数学欣赏26A数学概览.ppt
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1、主讲:张文俊,数学欣赏,数学欣赏A,数学概览主讲:张文俊,深圳大学数学学院2006年9月,A Survey on Mathematics,SZU,In this Chapter,第一节 数学及其发展,数学是什么,数学分支发展,数学的分类,主要内容,数学发展轨迹,地王大厦有多高?,地王大厦有多高?,文学家:巍然屹立、高大宏伟、高耸入云物理学家:拿根绳子去量一量数学家:类比:选取标尺,然后利用标尺与大厦投影的长度及相似原理,准确地测量出大厦的高度;转化:利用直角三角形直角边长与其对角的依赖关系,把大厦高度的测量转化为对仰视角的测量。,名人语录,任何一门科学,只有当它用到数学时,才能得到真正完善的发
2、展。Karl Marx 数学是打开科学大门的钥匙。Rogen Bacon 数学是我们时代有势力的科学,它不声不响地扩大它所征服的领域;那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。J.F.Herbart,数学的是什么?,1,一、数学是什么?,19世纪时由恩格斯给出的定义 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式(简称:数与形)的科学 按照恩格斯所说,数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。,一、数学是什么?,代数数量关系的科学,有序思维占主导,培养计算与逻辑思维能力;几何空间形式的科学,视觉思维占主导,培养直觉能力和洞察力;分析数形关系的科学,量变关
3、系占主导,函数为对象、极限为工具,培养周密的逻辑思维能力和建模能力。,一、数学是什么?,20世纪初的定义 数学是研究模式与秩序的科学 数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。,一、数学是什么?,数学中基本的集合包括:各种数的集合;各类图形;各类函数;各种空间;一般的抽象集合等,一、数学是什么?,数学中的基本结构有三种:代数结构(反映“合作”关系的各种运算及其算律);顺序结构(反映对比关系的大小、先后,反映隶属关系的蕴涵);拓扑结构(反映亲疏程度与规模大小的距离)。,一、数学是什么?,一、数学是什么?,一、数学是什么?,比如:,一、数学是什么?,集合与结构的建立与组合有其
4、特有的原则和方法,这体现为数学的独特思考方式。这些方式包括:,模型化,最优化,公理化,抽象化,符号化,类比,化归,分类,一、数学是什么?,这些是数学体系的特征,也是数学能力的体现。它们保证了数学体系的简洁性与严谨性数学结论的可靠性与普适性数学方法的有效性与便利性数学思想的科学性与深刻性,一、数学是什么?,分类研究是数学研究中的重要思想,比如,数学中许多对象是通过定义引入的,这种“定义”的方法,本质上是对事物进行分类的手段,它把符合某种性质的事物划为一类,深入研究其基本性质。,一、数学是什么?,化归方法是数学中的重要方法。这一方面表现在处理数学问题的过程中,将复杂对象或陌生对象化归为更熟悉的简单
5、对象;另一方面也表现在数学的结论中,数学中许多结论都表现为对一种数学对象的多个等价刻画,数学中的“充分必要条件”是描述这一现象的典型语句,它本质上也是对数学对象性质的化归。,一、数学是什么?,类比方法也在数学中扮演着极为重要的角色,许多陌生对象的性质和研究方法都来自于数学家的类比思想。,一、数学是什么?,抽象化与符号化是数学的重要特征,它使得数学概念脱离了事物的物质属性,形式简洁、内涵丰富、应用广泛。,一、数学是什么?,公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实基础之上,容易明辨是非。比如,几何学的正确性归结于诸如“等量加等量,总量仍相等”等公理体系的正确性。公理化方法也是数
6、学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域,当经验知识积累到相当数量时,就需要进行综合、整理,使之条理化、系列化,从而形成新的概念理论以更新系统,以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平,又表现为抽象程度更高的公理化体系。,一、数学是什么?,最优化是数学追求的目标之一;模型化是人类将实际问题转化为数学问题的重要手段;二者都为人类圆满地解决实际问题发挥了重要作用。,一、数学是什么?,新世纪人们对数学的新认识:“方法”或“工具”“思维”“数学思维”;“学科”“文化”“数学文化”;“知识”“素质”“数学素质”。,一、数学是什么?,“数学思维”是一种能够通过分析、类
7、比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维,一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维,一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维,一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。,一、数学是什么?,“数学文化”是现代科技文化的核心,是现代科技的形式语言,是理性主义观念。“数学素质”则是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。,数学的分类,2,二、数学的分类,从纵向划分:初等数学和古代数学;变量数学;近代数学;现代数学。,二、数学的分类,初等数学和古代数学:古希腊时期建立的欧氏几何学;古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术;欧洲文艺复兴时期发展起来
