高数第二章4隐函数.ppt

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1、,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求椭圆,在点,处的切线

2、方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函

3、数),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,例4.设,且,求,已知,解:,练习:P111 题8(1),解:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即 t=0)时

4、,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两

5、边对 t 求导,已知,h=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求当容器内水,例8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数

6、求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P110 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解：,2.设,方程组两边同时对 t 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,