测量理论分析与数据处理.ppt

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1、第2章 测量误差分析与数据处理,2.1 测量误差概述2.2 测量误差的来源2.3 测量误差的分类2.4 随机误差分析2.5 系统误差分析2.6 测量误差的合成与分配2.7 测量数据的处理,2.1 测量误差概述,2.1.1 基本概念1.真值A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。物理量的真值，只是一个理论值，在实际中是无法测得的。,2.指定值As 由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。例如，指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原器的质量为1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所

2、产生的特定条件下铯l33原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192 63l 770个周期的持续时间为1s(秒)等。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。,3.实际值A 由于绝对真值不可获得，因此在实际测量中，一般以高一级或数级的标准仪器或计量器具所测得的数值代替真值，这个值就称为实际值，也叫作相对真值，用A表示。,4.标称值 测量器具上标定的数值称为标称值，例如标准砝码上标出的l kg，标准电阻上标出的1，标准电池上标出来的电动势1.018 6V，标准信号发生器度盘上标出的输出正弦波的频率10kHz等。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影

3、响，标称值并不一定等于它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。,5.示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。例如以l00分度表示50mA的电流表，当指针指在刻度盘上50处时，读数是50，而值是25mA。为便于核查测量结果，在记录测量数据时，一般应记录仪表量程、读数和示值(当然还要记载测量方法，连接图，测量环境，测量用仪器及编号及测量者姓名、测量日期等)。对于数字显示仪表，通常示值和读数是统一的。,6.测量误差 在实际

4、测量中，由于测量器具不准确，测量手段不完善，环境影响，测量操作不熟练及工作疏忽等因素，都会导致测量结果与被测量真值存在差异，这个差异称为测量误差。测量误差的存在具有必然性和普遍性，不能被完全消除。如果测量误差超出一定限度，测量工作及由测量结果所得出的结论就失去了意义。因此，人们必须认真对待测量误差，研究误差产生的原因，误差的性质，减小误差的方法以及对测量结果的处理等。,7.单次测量和多次测量 单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。单次测量不能反映测量结果的精密度，一般只能给出一个量的大致概念和规律。在测量精度要求不高的场合，可以只进行单次测量。多次测量是用测量仪器对同一被测量

5、进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对校准等。,8.等精度测量和非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样的可靠性。,如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变(例如，改变测量方法，或更换测量仪器，或改变联接方式，或测量环境发生变化，或前后不是一个操作者，或同一操作者按不同的过程进行操作，或操作

6、过程中由于疲劳等原因而影响了细心专致程度等)，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。等精度测量和非等精度测量在测量实践中部存在，相比较而言，等精度测量意义更为普遍，有时为了验证某些结果或结论，研究新的测量方法、检定不同的测量仪器时也要进行非等精度测量。,2.1.2 测量误差的表示方法 1.绝对误差 绝对误差定义为 x=x A0(2.1-1)式中x为绝对误差，x为测得值，A0为被测量真值。真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0，因而绝对误差更有实际意义的定义是x=x A(2.1-2),对于绝对误差，应注意下面几个特点：绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同；绝对误差是有符号的

7、量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值；测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。,2.修正值(校正值)与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号C表示C=x=A x(2.1-3)测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值：A=x+C(2.1-4),例2.1-1 某电流表测得的电流示值为0.83 mA，查该电流表检定证书，得知该电流表在0.8mA及其附近的修正值部为 0.02mA，那么被测电流的实际值为A=0.83+(-0.02

8、)=0.81 mA,例2.1-2 测量两个电压，其实际值为U1=100V，U2=5V；而测得值分别为101V和6V。则绝对误差为U1=101-100=1(V)U2=6-5=1(V)二者的绝对误差相同，但其误差的影响不同，前者比后者测量准确。因此应当采用相对误差来表征这一特点。,(2.1-6),(2.1-7),(2.1-5),相对误差又可分为实际相对误差和示值相对误差。实际相对误差(A)定义为,示值相对误差(x)也叫标称相对误差，定义为,3.相对误差相对误差(0)定义为,如果测量误差不大，可用示值相对误差x代替实际误差A，但若和A相差较大，两者应加以区别。,满度相对误差 满度相对误差定义为仪器量

