现代CAD基础与应用第二章.ppt

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1、机械类专业基础核心课程,机械CAD技术,主讲:刘子建 教授汽车楼322，88823080，助教：周晋超等综合实验楼468，88821726 精品课程网站：课程中心网站：http:/,2023/10/21,生成模型后需要解决的问题,1、如何改变计算机三维模型的形状？,2、如何控制计算机三维模型的运动？,3、如何得到三维模型的平面视图？,4、三维模型的立体视图如何表达？,解决三维模型的控制和表达问题,2023/10/21,方法：几何变换（geometrical transformation）或称为图形变换（graphics transformation）,1.保持图形的拓扑关系不变的线性变换；,2

2、.线框模型的变换以顶点的变换为基础；,3.表面和实体模型的变换以对控制点的 变换为基础；,4.曲线和曲面的变换以对参数方程或型值点位置向量的变换为基础。,2023/10/21,学习要点,1、熟练掌握基本几何变换及其T矩阵；,2、掌握T矩阵各元素的图形变换作用规律；,3、已知变换矩阵求取变换的图形结果；,4、已知变换后的图形写出变换矩阵。,高度关注变换矩阵T元素与图形的关系！,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换基本算法,设计模型变换的基本概念,几何图形（或形体）按某种规则变换成另一几何图形（或形体）的过程称为模型的变换。,设计模型变换的基本方法是几何变换。包

3、括二维、三维基本几何变换、齐次变换和它们的组合变换等。,投影变换是与画法几何理论相关的图形变换，包括 正投影变换、轴测投影变换、透视投影变换等。,用来研究和实现几何变换的数学工具是线性代数，主要是矩阵理论。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,变换后的位置向量,第2节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,图形可以用点的位置向量矩阵来表示。,点可以用位置向量表示。,为了使某一点变换前和变换后的位置向量有如下关系：,变换矩阵,变换前的位置向量,不妨令,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,恒等变换,基本几何变换,

4、例如：,坐标值没有变化,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,比例变换,基本几何变换,中的,例如：,T矩阵主对角线元素影响图形的比例变换,T矩阵的第1列元素影响图形x方向的变换,T矩阵的第2列元素影响图形y方向的变换,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,镜像（对称）变换,基本几何变换,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y=x轴对称,关于任意直线对称,镜像变换的本质是通过T矩阵的变 换改变了位置向量坐标的正负号。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2

5、节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,错切变换,基本几何变换,副对角线的元素控制错切变换,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,旋转变换,基本几何变换,基本旋转变换是图形绕坐标原点进行旋转的变换,旋转角度的方向：逆时针方向旋转为正，反之为负。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,实现图形的平移变换需要思考的几个问题：,1.图形的平移可以用几何变换方法实现吗？,2.能否像比例、旋转等变换一样，用22的T矩阵实现图形的平移？,3.如何发展一种新的变换方法解决平

6、移问题？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,为了实现图形的平移需要改造T矩阵,齐次坐标变换,位置向量增加一维，并使T矩阵由2X2矩阵变成3X3矩阵,可以得到平移后的坐标：,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,定义：用N+1维位置向量表示N维位置坐标的方法称为位置向量的齐次坐标表示法，对应的变换矩阵称为齐次坐标变换矩阵，用齐次坐标变换矩阵进行的几何变换称为齐次坐标几何变换。,齐次坐标几何变换,请问，比例、错切、镜像、旋转等变换是否也可以用齐次坐标表示？,202

7、3/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,齐次坐标变换,齐次坐标变换矩阵的一般形式,左上角2X2矩阵控制基本变换,左下角1X2矩阵控制平移变换,右上角2X1矩阵控制透视变换,右下角1X1矩阵控制全比例变换,齐次坐标变换表达式的一般形式,请问，基本几何变换共计有几种？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,组合变换,问题：如何通过几何变换实现平面图形绕平面 上任意点的旋转？,需要通过多次基本几何变换才能解决问题。,定义：连续多次采用基本几何变换解决问题的方法称为 组合变换或级

8、联变换(Composite Transformation)注意:组合变换包含的先后顺序与进行变换的先后顺序一一对 应,不能交换。即变换矩阵的乘积不满足交换律。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,组合变换,图形绕平面上任意点的旋转可通过组合变换矩阵实现,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换（模型的控制）,三维几何变换使用4X4的齐次变换矩阵：,矩阵中各元素在几何变换中各有什么作用？,左上角3X3矩阵控制模型的基本变换,左下角1X3矩阵控制模型的平移变换,右上

9、角3X1矩阵控制模型的透视变换,右下角1X1矩阵控制模型的全比例变换,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,三维模型的比例、错切、镜像、平移变换,如何写出模型关于YOZ面和 XOZ面镜射的变换矩阵？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,模型绕坐标轴（X轴、Y轴、Z轴）的旋转变换,请注意矩阵Ty与矩阵Tx、Tz之间的区别,请问，模型绕空间任意轴旋转的变换矩阵如何求？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三

