高等数学 函数的极限.ppt

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1、,第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第四节,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,定义1.设函数,充分大时有定义,在,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线.,A 为函数,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,的过程中，,对应的函数值,无限接近于一个数值 A，,两种特殊情况:,设函数,充分大时,在,则称常数,时的极限,记作,A 为函数,的过程中，,对应的函数值,无限接近于一个确定的数值 A，,当,有定义,或,如果函数,当x 在上述变化过程中没有极限，,的,不能无限接近于数值 A，,即对应,就说函数,在该变化,

2、过程中极限不存在。,当,直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,一般地,若,则直线y=A为函数y=f(x)的,图形的水平渐近线.,例如，,不存在.,根据定义，,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,记作,对应的函数值,无限接近于某一确定数值 A，,且当 x 无限接近,时，即,时，,极限存在,函数局部有界,(P22定理1),这表明:,几何解释:,2.左极限与右极限,则称常数 A 为函数,当,时的右 极限,记作,对应的函数值,无

3、限接近于某一数值 A，,时，即,时,（左）,（小于）,且当 x 大于 而无限接近,（左）,或,左极限与右极限统称为单侧极限.,定理 1.,(充要条件),例1.给定函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理 1.,因为,显然,所以,不存在.,存在 那么这极限唯一.,二、函数极限的性质,定理1(函数极限的唯一性),如果极限,定理2(函数极限的局部有界性),若,则函数 f(x)在,的某一去心邻域(|x|充分大)有界.,有,当,时,有,即,定理3.(函数极限的局部保号性),若,且 A 0,则存在,(A 0),推论.若在,的某去心邻域内,且,则,定理3,若,且 A 0,则当|x|充分大时，,(A 0

4、),就有,推论.,且,则,如果当|x|充分大时，,定理4.（海涅定理：函数极限与数列极限的关系）,有定义,且,有,说明:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1 找一个数列,不存在.,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例2.证明,不存在.,证:取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在.,内容小结,1.函数极限的六种定义,2.函数极限的性质:,局部保号性,与左右极限等价定理,作业 P24 3,Th1,Th3,Th2,第四节,唯一性定理,局部有界性,定义1.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线.,A 为函数,一、

5、自变量趋于无穷大时函数的极限,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,例1.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,若,记作,即,当,时,有,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0,要找d0，使得 0|x-x0|d 时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)A+e.,哈哈,d找到了!,d,d,d 符合要求!这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个,例2.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,例3.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,证明,的方法：,（1）,取,（2）每一个扩大条件用,（3）取,（4）得出结论.,2.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理 1.,单侧极限,(充要条件),