高等数学课件1-5第五节极限的运算法则.ppt

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1、第五节 极限的运算法则,无穷小的运算法则 极限的四则运算法则 复合函数极限运算法则,1/22,时,有,一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,*证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,(后面的例题),用数学归纳法可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,类似可定义xx0+,xx0-,x+,x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,定理2（同一过程中的）有界量与无穷小的乘积是无穷小，即 O(1)o(1)=o

2、(1),证,6/16,推论1（在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积是无穷小.,7/16,注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,二、四则运算法则,定理3,推论,4/22,例1,解,5/22,例3,解,7/22,注 在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化等。,解,例4,（消去零因子法）,8/22,例5 求,解,(无穷小因子分出法),9/22,例6 求,解,（消去零因子法）,10/2

3、2,例7 求,解,（分子有理化）,11/22,例9 求,解,先变形再求极限.,13/22,例10,解,14/22,例11,解,左右极限存在且相等,15/22,例12,解,16/22,总结：有理函数在无穷远的极限,17/22,三、复合函数的极限运算法则,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,例13 求极限,20/22,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,三、小结：,无穷小的运算法则，极限的四则运算法则（注意除法）,有理函数的极限；3.复合函数的极限运算法则。,22/22,作 业,习题1-1 剩下的全部,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,