10、维模型的几何变换,例题：空间点P绕任意直线AB逆时针旋 角度到P*，试求P点新坐标（X*，Y*，Z*）。如图，已知以AB为对角线的立方体的长宽高分别为a、b、c，以及A点坐标。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第一步（注意:以下所有的变换都作用于P点）,坐标Oxyz原点O平移到A，得到新坐标系Axyz，有,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第二步,AB绕xA旋转一个角度 到AB2（逆时针），有,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,

11、第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第三步,AB2绕yA旋转一个角度 到AB4（顺时针），有,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第四步,此时的AB4与Az重合，P点绕Az（即AB4）逆时针旋转 角度，有,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第五步,按照前述的步骤逆向返回，可得如下三个变换矩阵,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第六步,上述所有7个矩阵相乘，即

12、为所求的变换矩阵,因而，空间任意点P点绕空间任意直线AB旋转的变换式为,模型绕过原点的任意轴旋转，其变换矩阵如何求？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,几何变换求解的两类问题,第一类问题：已知变换要得到的图形，求变换矩阵(过程)解题方法：确定变换过程，写出矩阵，计算结果，得到总体变换矩阵。,第二类问题：已知变换的过程，求变换得到的结果（图形）解题方法：写出描述变换过程的矩阵，计算结果，绘出图形。,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,课后作业：,2-11已知ABC各顶点坐标分别为A（10，10）、B（10，

13、40）、C（40，50），现对其实施如下变换：1、沿x方向平移30，沿y方向平移20，再绕原点旋转900；2、绕原点旋转900，再沿x方向平移30，沿y方向平移20。,2-12已知单位立方体各顶点坐标为：A（0,0,0）、B（0,0,1）、C（1,0,1）、D（1,0,0）、E（0,1,0）、F（0,1,1）、G（1,1,1）、H（1,1,0）。1、求将AG连线旋转至与x轴重合的变换矩阵，并计算出每次旋转的具体角度；2、求将F点绕CG连线正转300度的变换矩阵，并计算出变换后的坐标值。思考与复习题：1、试简述齐次坐标的几何意义；2、阅读复习教材P39-50，预习教材P51-60。,2023/1

14、0/21,如何用OPEN GRIP编程完成几何变换？1、说明矩阵变量命令的格式 NUMBER/矩阵变量（数组下标）例：编写程序生成圆，再对其实施平移变换ENTITY/cr1,cr2$说明两个实体变量NUMBER/mat1(12)$说明一维数组变量（对应于4X3矩阵的元素）cr1=CIRCLE/-1,-2,3$生成一个圆实体cr1 mat1=MATRIX/TRANSL,5,8,0$变换矩阵赋值（平移）cr2=TRANSF/mat1,cr1$对cr1实施变换，得到实体cr2 HALT,2023/10/21,如何用OPEN GRIP编程完成几何变换？2、基本变换矩阵赋值命令的格式矩阵变量=MATRI

15、X/变换辅词，变换参数 3、组合变换矩阵生成（或矩阵相乘）命令的格式 矩阵变量=MATRIX/矩阵变量1，矩阵变量2,。4、实施几何变换命令的格式实体=TRANSF/矩阵变量，实体集,MOVE,TRACRV MOVE不保留被变换的实体集，缺省则保留 TRACRV扫掠（sweep）表示方法,2023/10/21,变换辅词及参数表,变换类型 变换辅词 变换参数及说明 平移 TRANSL dx,dy,dz 比例 SCALE s 全比例变换，xc,yc,zc非均匀比例变换 旋转 XYROT angle YZROT angle ZXROT angle 镜像 MIRROR line或plane,2023/

16、10/21,第5章 基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术,第4节 GRIP语言图形生成技术,几何实体变换命令（以下式中mat1为矩阵变量）,平移变换 P129 例题517mat1=MATRIX/TRANSL，dx，dy，dz说明：将几何实体相对于原来的坐标系平移dx、dy、dz距离；,比例变换 P129 例题5181、mat1=MATRIX/SCALE，s说明：将几何实体均匀地放大或缩小s倍；2、mat1=MATRIX/SCALE，xc，yc，zc说明：将几何实体非均匀地缩放，其缩放比例沿x、y、z方向依次为xc、yc、zc；注：缩放操作是相对于坐标系原点实现的。,2023/10/21,第