8、的代数方程等。初等数学又叫常数数学。,二、数学的分类,变量数学:是指17-19世纪初建立与发展的数学。起点:解析几何;标志:微积分(数学分析);特点:数形结合,引入了变量,可以研究运动。,二、数学的分类,近代数学:是指19世纪的数学。主要特征:分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。,二、数学的分类,现代数学:是指20世纪的数学。起点:1900年Hilbert提出的23个未解决的数学问题;特点:学科分支增多,交叉增强(如:代数拓扑、微分拓扑、代数几何等);基础:Cantor的集合论。,二、数学的分类,现代数学的三大趋势:交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势;边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋
9、势;数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。,二、数学的分类,现代数学的六大特征:从单变量到多变量,从低维到高维;从线性到非线性;从局部到整体,从简单到复杂;从连续到间断,从稳定到分岔;从精确到模糊;计算机的应用。,二、数学的分类,从横向划分:基础数学(理论、纯粹数学)(代数、几何、分析,三大分支)应用数学计算数学概率统计运筹与控制论,二、数学的分类,做出以上的分类方法是按照中国几十年的惯例进行的。耶鲁大学计算机科学教授拉斯兹洛(Lszl Lovsz)在ICM98上载文“只有一个数学不存在划分数学的自然方法”,从数学的三个新趋势:规模的扩大、应用领域的扩大、计算机工具的介入,说明试图寻找对数
10、学的科学分类是徒劳的。比如,他说:,二、数学的分类,没有一个领域能够退回到它的象牙塔里而对应用关上大门;也没有一个领域可以宣称自己是应用数学。,数学分支发展概观,3,三、数学分支发展概观,按照恩格斯关于数学研究对象的论述,数学大体上分为三类:代数学、几何学、分析学。这其实包含了经典数学的基本分支。经典数学研究的是事物的确定的数量关系和空间形式,康托的经典集合论是其理论基础。,三、数学分支发展概观,然而,现实生活中的事物并非全都如此,它们既有确定性现象,也有随机现象,还有模糊现象,更有可变化的事物现象,因此相应地就产生了研究随机现象的随机数学,研究模糊现象的模糊数学,研究可变现象的可拓数学。,三
11、、数学分支发展概观,1 几何学通论几何学就是人类文明对空间本质的“认识论”;宇宙中的所有事物皆存在于其中、发生于其内,并永远受着空间本质的制约与孕育;而空间既完美又简朴的本质则是孕育着宇宙万物万象中至精至简的根源。几何学的目的就是去研究、理解空间的本质,它是我们认识大自然、理解大自然的自然起点和基石所在;也是整个自然科学的启蒙者和奠基者;是种种科学思想和方法论的自然发祥地。,三、数学分支发展概观,研究对象:诸如“几何物体”和图形的几何量,是空间形式的抽象化;研究内容:各种几何量的关系与相互位置;研究方法:实验方法、思辨方法、解析方法.,三、数学分支发展概观,欧几里得几何学在承认某些自明的公理的
12、前提下,按照严密的演绎推理方法,一层一层地建立起来的一套系统严密的几何学知识体系。,三、数学分支发展概观,解析几何1637年,法国数学家笛卡尔引入了坐标的观念,实现了数形结合,创立了解析几何,使得人们可以用代数方法研究几何问题,实现了数学的两大分支代数与几何的联系。两个重要观念:点、数联系的坐标观念,曲线的方程表示观念。,三、数学分支发展概观,向量几何也叫向量代数,该学科产生于十九世纪中叶,是由德国数学家哈密尔顿(W.R.Hamilton,18051865)和格拉斯曼(H.G.Grassmann,18091877)等创立的。向量几何是不依赖于坐标系的解析几何,是坐标几何的返璞归真和精益求精,它
13、使得几何和代数结合得更加真切自然、直截了当。,三、数学分支发展概观,分形几何分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特()在1975年首先提出的,被誉为大自然的几何学。这是现代数学的一个新分支,其本质是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成;它承认世界的局部可能在一定条件下、一定过程中、在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性;它承认空间维数的变化既可以是离散的,也可以是连续的。,三、数学分支发展概观,2 代数学大观代数学是研究数的科学,起源于古代中国和古埃及。早期的代数学其实是研究数的运算的,因此叫做算术。“代数学”一词源自于拉丁文al
14、gebra(公元12世纪之后),但它又是从阿拉伯文“还原与对消”(al-jaber walmuqabala)(公元820年左右)或“方程的科学”变化而来。,三、数学分支发展概观,代数学的符号化第一阶段是文字代数学,其主要标志是,代数书全部由文字表述。第二阶段是简写代数学,其主要标志是,采用以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达(Viete,Francois.15401603)对代数学符号化的发展作出了重要贡献。,三、数学分支发展概观,初等代数学初等代数是代数学的古典部分,它是随着解方程与方程组而产生并发展起来的,是研究数字和文字的代数运算理论和方法的科
