数学建模报告(孟大志).ppt
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1、数学建模的结构主义方法,孟大志北京工业大学,一、数学建模为什么火起来?,数学建模确实火起来:数学建模成为大学普遍开设的课程;数学建模已经在社会生活与生产建设中普遍应用;数模竞赛参赛队每年增长20%,去年1.5万个队,近30万学生参加各级竞赛!吉尼斯纪录!,1、二十一世纪的特征,芯片和网络是二十一实际最广泛的物质特征;作用:数据信息的收集、存储、处理和传输。,计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。海量数据源:Web与Internet数据、社会管理数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、科学研究数据、多媒体型数据,等等。,下一个核心产业是什么?“奔驰和车上的人哪个值钱?”IT t
2、o DI(data information)?,海量数据是最大的资源:数据信息产业!,数据处理法统称为:计算!,因此,计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征!,海量数据首先需求:数据处理目的是获取信息与知识。,数据信息知识:数据+结构信息,信息+结构知识。,计算的变迁以应用问题为核心的计算传统的计算,应用问题求解:数学模型计算。多因素关系模型:线性方程组,线性拟合,线性逼近;非线性和随机分布等等。动态模型:微分方程组,离散动力系统,迭代格式和随机过程等等。多因素综合评估与分类模型:模糊数学,神经网络,层次分析、机器学习等等。优化问题模型:有约束与无约束数学规划,遗传算法和蚁群算法,分类与聚类,随
3、机模拟等等。,微软亚洲研究院“二十一世纪的计算”大型国际学术研讨会在一年一次的例会上,明确提出了二十一世纪的计算将从以应用为核心的计算理念转变为以数据为核心的计算。,从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方法以数据为核心的计算,即没有或不清楚数据中隐含的信息与知识,通过计算与建模发现数据的应用数据挖掘。,计算应用建模计算,例子:IC卡数据有什么用?,2.1科学中心转换生物学方法的需求,2、二十一世纪的社会需求,生物学与所有其他学科,如物理学、化学、地理学,有完全不同的特质:编码的信息,因此,生物学以外的学科都只能通过类比的方式(analog)进行分析。而生物学特质的核心是数字化的,因此生物学是可
4、以通过破译而解读的。导致数学方法和数学模型化方法的不同。,二十世纪是物理学世纪:理论力学、电动力学(场论)、统计力学、量子力学与相对论。形成理论物理,同时推动了数学的发展。,流形上的函数及其场方程的模型:代数方程组和微分方程组。,理论力学的 Lagrange和Hamilton方程组;电动力学的 Maxwell方程组;统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数;量子力学的 Shrdinger、Dirac、Heisenberg方程;相对论的 爱因斯坦的引力场方程。,二十一世纪形成以生物为核心的多中心:,二十一世纪的中心学科转变,生物学世纪:数学模型是什么?数学方法是什么?计算方法是什么?是方程与方程
5、的计算吗?,这种全新的模型、计算和数学需求刺激了数学家们重新关注:什么是数学模型?什么是生物的计算?什么是新的数学?,系统生物学将推动现代数学的发展!,陈省身:二十世纪的数学家要关注物理,二十一世纪的数学家要关注生物学。,杨振宁:我们应该关注生物学,生物学还没有理论,但是积累了大量的数据,期待理论的建立。,数据、信息、知识是解决问题的基础,解决问题的方法是数学建模和计算:应用数学。,经济模型:金融政策、股票、市场、价格策略与超市,等等。,社会模型:社会冲突与政策、预警、社会心理学、政策评估、犯罪学、发展与可持续问题,资源与环境,等等。,个人生活模型:婚姻评估与预测、家庭理财、个人活动优化、人生
6、规划评估、高考志愿填报、朋友圈子设计与评估、保险与个人风险,等等。,2.2 社会与经济的需求,科学研究中的模型化方法:物理学、化学、生物、工程技术、经济管理、考古与历史、人文与社会学、美学与艺术、心理学,数学本身的建模等等。一个成熟的科学标志:公理化体系与数学形式化。,管理问题模型:生产统筹、多因素评估(绩效评估等)、流程优化(物流与配送)、资金优化与效益评估、ERP模型等等。,网络建模:Web与Inter网的稳定性、路由策略、带宽分布、网络鲁棒性与安全、网络上节点的信息集成与分析等等。,3 结构主义的催化,美国科学周刊登载了系统生物学专集。该专集导论中的第一句话这样写道:“如果对当前流行的、
7、时髦的关键词进行一番分析,那么人们会发现,系统高居在排行榜上。”,3.1 系统成为最基本的研究对象,系统的结构:系统中所有元素之间关联的总和其数学模型是结构的数学表示网络。,利用皮亚杰的结构主义理论,可以对系统的结构进行可程序化的分析。,3.2结构主义与数学,定义:结构是一个由种种转换规律组成的体系,包括三个特性:整体性、转换性和自身调整性。,结构应该是可以形式化(公式化)的。,布尔巴基学派法国年轻人的数学团体 数学原本基础数学的经典论著 结构主义布尔巴基数学思想三大结构:序结构、代数结构和拓扑结构,布尔巴基的数学结构主义 最早被研究的结构是在数学中,这就是伽罗华(Calois)的群结构,此后