9、程内最大绝对误差xm与测量仪器满度值(量程上限值)xm的百分比值,(2.1-8),满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。由式(2.l-8)可以看出，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值，即,(2.1-9),一般讲，测量仪器在同量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于xm，人们把这种处理叫作误差的整量化。由式(2.l-7)和(2.1-9)可以看出，为了减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值能接近满度值，一般以示值不小于满度值的23为宜。电工仪表用引用

10、误差(m)来划分准确度等级S：0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0。例S=1，m1%。,例2.1-3 某1.0级电流表，满度值xml00A，求测量值分别为x1100A，x280A，x320A时的绝对误差和示值相对误差。解：由式(2.l-9)得到绝对误差,前已叙述，可以认为绝对误差是不随测量值改变的。而测得值分别为100A、80A、20A时的示值相对误差各不相同，分别为,可见在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。由此我们应当注意到，测量中所用仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等(不考虑其他因素造成的误差，仅考虑仪器误差)，否则测得值的准

11、确度数值将低于仪表的准确度等级。,例2.1-4 要测量100的温度，现有0.5级、测量范围为0300和l.0级、测量范围为0l00的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。解：对于0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差,按照误差整量化原则，认为该量程内绝对误差x1=xm1=1.5，因此示值相对误差,同样可算出用l.0级温度计可能产生的绝对误差和示值相对误差,可见用1.0级低量程温度计测量所产生的示值相对误差反而小一些，因此选l.0级温度计较为合适。在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再行测量，以尽可能减小相对误差。,分贝误差分贝误差是用对数形式表示的一种

12、误差，常用于表示增益(衰减)或声强等传输函数的值，单位为分贝(dB)。设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au的测得值为,(2.1-10),用对数表示为,(2.1-11),Gx称为增益测得值的分贝值。,设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA由式(2.1-2)及(2.1-11)，有,(2.1-12),(2.1-13),由此得到增益误差,(2.1-14),令，则式(2.1-14)可写成,(2.1-15),上式即为分贝误差的一般定义式。若测量的是功率增益，分贝误差定义为,(2.1-16),例2.1-5 某电压放大器，当输入端电压Ui1.2mV时，

13、测得输出电压Uo6 000mV，设Ui误差可忽略，Uo的测量误差 2=3%，求：放大器电压放大倍数的绝对误差A，相对误差 x 及分贝误差 dB。解：电压放大倍数,电压增益的分贝值,输出电压绝对误差,因忽略Ui误差，所以电压增益绝对误差,电压增益相对误差,电压增益分贝误差,实际电压分贝增益,如果在测量中，使用的仪器是用分贝作单位，则分贝误差直接按 x=x A 来计算。例如某衰减器标称值为20dB，经检定为20.5dB，则其分贝误差dB为,2.1.3 容许误差 测量仪器的误差是产生测量误差的主要因素。为了保证仪器示值的准确，必须在出厂时由检验部门对其误差进行检验。容许误差是指测量仪器在规定使用条件

14、下可能产生的最大误差范围。容许误差有时就称作仪器误差，它是衡量电子测量仪器质量的最重要的指标。在14节曾叙及的电子测量仪器的精度和稳定性等，都可用仪器的容许误差来表征。我国部颁标准电子测量仪器误差的一般规定中规定：用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差等四项指标来描述电子测量仪器的容许误差。,l.工作误差 工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意可能的组合时，仪器误差可能达到的最大极限值。这种表示方法的优点是，对使用者非常方便，可以利用工作误差直接估计测量结果误差的最大范围。缺点是，工作误差是在最不利的组合条件下给出的，而实际使用中构成

