导数的应用-单调性极植-最值.ppt

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1、黄牛课件,中国首家新课标免费资源网（不必注册，免费下载）,请记住我们的网址：,数学第三册（选修I）,第二章导数,导数的应用,复习,1、某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2、某点处导数的几何意义,3、导函数的定义,4、由定义求导数的步骤（三步法）,5、求导的公式与法则,如果函数 f(x)、g(x)有导数，那么,6、求导的方法,定义法,公式法,练习：,1、求下列函数的导数,（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1）（2）y=（x/2+t）2,2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f（0）=0，f（1）=1，f（2）=8，求a、b、c,3、抛物线f（x）=x2-2x+4在

2、哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？,1、确定函数f(x)=x24x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,在（-，2）上是减函数；,在（2，+）上是增函数。,2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,用定义法判断函数单调性的步骤：,（1）在给定的区间内任取x1x2;(2)作差f（x1）-f（x2）并变形;（3）判断符号;（4）下结论。,单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如：f(x)=2x36x2+7。这就需要我们寻求一个新的方法。,发现问题,引入：函数单调性体现出了函

3、数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？,研究函数二次y=x24x3的图象；,探究,观察三次函数y=x3的图象；,观察某个函数f(x)的图象。,观察一次函数y=kx+1的图象；,若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即在（a，b）内的每一点处的导数值为正,若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，,分析：从图形看,设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么y=f(x)为这个区间

4、内的增函数；如果在这个区间内y0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法,结论：,y0,增函数,y0,减函数,定理：一般地，函数yf（x）在某个区间内可导：如果恒有，则 是增函数。如果恒有，则 是减函数。如果恒有，则 是常数。,注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当f(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f(x)=0的点只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上，若在某区间上有有限个点使f(x)=0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似),例如:函数f(x)=x3在(-,+)内,当x=0

5、时,f(x)=0,当x0时,f(x)=3x20,y=f(x)在(-,+)内为增函数,在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,知识提炼,导数的应用,用导数研究函数的单调性,一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果在这个区间内f(x)0,则f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f(x)0,则f(x)为这个区间内的减函数.注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数。,判断方法,研究数学问题的一般方法：从特殊到一般；从简单到复杂。,结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有

6、关，因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明：,例题讲解,解题步骤:1、求函数的导函数；2：判断导函数在指定区间上的符号；3、下结论。,例1、求证：函数y=x3+1在 上是增函数。,根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域；2.求出函数的导数；3.解不等式f(x)0,得函数单增区间;解不等式f(x)0,得函数单减区间。,例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间,用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f(x)0，求得其解集，再根据

7、解集写出单调递增区间（3）求解不等式f(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间,注、单调区间不 以“并集”出现。,导数的应用一、判断单调性、求单调区间,课堂练习,1、确定下列函数的单调区间。,单调增区间为：（4，+）和（-，2）,单调减区间为：（2，4）,单调增区间为：（-1，1）,单调减区间为：（-，-1）和（1，+）,课堂练习,2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=/(x)的图象如左图所示,则y=(x)的图象最有可能的是(),1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数。2.本节课中,用

8、导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中应用。3.掌握研究数学问题的一般方法：从特殊到一般；从简单到复杂。,课堂总结,1：能不能画出该函数的草图？,思考题,函数f(x)=2x36x2+7,作业布置,课堂作业：课本p42习题2.4 1,2,课外作业：,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,函数的极值与导数,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)

9、f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0),【函数极值的定义】,(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说

10、明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。,【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧 f/(x0)0 右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极大值,【函数的极值与导数的关系】,(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧 f/(x0)0,那么f(x0)是极小值,(1)求导函数f(x)；(2)求解方程f(x)=0；(3)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.,口诀：左负右

11、正为极小，左正右负为极大。,用导数法求解函数极值的步骤：,例题:求函数 的极值.,【课堂练习】课本P42,例2:求函数 的极值.,【思考交流】,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.,一、复习：1、；2、3、求y=x327x的 极值。,导数的应用之三、求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小

12、值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_,一是利用函数性质,二是利用不等式三是利用导数,注：,求函数最值的一般方法：,在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：1、函数 在内有导数；2、求函数 在内的极值3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区

13、间1，5内 的极值与最值,故函数f(x)在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,法二、,解、f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,课本练习,例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。,解：先求导数得，令 0即 解得 导数 的正负以及，如下表,从上表知，当 时，函数有最大值13，当 时，函数有最小值4,在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。,例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成

14、，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？,例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C1004P，价格R与产量P的函数关系为R250.125P，求产量P为何值时，利润L最大。,四、小结：1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。,思考、已知函数f(x)=x2

15、-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,基本练习,1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()(A)5(B)6(C)7(D)8,2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为()y=100(x99+x49+x24)(B)y=100 x99(C)y=100 x99+50 x49+25x24(D)y=100 x99+2x49,3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为.,4、函数f(x)=x3-3x+1的

16、减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-,-1)(D)(-,-1)，(1,+),5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)11(D)0a1,6、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()单调递增函数(B)单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定,7、如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间2，2+t中相应的平均速度等于()(A)8+2t(B)4+2t(C)7+2t(D)8+2t,8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为()(A)6(B)18(C)54(D)81,9、

17、已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1,10、函数y=x3-3x的极大值为()(A)0(B)2(C)+3(D)1,例1、若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.,分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，即：6+a=2-a,例2、已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.,分析 由条件知：y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是 4a+b=1,又点P(1，1)、Q(2，

18、-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1,例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离,分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=-1.,例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.,思考、已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间2，6内单调递增，求m的取值范围。,(1)若曲线y=x3在点处的切线的斜率等于，则点的坐标为()(2,8)(B)(-2,-8)(C)(-1,-1)或(1,1)(D)(-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x5/5上一点处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为()5x+5y-4=0(B)5x-5y-4=0(C)5x-5y+4=0(D)以上皆非(3)曲线y=x3/3-x2+5在点处的切线的倾角为3/4，则的坐标为.,黄牛课件,中国首家新课标免费资源网（不必注册，免费下载）,请记住我们的网址：,