+1 xi)/hi,i=0，1，2，n1,2023/10/26,61,4.4 三次样条插值,根据边界条件类型计算,M0=f(x0)Mn=f(xn),2023/10/26,62,4.4 三次样条插值,求解与边界条件对应的三弯矩方程,把求得的弯矩值代入，即得到三次样条插值多项式。而且还可得到它的导数s(x)和s(x)。,2023/10/26,63,4.5 正交多项式,4.5.1 连续函数空间4.5.2

22、离散点列上的正交多项式4.5.3 连续区间上的正交多项式,2023/10/26,64,4.5 正交多项式,这里讨论连续函数空间Ca，b。,定义4.5.1 设函数f1,f2,fnCa，b，如果当且仅当1,2,n均为零时才有,则称f1,f2,fn线性无关，否则称它们线性相关。,连续函数空间Ca，b 是无限维的。,4.5.1 连续函数空间,2023/10/26,65,4.5 正交多项式,定义4.5.2 设函数f1,f2,fnCa，b线性无关，它们的线性组合的全体构成的集合记作,并称Sn为在Ca，b中由f1,f2,fn张成的子空间，或生成子空间。,多项式子空间：,2023/10/26,66,4.5 正

23、交多项式,函数空间中的内积与范数 两种：离散的和连续的,设有点列，设,离散意义下的内积定义为函数值向量的内积,记函数fCa，b在点列 处的值向量为,f=f(x0),f(x1),f(xm)TRm+1,其中wi0为给定的权数。对应的2-范数为,2023/10/26,67,4.5 正交多项式,连续意义下的内积定义为,其中(x)0为给定的权函数。对应的2-范数为,2023/10/26,68,4.5 正交多项式,函数的正交性 如果函数f，gCa，b且(f，g)=0称函数f，g正交,如果函数序列 满足,则称函数组 为正交函数序列。,正交函数序列线性无关。,2023/10/26,69,4.5 正交多项式,定

24、义4.5.3 给定m+1个点 Ca，b和对应的权数，设有n+1个多项式,其中，若它们在点列 处的值向量,满足正交性,4.5.2 离散点列上的正交多项式,称 为在离散点列 上的带权 的正交多项式序列,2023/10/26,70,4.5 正交多项式,成立的条件 nm，点列 至少有n+1个点互不相等。,2023/10/26,71,4.5 正交多项式,定理4.5.1 对于给定点列,对应的权数如果nm，点列 至少有n+1个互异，可由,递推生成多项式序列，它们是在点列 上的带权 的正交多项式序列。递推过程称为Gram-schmidt正交化过程。,其中 和 均是离散意义下的内积,2023/10/26,72,

25、4.5 正交多项式,定理4.5.2 设 是由(4.5.12)生成的正交多项式序列，则,1)任何k次多项式均可用0(x),1(x),n(x)的线性组合表示；2)k+1(x)与任何不超过k次的多项式正交；3)序列 线性无关，从而是多项式子空间,的一组基。,2023/10/26,73,4.5 正交多项式,推论4.5.1 公式(4.5.12)等价于下列递推公式,其中,2023/10/26,74,4.5 正交多项式,4.5.3 连续区间上的正交多项式,定义4.5.4 给定区间a,b和对应的权函数(x)。设有n+1个多项式,其中，若它们满足,其中(k(x),k(x)是连续意义下的内积，则称为区间a,b上带

26、权(x)的正交多项式序列。,2023/10/26,75,4.5 正交多项式,与离散情况类似1)连续区间上的正交多项式序列可用正交化方法构造2)有同样的三项递推公式,定理4.5.3 设n(x)是在区间a,b上带权(x)的首项系数非零的n次正交多项式(n1)，则n(x)的n个根都是单实根，分布在开区间(a,b)。,2023/10/26,76,4.5 正交多项式,几个常用的正交多项式,Tn(x)=cos(narccosx)，n=0,1,2,定义的多项式，是在区间-1,1上带权,切比雪夫多项式(第一类Chebyshev多项式)：由,的正交多项式。递推公式为,2023/10/26,77,4.5 正交多项

