华中科技大学微积分上册第五章全部.ppt

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1、第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的概念与性质,第五章,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,在区间 I 上的一个原函数.,则称 F(x)为f(x),如引例中,的原函数有,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表

2、示?,定理1.,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,原函数都在函数族,(C 为任意常数)内.,证:1),又知,故,即,属于函数族,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,(P149),若,则,(C 为任意常数),C 称为积分常数不可丢!,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动 目录 上页 下

3、页 返回 结束,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,垂直上抛,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,二、基本积分表(P150),从不定积分定义可

4、知:,或,或,利用逆向思维,(k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、不定积分的性质分项积分法,推论:若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见

5、P 150),2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.证明,2.若,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,3.若,是,的原函数,则,提示:,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.求不定积分,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

6、7.已,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第五章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页

7、返回 结束,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,例5.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用的几种配元形式:(P155),万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、,例12.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例15.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回

9、结束,二、第二类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,例16.求,解:令,(正弦代换)则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解法一:令,(正切代换)则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解法二:令,(双曲代换)则,原式,例18.求,解:,令,(正割代换)则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,例19.

10、求,解:令,(倒代换)则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20.求,解:为了去掉根号，作代换,则,原式,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节讲,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用基本积分公式的补充(P159-160),(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:原式,(公式(20),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例21.求,例22.求,解:,(公式(23),例23.求,解:原式=,(公式(22),机动 目录 上页 下

11、页 返回 结束,例24.求,解:原式,(公式(22),例25.求,解:令,得,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例26.,解:原式,令,例16,例16 目录 上页 下页 返回 结束,1.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,备用题 1.求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易

12、计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第五章,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反:反三角函数对:对

13、数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例6.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例8.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解:令,则,得递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.证明递推公式,证:,注:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数

14、类型不变,解出积分后加 C),例4,3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.,例4 目录 上页 下页 返回 结束,例11.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解法1 先换元后分部,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 用分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4.计算格式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,令,则,可

15、用表格法求多次分部积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:令,则,原式,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、

16、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第五章,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2.求,解:已知,例1(3)目录 上页 下页 返回

17、结束,例3.求,解:原式,思考:如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 第三节例9.(P167例2),例4.求,解:首先将分母分解因式:,比较上式两端同次项系数得,分项积分得:,例5.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例6.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:作代换 t=x5+1,则 dt=5x4 dx.于是,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:原式,(公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,按常

18、规方法解:,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,例9.求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解:,说明:通常求含,的积分时,(即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),往往更方便.(P168),的有理式,用代换,机动 目录 上页

19、下页 返回 结束,例11.求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:但被积函数含有sinAx cos Bx 时，用“积化和差”,首先变换 f(x):,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例14.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.求,解:为去掉被积函数分母

20、中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求(P173例10),解:原式=,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,求不定积分,解：,令,

21、则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第五章,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.分部积分法,使用原则:,1)由,易求出 v;,2),比,好求.,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u

22、,排后者取为,计算格式:列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,快速计算表格:,特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.,例1.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例3.求,解:(习题课教程P116),原式,分部积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有时可将原不定积分拆成两个不定积分,将其中一个用分部积分法,可得与另一个不定积分形式完全相同,但符号相反的不定积分,从而“抵消”.,例4.设,解:,令,求积分,即,而,机动 目录 上页 下页

23、 返回 结束,例5.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:此法特别适用于,如下类型的积分:,例7.设,证:,证明递推公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:,设,则,因,连续,得,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即,因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1.一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录

24、上页 下页 返回 结束,2.需要注意的问题,(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.,因此不一,定都能积出.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,例10.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解:令,比较同类项系数,故,原式,说明:此技巧适用于形为,的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,解：,因为,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,求不定积分,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,I=,例15.,解:,(n 为自然数),令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,