系统辨识与滤波最小二乘法辨识.ppt
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1、第5章 最小二乘法辨识,把待辨识的系统看作“黑箱”,只考虑系统的输入输出特性,而不强调系统的内部机理。本章主要讨论单输入单输出系统的差分方程作为模型的系统辨识问题。差分方程模型的辨识问题包括阶的确定和参数估计2个方面。本章讨论采用最小二乘法进行参数估计。,1、最小二乘法,设单输入单输出线性定常系统的差分方程为(1)式中:为输入信号;为理论上的输出值。的观测值 可表示为式中 为随机干扰,则:将 代入差分方程中,有(4),往往把 看作白噪声设则式(4)可写成(5)假设 不仅包含了 的测量误差,而且还包含 的测量误差和系统内部噪声。假定 是不相关随机序列。现分别测出 个输入输出值,,列出个方程为:,
2、设,可得到(8)式中:为N维输出向量;为N维噪声向量;为 维参数向量;为 测量矩阵。式(8)式一个含有 个未知参数,由N个方程组成方程组。当,方程数少于未知数数目,则方程组的解是不定的。当,方程数正好与未知数相等,当噪声 时,就能准确的解出,如果噪声,则从上式可以看出噪声 对参数估计有影响,为了尽量减少噪声 对 估值的影响,应取此时,要采用数理统计的方法求 的值,以减少噪声对 估计值的影响。,最小二乘估计算法,设 表示 的最优估值,表示 的最优估值,则有式中,设 表示 与 之差,即将 称为残差。把 分别代入上式可得残差。设则有,最小二乘估计要求残差的平方和为最小,即按照目标函数为最小来确定估值
3、。求J对 的偏导数并令其等于0,可得J为极小值的充分条件是即矩阵 为正定矩阵。,这种辨识方法称为一次完成的最小二乘估计,用来辨识的数据长度是。算法表明,全部 组数据是一次计算完毕的,这种方法常用于离线辨识。优点:辨识精度高。缺点:每取到一组新数据后,都需要重新解方程组,每算一次都需要用全部数据,致使计算的存储量越来越大,计算量也逐渐增加。,2、最小二乘递推算法,令则有,考虑目标函数极小化,可求得(10)当新数据 取得时,有其中:,令则应用矩阵求逆引理,可得 和 的递推关系式矩阵求逆引理:设A为 矩阵,B和C为 矩阵,并且A,和 都是非奇异矩阵,则有矩阵恒等式,令,根据引理有由于 为标量,则而,
4、由于上式中第二项为把它代入原式,消去同类项,经整理得此式即为最小二乘的递推算式。利用此式计算,时要已知,(前次估计值),(历史数据)和新观测值。,算法所需存贮空间分析:算法中,为2n+1个存贮单元(),而 是 维矩阵,显然,将 换成 后,存贮量大为减少(因为n为模型的阶数,一般远远小于N)递推公式的直观意义:如果用 表示预报值,那么 表示预报误差,这就表明,新的参数估计值 是根据预报偏差来对原估计值 进行修正,修正的幅度大小是按最小二乘准则来确定的。,为了进行递推计算,需要给出 和 的初值 和,有两种给出初值的方法。1)设 为N的初始值,则根据公式可算出初值 2)假定 是充分大的常数,为 单位
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