27、式,令=arccosx,则 Tn(x)=cosn,cos(n+1)=2coscosn-cos(n-1),由,得,2023/10/26,78,4.5 正交多项式,前几个切比雪夫多项式为,Tn(x)的n个根为,2023/10/26,79,4.5 正交多项式,2023/10/26,80,4.5 正交多项式,勒让德多项式(Legendre)由,定义的多项式，是在区间-1,1上带权(x)=1的正交多项式。递推公式为,2023/10/26,81,4.5 正交多项式,正交关系为,2023/10/26,82,4.5 正交多项式,前几个勒让德多项式为,它们的根均是单根，在开区间(-1,1)上，以原点为对称点分布

28、,2023/10/26,83,4.5 正交多项式,2023/10/26,84,4.5 正交多项式,埃尔米特多项式(Hermite)由,定义的多项式，是在区间(-,)上带权 的正交多项式。递推公式为,2023/10/26,85,4.5 正交多项式,正交关系为,2023/10/26,86,4.5 正交多项式,前几个埃尔米特多项式为,它们的根均是单根，在开区间(-,)上，以原点为对称点分布,2023/10/26,87,4.6 离散数据的曲线拟合,4.6.1 线性模型与最小二乘法 4.6.2 正规方程和解的存在唯一性,2023/10/26,88,4.6 离散数据的曲线拟合,在生产与科研中，常给出一组离

29、散数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn),要确定变量x与y的函数关系y=f(x),近似方法一：构造插值多项式Pn(x)，使Pn(xi)=yi(i=0，1，n),特点是构造的函数必须满足给定数对的关系。,从几何上看，构造的曲线必须通过给定的n+1个点。,2023/10/26,89,4.6 离散数据的曲线拟合,近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。,不要求构造的曲线必须通过给定的n个点,2023/10/26,90,4.6 离散数据的曲线拟合,近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据(x1，y1)

30、，(x2，y2)，(xn，yn)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。,不要求构造的曲线必须通过给定的n个点,2023/10/26,91,4.6 离散数据的曲线拟合,例 假设数据点(xi，yi)(i=1，2,，n)大致成一条直线，此时拟合曲线为一直线，它从这些点附近通过，设此拟合直线为,y*=a+bx,显然，一般有,y*(xi)=a+bxi yi,记,ei=yi y*(xi)i=1，2,，n,e=e1，e2，enT称为残差向量。,2023/10/26,92,4.6 离散数据的曲线拟合,欲使拟合效果最好，应该使残差e按照某种标准达到最小。常用的标准有,常用的标准有,|e|1=,|e|2

31、=,1范数,2范数,|e|=,范数,2023/10/26,93,4.6 离散数据的曲线拟合,通常用2范数，作为残差度量的标准。,称使|e|2 达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最小二乘法,求一条直线 y=a+bx，即求a、b，使,Q(a，b)=,2023/10/26,94,4.6 离散数据的曲线拟合,最小值时的a、b满足,得到,2023/10/26,95,4.6 离散数据的曲线拟合,令,由于,X=x1，x2，xnT，Y=y1，y2，ynT,2023/10/26,96,4.6 离散数据的曲线拟合,有,解得,a=y xb,2023/10/26,97,4.6 离散数据的曲线拟合,定义 已知m+1对离

32、散数据 xi，yi 0m,和权数 wi 0m，记,在Ca，b中选定n+1个线性无关的基函数k(x)0m，由它们张成的子空间为,=span0(x)，1(x)，n(x),2023/10/26,98,4.6 离散数据的曲线拟合,如果有,使得,则称*(x)为离散数据 xi，yi 0m在子空间中带权 wi 0m的最小二乘拟合。,由于*(x)是基函数的线性组合，称为线性最小二乘问题。,2023/10/26,99,4.6 离散数据的曲线拟合,令,问题转为求多元函数I(0，1，n)的极小点(0*，1*，n*)，使得,2023/10/26,100,4.6 离散数据的曲线拟合,4.6.2 正规方程和解的存在唯一性