15、最不利组合的可能性很小。因此，用仪器的工作误差来估计测量结果的误差会偏大。,2.固有误差 固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处于基准条件(参见表2.1-1)时，仪器所具有的误差。这些基准条件是比较严格的，所以这种误差能够更准确地反映仪器所固有的性能，便于在相同条件下，对同类仪器进行比较和校准。,表2.1-1 电子测量设备的基准条件,3.影响误差 影响误差是当一个影响量在其额定使用范围内(或一个影响特性在其有效范围内)取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。例如温度误差、频率误差等。只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，它是一种误差的极限。4.稳定误差 稳定误

16、差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。习惯上以相对误差形式给出或者注明最长连续工作时间。,例如，DS-33型交流数字电压表标注的容许误差：(1)工作误差：50Hz1MHz,10mV1V量程为(1.5%读数满量程的0.5%)；(2)固有误差：1kHz,1V时为0.4%读数1个字；(3)温度影响误差：1kHz,1V时温度系数为10-4/；频率影响误差：50Hz1MHz为(0.5%读数满量程的0.1%)；(4)稳定误差：在温度-10+40，相对湿度80%以下，大气压为86106kPa的环境内，连续工作7小时。,例2.1-6 用4位半数字电压表2V档和20

17、0V档测量1V电压，该电压表各档容许误差均为0.03%读数1个字，试分析用上述两档分别测量时的相对误差。解：用2V档测量，绝对误差为,式中前一项是容许误差的相对值部分，后一项是绝对值部分即几个字误差，此时后者影响较小，测量数值(显示值)为0.999 6到1.000 4V间，有效显示数字是四位到五位。相对误差为,用200V档测量，绝对误差为,此时1个字误差占了误差的绝大部分(为了便于观察，10010未按科学计数法规定写成1.010-2，由于此时最末位1个字误差或最末位为l时代表的数值是10mV或0.01V，因此此时电压表显示为0.991.01V，显示有效数字为二到三位。相对误差为,2.2 测量误

18、差的来源,1.仪器误差 仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数误差及数字式仪表的量化误差(l个字误差)；仪器内部噪声引起的噪声误差；元器件疲劳、老化及周围环境变化造成的稳定误差；仪器响应的滞后现象造成的动态误差；探头等辅助设备带来的其他方面的误差。,减小仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用测量仪器，包括要检查所使用的仪器是否具备出厂合格证及检定合格证，在额定工作条件下

19、按使用要求进行操作等。量化误差是数字仪器特有的一种误差，减小由它带给测量结果准确度的影响的办法是设法使仪器显示尽可能多的有效数字。,2.影响误差 影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量而言，最主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。当环境条件符合要求时，影响误差通常可不予考虑。但在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。,3.人身误差 人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。例如指针式仪表刻度的读取，谐振法测量L、C

20、、Q时谐振点的判断等，都很容易产生误差。减小人身误差的主要途径有：提高测量者的操作技能和工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字式显示的客观读数以避免指针式仪表的读数视差等。,4.使用误差 使用误差又称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。例如，有些设备要求正式测量前进行预热而未预热；有些设备要求水平放置而倾斜或垂直放置；有的测量设备要求实际测量前须进行校准(例如：普通万用表测电阻时应校零，用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等)而未校准，等等。减小使用误差的最有效途径是提高测量操作技能，严格按照仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。,5、方法误差由于测量方法不合理所造成的

21、误差称为方法误差。例如，用普通万用表测量高内阻回路的电压，由于万用表的输入电阻较低而引起的误差。测量所依据的理论不严密，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差称为理论误差。例如当用平均值检波器测量交流电压时，平均值检波器输出正比于被测正弦电压的平均值U，而交流电压表通常以有效值U定度，两者间理论上应有下述关系：,(2.2-1),式中，称为定度系数。由于 和 均为无理数，因此当用有效值定度时，只好取近似公式,(2.2-2),显然两者相比，就产生了误差，这种由于计算公式的简化或近似造成的误差就是一种理论误差.,2.3 误差的分类,根据误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差。1