15、学,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。,三、数学分支发展概观,初等代数的中心问题是研究方程或方程组的解的存在性、解的个数、解的结构问题,因而长期以来都把代数学理解成方程的科学。,三、数学分支发展概观,初等代数的基本对象包括:三种数有理数、无理数、复数;三种式整式、分式、根式。,三、数学分支发展概观,初等代数的中心对象方程整式方程、分式方程、根式方程和方程组。,三、数学分支发展概观,初等代数的基本内容代数式的运算和方程的求解,其中代数运算的特点是只进行有限次的运算。,三、数学分支发展概观,初等代数运算十条规则:五条基本运算律(加法交换律、加
16、法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律);两条等式基本性质(等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变);三条指数律(同底数幂相乘,底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数相乘;积的乘方等于乘方的积)。,三、数学分支发展概观,高等代数学高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数、多项式代数。,三、数学分支发展概观,线性代数的研究对象是线性方程组,研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数、解的结构问题,研究工具包括矩阵、行列式等。围绕线性方程组的这些核心问题,线性代数不仅要研究数,数的运算,还有矩阵、向量、向量空间
17、的运算以及变换等。,三、数学分支发展概观,多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。,三、数学分支发展概观,3 分析学大意分析学是指以微积分学为基本内容的数学分支的全称,包括微积分学、微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等。这里我们只介绍微积分等几个基础分支学。,三、数学分支发展概观,微积分学 简单地来说,微积分学是微分学和积分学的总称,其研究对象是函数;研究工具是极限;研究内容包括函数的微分、积分,以及联系微分与积分的桥梁微积分基本定理。,三、数学分支发展概观,4 随机数学一瞥在自然界和现实生
18、活中,一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中,根据它们是否有必然的因果联系,可以分成截然不同的两大类:一类是确定性现象,另一类是不确定性的现象,这类现象是在一定条件下,它的结果是不确定的。这种现象叫做偶然现象,或者叫做随机现象。,三、数学分支发展概观,从表面上看,随机现象似乎是杂乱无章、没有什么规律的现象。但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性,叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科,统称为随机数学。,三、数学分支发展概观,5 模糊数学概览现实生活中有许多模糊现象,比如,秃子、年轻、高个子、胖子、干
19、净,好、漂亮、善、热、远等。模糊数学就是研究如何处理与把握这些模糊现象的科学,其基础是1965年美国控制论专家、数学家查德(Zadeh,L.A.1921)引入了模糊集合的概念。模糊集合描述事物“是”与“非”的程度。,三、数学分支发展概观,6 可拓学中国人自己创立的新学科全世界有2000多门学科,而中国人自己创立的则很少。以研究解决矛盾问题的规律和方法为内容的新兴学科可拓学,是由广东工业大学蔡文研究员创立的。蔡文先生引进了物元的概念,它是包括事物的名称N、特征C和关于此特征的量值V的有序的三元组R=(N,C,V)。,三、数学分支发展概观,可拓学有两个理论支柱,一个是研究物元及其变化的物元理论,一
20、个是建立在可拓集合基础上的可拓数学。物元理论着重研究物元的可拓性,物元的可变性,借以探索事物变化的过程,寻求解决问题的方法。所谓物元的可拓性,即可开拓性,是指事物变化的多种可能性,包括发散性、可扩性、共轭性和相关性。所谓物元的可变性,即可变换性,是指在一定条件下,物元的要素(事物、特征和量值)的变换或分解。,三、数学分支发展概观,可拓数学是对应用数学的发展,它是建立在可拓集合的基础上的。在现实世界中,事物是可变的,事物具有某种性质的程度也是可变的,因此,“是”与“非”及其程度都是可以转换的。蔡文先生在1983年引入的可拓集合概念,兼顾了这些因素。在此基础上,建立了可拓数学,从经典数学对数量关系
21、和空间形式的研究发展到对物元关系和物元空间形式的研究,以矛盾问题的转化为研究对象,成为可拓学的一大理论支柱。应用可拓数学,使人们能够定量研究自然科学、社会科学和工程技术中的各种矛盾问题。,数学形成与发展的因素与轨迹,4,四、数学形成与发展的因素与轨迹,陈省身说:大致说来,数学和其他科学一样,它的发展基于两个原因:(1)奇怪的现象;(2)数学结果的应用。结果把奥妙变为常识,复杂变为简单,数学便成为科学的有利而不可缺少的工具。,四、数学形成与发展的因素与轨迹,1.数学的形成与发展的因素 实用的、科学的、哲学的和美学的因素,共同促进了数学的形成与发展。,四、数学形成与发展的因素与轨迹,第一动力:解决
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