33、,上式有解的必要条件是,l=0，1，2，n,即,2023/10/26,101,4.6 离散数据的曲线拟合,令m+1维向量,并令,2023/10/26,102,4.6 离散数据的曲线拟合,即,称为正规方程(法方程)。记系数矩阵为G，n+1维向量,d=(y,0)，(y,1)，(y,n)T，=0,1，nT,正规方程可写为 G=d。,2023/10/26,103,4.6 离散数据的曲线拟合,因此，最小二乘法存在唯一解的必要条件是正规方程的系数矩阵G非奇异。,定理：格兰姆(Gram)矩阵非奇异的充分必要条件是向量组k0n线性无关。,注意：k(x)0n在Ca，b上线性无关，不能保证向量组k0n线性无关。,

34、实际中总取nm。因此，向量组k0n中的向量个数远远小于向量的维数,系数矩阵G称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称矩阵。,一般 k0n总是线性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。,2023/10/26,104,4.6 离散数据的曲线拟合,设k0n线性无关，它的生成空间为,V=span0，1，n,函数I(0,1,n)用向量的2-范数(欧氏范数)表示为,I(0，1，n)=|y|22，V,2023/10/26,105,4.6 离散数据的曲线拟合,因此极值问题,使得,等价于在向量空间V中求,2023/10/26,106,4.6 离散数据的曲线拟合,定理 设向量组k0n线性无关，(0*，1*,n*)是正规方程的解

35、，则,满足,并有,e2=|y*|22为曲线拟合的平方误差。,2023/10/26,107,4.6 离散数据的曲线拟合,定理：对于已知的离散数据xi，yi0m和权数 wi 0m，选定m+1维连续函数空间,如果有一组基k(x)0n在点列xi0m处的值向量组k0n线性无关，那么,存在唯一解,其中,(0*.1*.n*)是正规方程的解.并有平方误差,2023/10/26,108,4.6 离散数据的曲线拟合,注意：最小二乘问题的解与所选的基函数无关。离散点列 xi，yi 0m中，自变量序列xi0m不需要有序，也可以重复。格兰姆(Gram)矩阵由子空间的基函数k(x)0n、自变量序列xi0m，以及权数 wi

36、 0m确定。与离散点的函数值序列yi0m无关。,2023/10/26,109,4.6 离散数据的曲线拟合,4.6.3 多项式拟合和例题,在离散数据xi，yi 0m最小二乘拟合中，最简单、常用的数学模型是多项式，即在多项式空间中作曲线拟合，称为多项式拟合。,2023/10/26,110,4.6 离散数据的曲线拟合,取基函数(x)=xk(k=0,1,2,n)，在自变量序列的值向量为,如果nm，并且在序列 中至少有n+1个互不相等，则 线性无关，从而格兰姆矩阵G非奇异，最小二乘拟合问题存在唯一解。有,2023/10/26,111,4.6 离散数据的曲线拟合,正规方程为,正规方程解为*=(0*.1*.

37、n*),2023/10/26,112,4.6 离散数据的曲线拟合,最小二乘问题为,最小二乘问题解为,平方误差为,2023/10/26,113,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,114,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,115,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,116,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,117,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,118,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,119,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,120,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,1

38、21,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,122,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,123,4.6 离散数据的曲线拟合,2023/10/26,124,4.6 离散数据的曲线拟合,4.6.4 正规方程的病态和正交多项式拟合,当xi0m位于区间0,1且等距分布时，若用多项式拟合，其格兰姆矩阵G=mHn+1，Hn为n阶希尔伯特矩阵,2023/10/26,125,4.6 离散数据的曲线拟合,n阶希尔伯特矩阵Hn元素为,低阶希尔伯特矩阵的条件数为,2023/10/26,126,4.6 离散数据的曲线拟合,解决的方法为采用正交多项式，使向量组,具有正交性,此时格兰姆矩阵为对角矩阵,2023/10/26,127,4.6 离散数据的曲线拟合,正规方程为,解为,多项式拟合为,此即正交多项式拟合。注意，它的稳定性好于多项式拟合，但也应避免高次多项式拟合。,2023/10/26,128,4.6 离散数据的曲线拟合,作业,4.3(1)、4.5、4.6、4.7、4.11、4.15、4.17、4.19,