22、.系统误差 在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差。(1)如果系统误差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系统误差，否则称为变值系统误差。变值系统误差又可分为累进性系统误差、周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。,图2.3-1 系统误差的特征a-恒定系统误差；b-累进性系统误差；c-周期性系统误差；d-属于按复杂规律变化的系统误差。,0,(2)系统误差的主要特点是，测量条件一经确定，误差即为确切的数值，用多次测量取平均值的办法不能改变或消除误差，具有可重复性。系统误差体现测量的准确度，系统误差小，表明测量的准确度高。,(3)

23、产生系统误差的主要原因有：测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等。测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。采用近似的测量方法或近似的计算公式等。测量人员估计读数时习惯偏于某方向等原因所引起的误差。,2.随机误差(1)随机误差又称偶然误差，是指相同条件下对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差。(2)就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布。,图2.3-2 随机误差i的正态分布曲线,随

24、机误差的特点：有界性对称性抵偿性,随机误差体现了多次测量的精密度，随机误差小，则精密度高。,(3)产生随机误差的主要原因包括：测量仪器元器件产生噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等。温度及电源电压的无规则波动，电磁干扰，地基振动等。测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。,3.粗大误差(1)在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差。(2)含有粗大误差的测得值称为坏值，应当剔除不用，它不能反映被测量的真实数值。,(3)产生粗大误差的主要原因有：测量方法不当或错误。例如用普通万用表电压档直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测

25、量高频交流信号的幅值等.测量操作疏忽和失误。例如未按规程操作，读错读数或单位，或记录及计算错误等.测量条件的突然变化。例如电源电压突然增高或降低，雷电干扰，机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这类变化虽然也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此将其列入粗大误差范畴。,图2.3-3 三种误差同时存在的示意图,以上三种误差同时存在的情况，可以用图2.3-3表示，其中A 0表示真值；小黑点表示各次测量值xi；i表示随机误差；表示系统误差，xk表示坏值。,上述误差的划分只是相对的，它们在一定条件下可以互相转化。例如当电磁干扰引起的误差数值较小时，可按随机误差取平均值的办法加以处理，而当

26、其影响较大又有规律可循时，可按系统误差引入修正值的办法加以处理。,误差处理方法：剔除：剔除含有粗大误差的测量值；求平均值：对于随机误差采用统计学求平均值的方法来消弱它的影响；标定+修正：对于系统误差，需在测量工作前或在测量工作过程中采取一定的技术措施（例如，标定+修正）来减小它的影响。,2.4 随机误差分析,如前所述，多次等精度测量时产生的随机误差服从统计学规律。本节从工程应用角度，利用概率统计的一些基本结论，研究随机误差的表征及对含有随机误差的测量数据的处理方法。,2.4.1 测量值的数学期望和标准差 1.数学期望 设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值,由于随机误差的存在，这些测得

27、值也是随机变量。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为,(2.4-1),(2.4-2),式中 Ex 也称作总体平均值。,假设上面测得值中不含粗大误差，则,，即,，即,随机误差,系统误差,绝对误差,即绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。,(2.4-3),若一组测量数据中不含有系统误差和粗大误差时，有,即当消除了系统误差之后，随机误差就等于绝对误差。,(2.4-4),图2.4-1 用射击比喻测量,例：用射击比喻测量，图2.4-1中射击(a)(d)，哪些不含系统误差？,2.随机误差的算术平均值,(2.4-5),即随机误差的数学期望等于0。,实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测量，当测量