17、5章 基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术,第4节 GRIP语言图形生成技术,几何实体变换命令,旋转变换mat1=MATRIX/XYROT，angle说明：将几何实体相对于坐标系原点逆时针旋转 angle角度。,P129 例题519,2023/10/21,第5章 基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术,第4节 GRIP语言图形生成技术,几何实体变换命令,镜像变换 mat1=MATRIX/MIRROR，line 说明：将几何实体关于几何实体line作对称变换。,P129 例题520,与此类似，相关的镜像命令还有：mat1=MATRIX/MIRROR，plane,2023/10/21,第5章

18、 基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术,第4节 GRIP语言图形生成技术,几何实体变换命令,组合变换,例题521、522,matrix3=MATRIX/matrix1，matrix2。,说明：对几何实体首先实施matrix1矩阵变换，然后实施matrix2矩阵变换，。,上述矩阵变量matrix1，matrix2，。的顺序不可颠倒。,2023/10/21,第5章 基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术,第4节 GRIP语言图形生成技术,几何实体变换命令,实施变换,obj2=TRANSF/matrix,obj1,MOVE,TRACRV,说明：将几何实体obj1经过matrix矩阵变换之后，得

19、到几何实体obj2。MOVE与TRACRV为可选项，选用前者表示矩阵变换之后原先的实体自动删除，否则原来的实体保留；选用后者表示产生实体移动的轨迹曲线（即Sweep）。,2023/10/21,例：编写实现组合变换的程序ENTITY/cr1,cr2，cr3 NUMBER/mat1(12)，mat2（12），mat3（12）cr1=CIRCLE/0,0.5,0.25 mat1=MATRIX/XYROT,-90 mat2=MATRIX/SCALE,2 mat3=MATRIX/mat1，mat2 cr2=TRANSF/mat3,cr1 mat1=MATRIX/XYROT,90 mat3=MATRIX/

20、mat2，mat1 cr3=TRANSF/mat3，cr1HALT,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换（模型的表达）,正投影变换：方法与画法几何原理相对应，结果是得到六个基 本投影视图（主视图、俯视图、左视图等）,轴测投影变换：依据轴测投影原理进行变换，得到正轴测投影图 或斜轴测投影图,透视投影变换：依据透视投影原理进行变换，得到一点透视、二 点透视、三点透视投影图,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正投影变换,正投影是指在多面投影体系中H、V、W面

21、上的投影,在多面投影体系中，形体在H、V、W面上投影图的特点：相应的z、y、x坐标为0。,据此，可写出Th、Tv、Tw正投影变换矩阵。,注意：利用Th、Tv、Tw仅能得到单面投影。如何才能得到三个基本视图的变换矩阵呢？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正投影变换（得到平面视图）,用先投影，后旋转，再平移方法 求视图变换矩阵TV、TH、TW,式中l、n为投影后的图形沿OX，OZ轴移动的距离,如果是第三卦角投影（西方国家采用），试推导其视图变换矩阵？,欲在屏幕上显示出形体有立体效果的图形，其变换矩阵又是如何呢？,2023/

22、10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正轴测投影变换（在平面上表示立体图）形成：形体绕z轴逆时针转角，绕x轴顺时针转角。然后向V面投影。可得正轴测投影矩阵T正：,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正轴测投影变换,轴测坐标轴：空间坐标轴经过轴测变换后在轴测投影平面上的投影所形成的坐标轴,轴间角：轴测坐标轴之间的夹角,轴向变形系数：轴测坐标轴上的投影长度与空间坐标轴上对应的单位长度之比,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算

23、法,3.三维图形的投影变换,正轴测投影变换,轴向变形系数：,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正轴测投影变换,轴间角：,正等测投影变换：,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,定义：空间点的透视投影就是通过该点的视线与透视投影面的交点。,透视投影变换（在平面上表达符合视觉原理的立体图）,注意两点：1、平行投影法与中心投影法的区别？2、齐次变换矩阵T中第4列元素p、q、r的作用？,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的

24、基本算法,3.三维图形的投影变换,透视投影变换,规格化处理后有,求得由定义推导的相同结果,2023/10/21,第2章 CAD建模的理论基础,第2节 设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,透视投影变换,Tq为视点E在Y轴上，视距为d=-1/q，灭点在0 1/q 0的一点透视投影变换矩阵,同理可推得,2023/10/21,1、写出如下图所示四面体S的表面模型的链表数据结构；,30,50,25,Z,Y,X,S,本章综合作业,S1,S3,S2,本章综合作业2、以S1、S2、S3为特征多边形顶点，写出Bezier曲线和B-Spline曲线的表达式，并描点绘出两曲线的图形；3、写出四面体S以S1为中心等比放大一倍的变换矩阵T，计算出顶点S1、S2、S3的坐标值；4、写出四面体S的主视、俯视、左视、右视图变换矩阵，并绘图，标注其定形尺寸和定位尺寸；5、写出四面体S的正等测投影变换矩阵，并绘图；6、在计算的基础上，画出四面体S的两点透视图。,