28、次数足够多时近似认为,(2.4-6),(2.4-7),即,由此可见，在仅有随机误差的情况下，当测量次数n足够多时，测量值的平均值接近于真值，因此，通常将经多次等精密度测量的算术平均值作为真值的最佳估计，即,(2.4-8),3.残差各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：,对上式两边分别求和，有,(2.4-10),4.方差与标准差 随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。方差定义为 时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即,(2.4-11),因为随机误差，故,(2.4-12),由于实际测

29、量中i都带有单位(mV，A等)，因而方差2是相应单位的平方，使用不方便。将式(2.4-12)两边开方取正平方根，得,(2.4-13),式中定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差，简称标准差。反映了测量的精密度，小表示精密度高，测量值集中，大表示精密度低，测量值分散。,2.4.2 随机误差的正态分布1.正态分布理论和测量实践都证明，测得值xi与随机误差i都按一定的概率出现。在大多数情况下，测得值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。表现在随机误差上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。测得值和随机误差的这种统计

30、分布规律，称为正态分布，如图2.4-1和图2.4-2所示。,图2.4-2 xi的正态分布曲线,图2.4-3 i的正态分布曲线,(2.4-15),(2.4-16),由图2.4-3可以看到如下特征：愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小，随着的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(随机误差的有界性)；大小相等符号相反的误差出现的概率相等(随机误差的对称性和抵偿性)。愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测量值愈集中，精密度高，反之愈大，曲线愈平坦，表明测量值分散，精密度低。,正态分布又称高斯分布，在误差理论中占有重要的地位。由众多相互独立

31、的因素的随机微小变化所造成的随机误差，大多遵从正态分布，例如信号源的输出幅度、输出频率等，都具有这一特性。,2.极限误差 对于正态分布的随机误差，根据式(2.4-16)，可以算出随机误差落在-,+区间的概率为,(2.4-17),该结果的含义：在进行大量等精度测量时，随机误差i落在-,+区间的测得值的数目占测量总数目的68.3，或者说，测得值落在-,+范围(该范围称为置信区间)内的概率(在概率论中称为置信概率)为0.683。,(2.4-18),(2.4-19),同样可以求得随机误差落在 2和3范围内的概率为,即当测得值xi的置信区间为Ex-2,Ex+2和 Ex-3,Ex+3 时的置信概率分别为0

32、.954和0.997。由式(2.4-19)可见，随机误差绝对值大于3的概率(可能性)仅为0.003或0.3，实际上出现的可能极小，因此定义极限误差为,(2.4-20),(2.4-21),3.贝塞尔（Bessel）公式前面分析的标准差是在n条件下导出的。实际测量时n为有限次，我们改用残差来近似或代替真正的随机误差i，用 表示有限次测量时标准误差的最佳估计值，可以证明,这就是贝塞尔公式。式中，(n-1)称为自由度。当nl时，值不定，表明一次测量的数据是不可靠。,2.4.3 均匀分布 1.均匀分布的概率分布在测量实践中，还有其他形式的概率密度分布形式，其中均匀分布是仅次于正态分布的一种重要分布，如图

33、2.4-3所示。均匀分布的特点是，在误差范围内，误差出现的概率各处相同。,图2.4-4 均匀分布的概率密度,(2.4-22),均匀分布误差在电子测量中主要有下列几种情况：仪表度盘刻度误差。由于仪表分辨力决定的某一范围内，所有的测量值可以认为是一个值。例如用500V量程交流电压表测得值是220V，在219V221 V之间分辨不清，在该范围内可认为有相同的误差概率。数字显示仪表的最低位“l(或几)个字”的误差。例如末位显示为5，实际值可能是4或6间，也认为在此范围内具有相同的误差概率。数字式电压表或数字式频率计中都有这种现象。由于舍入引起的误差。舍去的或进位的低位数字的概率是相同的。例如被舍掉的可

34、能是5或4或3或2或1，被进位的可以认为是59中任何一个。,2.均匀分布的数学期望与方差,(2.4-23),(2.4-24),方差,标准差,(2.4-25),数学期望,2.5 系统误差分析,2.5.1 系统误差的特性 排除粗大误差后，测量误差等于随机误差 和系统误差 的代数和,(2.5-1),假设进行n次等精度测量时系统误差不变，则xi 的算术平均值为,(2.5-2),当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，i 的算术平均值趋于零，因此，,(2.5-3),可见，当系统误差 与随机误差 i 同时存在时，若测量次数 n 足够大，则绝对误差的算术平均值等于系统误差。这说明测量结果的准确度不仅与随机误差有

35、关，更与系统误差有关。由于系统误差不易被发现，所以更须重视，由于它不具备抵偿性，所以取平均值对它无效，又由于系统误差产生的原因复杂，因此处理起来比随机误差还要困难。消弱或消除系统误差的影响，必须仔细分析其产生的原因，根据所研究问题的特殊规律，依赖测量者的学识和经验，采取不同的处理方法。,2.5.2 系统误差的判断 实际测量中产生系统误差的原因多种多样，系统误差的表现形式也不尽相同，但仍有一些办法可用来发现和判断系统误差.1.理论分析法 凡属由于测量方法或测量原理引入的系统误差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。例如用内阻不高的电压表测量高内阻电源电压就是一

36、例。,2.校准和比对法 当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差。也可以采用多台同型号仪器进行比对，观察比对结果以发现系统误差，但这种方法通常不能查觉和衡量理论误差。,3.改变测量条件法 系统误差常与测量条件有关，如果能改变测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系统误差。上述2、3两种方法都属于实验对比法，一般用来发现恒值系统误差。4残差观察法残差观察法是根据测量数据数列各个残差的大小、符号的变化规律

37、，以判断有无系统误差。,为了直观，通常将残差绘成曲线，如图2.5-1所示。,图2.5-1 运用残差观察法判别系统误差,残差观察法主要用来发现变值系统误差。,5.公式判断法 通常有马林科夫判据和阿卑-赫梅特(Abbe-Helmert)判据，分别用于判定有无累进性系统误差和周期性系统误差，具体参见教材P31。,2.5.3 减少或消除系统误差的方法 1.消除系统误差产生的根源 产生系统误差的原因很多，如果能找出并消除产生系统误差的根源或采取措施防止其影响，那将是解决问题的最根本办法。例如：所采用的测量方法和依据的原理是正确的，所选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求，如要测量工作于高频段的电感电

38、容，应选用高频参数测试仪(如LCCG-l高频LC测量仪)，而测量工作于低频段的电感电容就应选用低频参数测试仪(如WQ-5电桥、QSl8A万能电桥)。,测量仪器应定期检定、校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器，尤其对于精密测量，测量环境（温度、湿度、大气压、交流电源及电磁干扰等）的影响不能忽视，必要时应采取稳压/恒温、电磁屏蔽等措施。条件许可时，可尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。提高测量人员的学识水平、操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。,2.用修正法减小系统误差预先将测量仪器的系统误差检定出来，整理

39、出误差表格或误差曲线，作为修正值，与测量值相加，即可得到基本上不包含系统误差的结果。这是一般测量仪表常用方法。由于修正值本身还有一定的误差，因而这种方法主要应用于工程测量。,3.减小系统误差的典型测量技术(1)零示法将待测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，零示器示值为0，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。电位差计是采用零示法的典型例子，图2.5-2是电位差计的原理图，其中EB为标准电压源，RB为标准电阻，Ex为待测电压，G为零示器(常用检流计)。,图2.5-2 电位差计原理图,调节RB使IG0，则被测电压UXUB，即,(2.5-4),该方法的优点是：(1)在测量过程中只需判断检

40、测检流计 G 有无电流，不需要读数，因此只要求它具有足够的灵敏度，而测量的准确度主要取决于标准量（EB、R1、R2）。(2)测量回路无电流，导线上无压降，因此误差很小。缺点：需要稳定而准确的直流电源 EB 及标准电位器RB。,可用于零示法的零示器的种类很多，有光电检流计、电流表、电压表、示波器、调谐指示器、耳机等，只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无关，从而可消除由于零示器不准所带来的系统误差。可见，零示法是减小测量误差的一种较好的方法，因此广泛应用于阻抗测量(各类电桥)、电压测量(电位差计及数字电压表)、频率测量(拍频法、差频法)及其他参数的测

41、量中。,(2)替代法 替代法又称置换法。它是在测量条件不变的情况下，用一已知标准量替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量值。由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系统误差对测量结果不产生影响，测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。,图2.5-3是替代法在精密电阻电桥中的应用实例。首先接入未知电阻Rx，调节电桥使之平衡，此时有,(2.5-5),然后用可变标准电阻RB(如标准电阻箱)代替Rx，并在保持 R1R3不变的情形下通过调节RB使电桥重新平衡，则,(2.5-6),(2.5-7),因此，,图2.5-3 替代法测量电阻,由于

42、不改变原电路的工作环境，其内部特性及外界因素所引起仪器示值的误差，对测量结果不产生影响，所以它是一种比较精密的测量方法。这种方法的局限性在于需要一套参数可调的标准器件，且只能用于替换参数的场合。,(3)微差法 微差法又叫虚零法或差值比较法，实质上是一种不彻底的零示法。在零示法中须仔细调节标准量 B 使之与 x 相等，通常这很费时间，有时甚至不可能做到。微差法是允许标准量 B 与被测量 x 的效应不完全抵消，而是相差一微小量，如图2.5-4所示。设 xB，则x=B+。,图2.5-4 微差法原理框图,x 的示值相对误差为,（2.5-9）,（2.5-10）,x 的绝对误差为,（2.5-8）,由于 B

43、 x，则B+B，令，得,可见，测量误差 主要由标准量的相对误差B/B决定，而与测量仪器的示值误差关系 较小。,2.6 测量误差的合成与分配,前面误差计算问题是关于直接测量的误差，而在很多场合下，由于进行直接测量有困难或直接测量难以保证准确度，需要采用间接测量。通过直接测量与被测量有一定函数关系的其他参数，再根据函数关系算出被测量。在这种测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。研究这种函数误差有两个方面的内容，即误差的合成与分配。,(1)误差合成问题：已经被测量与各参数之间的函数关系及各测量值的误差，求函数的总误差。例如，在间接测量中功率、电能、增益等量值的测量，一般都是通过电压、电流、电阻及时

44、间等直接测量值计算出的，如何用各分项误差求出总误差是经常遇到的问题。(2)误差分配问题：已经各参数之间的函数关系及对总误差的要求，分别确定各个参数测量的误差。误差分配问题在实际测量中具有重要意义。例如：制订测量方案时，当总误差由测量任务被限制在某一允许范围内时，如何确定各参数的允许界限？,2.6.1 测量误差的合成 设最终测量结果为y，各分项测量值为x1,x2,xn,且满足函数关系，则y=f(x1,x2,xn)假设各xi间彼此独立，xi的绝对误差为xi,y的绝对误差为y，则y+y=f(x1+x1,x2+x2,xn+xn）用泰勤公式展开，,(2.6-1),因为xx，所以(x)2或x1x2等高阶小

45、量可以略去，则,(2.6-2),相对误差形式为,此式即绝对误差传递公式，式中xi=xi-A0i为自变量的绝对误差，为误差传递系数。,(2.6-3),此式即相对误差传递公式。式(2.6-2)及式(2.6-3)是误差理论的基本公式。,2.6.2 常用函数的合成误差 1.和差函数的合成误差 设 y=x1x2,利用式(2.6.2)得到绝对误差,(2.6-7),当x1、x2符号不能确定时，从最大误差考虑，有,(2.6-8),利用相对误差定义或式(2.6.3)得到相对误差,(2.6-9),若误差符号不能确定，则对于和函数，,(2.6-10),(2.6-11),对于差函数,由式(2.6-11)可见，对于差函

46、数，当测得值x1、x2比较接近时，可能造成较大的误差。,例2.6-1 用指针式频率计测量放大电路的频带宽度，仪器的满度值fm10MHz，准确度1，测得高端截止频率fh 10MHz，低端截止频率fl 9MHz，试计算频带宽度的合成误差。解：仪器的最大绝对误差,因此，,频带宽度 B=fh-fl 的相对误差：,由此可见，所用仪器为1.0级，准确度已很高，但最终测量结果的相对误差却很大。这是由于fh、fl比较接近的缘故，属于测量方法不当，应利用扫频仪等来测量。,2.积函数的合成误差 设 y=x1x2，由式(2.6-2)得到绝对误差,由式(2.6-3)得到相对误差,(2.6-12),(2.6-13),(

47、2.6-14),若 都有正负号，则,3商函数的合成误差 设 y=x1/x2，由式(2.6-2)得到绝对误差,由式(2.6-3)得到相对误差,(2.6-15),(2.6-16),(2.6-17),若 都有正负号，则,4幂函数的合成误差 设,(2.6-18),(2.6-19),若 都有正负号，则,5积商幂函数的合成误差 设，式中k、m、n、p均为常数，综合上述各函数合成误差公式，直接得到,(2.6-20),当 都有正负号时，有,(2.6-21),2.6.3 系统误差的合成1.确定性系统误差的合成对于误差大小符号均已确定的系统误差，可直接由误差传递公式进行合成。,(2.6-22),当随机误差i不计时

48、，xi=i+i=i，则,(2.6-23),例2.6-2 有5个1000的电阻串联，若各电阻的系统误差分别为 1=-4，2=5，3=-3，4=6，5=4，求总电阻的相对误差R。解：总电阻：R=R1+R2+R3+R4+R5=5000假设随机误差不计，则,相对误差,(2.6-19),(2.6-20),2.系统不确定度系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度，用 表示，相对系统不确定度用 表示，例如测量仪器的基本误差、工作误差等都属此类。(1)绝对值合成法,(2.6-21),(2)均方根合成法,(2.6-22),(2.6-23),一般情况下(积函数),(2.6-24),例2.6-3 体育运动会上，一

49、人用秒表对一名短跑运动员计时。设起跑及终点最大计时误差均为0.03s，试求总的不确定性系统误差。解：用绝对值合成法用均方根合成法一般地说，以误差0.04s较为合理。,2.7 测量数据处理,2.7.1 有效数字的处理 1.有效数字 由于测量数据或者用测量数据得到的算术平均值都含有误差，是近似值。因此定义测量数据通常从误差角度来定义，即它的绝对误差不大于末位数字单位的一半时，从它左边第一个不为0的数字算起，到右面最后一个数字(包括0)止。,判别以下测量数据的有效数字和极限误差：3.1416，3.142，8700，87102，0.087，0.807 解：3.1416 5位有效数字，极限(绝对)误差0

50、.000 05 3.142 4位有效数字，极限误差0.000 5 8 700 4位有效数字，极限误差0.5 87102 二位有效数字，极限误差0.5102 0.087 2位有效数字，极限误差0.000 5 0.807 3位有效数字，极限误差0.000 5,2.数据舍入规则对测量结果中的多余有效数字，应按下面的舍入规则进行：以保留数字的末位为单位，它后面的数字若大于0.5单位，末位进l；小于0.5个单位，末位不变；恰为0.5个单位，则末位为奇数时进位，末位为偶数时不变，即使末位凑成偶数。简单概括为“小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则”。,例2.7-1 将下列数字保留到小数点后一位：l2.3