8、数学结构的研究就逐步蔚然成风,产生了布尔巴基学派。,结构数学从本质上支持了数学建模的方法、能力与普适性。,二、数学建模的三个方面,1、科学研究建模应用研究:各个领域的问题建模和模型求解,当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模型,股票模型,市场的博弈模型,经济趋势模型,等等。系统生物学是以建模为核心的生物学,成为生物学世纪的标志性学科。应用数学的基本方法:数学建模+计算。,建模理论研究:仿真、模拟和数学模型,类比的数学建模方法,结构主义数学建模的理论与实践。,仿真、模拟:既是建模的工具,也是模型检验的方法。,类比:最初等也是最常用的建模方法,但不是本质的方法知其然方法。,结构主义数学建模:
9、一种本质的方法,是基于数学结构的基本方法。,2、教学数学建模方法融入数学主干课程这是叶其效教授提出并倡导的数学教学改革重要方向。目前在微积分、高等代数、微分方程等课程中都取得大量的教学成果。数学来源于对于现实世界的抽象建模;数学的发展本身也是不断地抽象建模过程;数学的应用仍然是建模的过程。数学建模方法在:方法学、应用和数学体系的教学中,都可以“融入”!,功能数学与结构数学的思想与教学方法 传统的数学教学是功能数学,目的是解决三个问题:这个数学是什么?它有什么用?它如何应用?结构主义数学是回答:这个数学德本质是什么结构?它适用于什么结构的实际问题?如何表示这种结构?,结构主义数学教学将有益于数学
10、建模能力的培养。,3、竞赛与培训传统的数模培训:应用工具(统计软件和Matlep)、案例分析与写作方法、合作性经验。,李大潜在7月7日数模组委会上提出:目前的培训是如何在竞赛中建模和写论文,缺少让学生和老师理解为什么建模?建模的应用与意义?没有对于建模的深入理解无法提高数模水平和质量,无法建立用数学思考世界的素质。,教给学生什么?数学建模的意义、内容和方法。,类比、引用和借鉴是很有效的方法:现状!,数学建模方法=创造性的本质方法+模型类比方法,三、结构主义建模方法的引出:建模=引模?,例一、Web中的问题,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上,每天有成千上万的多媒体文件在传输(例如,路透社
11、每天收到网上文本文件达20万)。试建立数学模型,使得可以对这些文件进行自动分类,以便人们阅读和使用。,能引用的案例是什么?没有可用案例时怎么办?,例二、中国菜系研究,中国是一个美食及其文化非常丰富的国家,因为国土辽阔,人口众多。中国著名的菜系:苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。请用数学建模方法研究这些菜系的特点。,如何建模是方法的研究性问题:数学建模本质上是一个创造性的过程,如何“创造”是一个科学研究课题。,四、从定义引出的方法,从基本概念的理解出发:模型?+数学?数学模型?如何建模?,问题:如何从数学模型的概念出发构造方法?,结构化数学建模方法:基于创造的本质性的方法。,1)社
12、会科学模型经济与管理科学模型、军事模型(越战)、政治模型、社会学模型等等。,1、概念:什么是模型,这是一个通过举例或指认回答的简单问题。,例 项目管理科学中的甘特图模型 反映了在项目管理中各个过程的受控运行状态,是项目各部分关联结构的动态表示。,例 选举模型多数选举法、累计选举法等等,是特种社会活动的模型。,这些模型共同特点是:表达方式易于理解,抽象度低。,例经济学模型:市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模型、金融模型,等等。,建筑模型,交通模型,电路模型,服装模型 等等。表达:建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。,2)工程技术模型,3)生命科学模型新陈代谢模型、光合作用模型、血液循
13、环模型、DNA双螺旋模型、蛋白质结构模型等等。,用专业理论抽象出的结构:并用专业语言表示的模型。,5)物理模型基本粒子、原子模型、晶体模型、光学的衍射等等。,4)化学模型苯环、化学健理论、反应平衡等等;,2、模型是什么?定义!,模型:以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。,抽象出结构:不是一般概念的抽象,而是结 构的抽象;,适当的表示:使用不同知识与方法,需要不同 的语言表示。,特定目的:目的不同,关注的结构(事物的内部 联系)不同;,例.飞机模型目标不同,模型不同,目的:空气动力学研究抽象结构:外型结构,除去内部构造;,目的:机舱设计抽象结构:内部空间结构,除去外部结构;,不同目的关注的
14、内容不同,抽象的结构不同。,表示:专业图形和航空语言表示。,3、核心是结构,理解原型的结构,抽象并表示结构是核心问题。,什么是结构?,抽象的数学语言:集合的结构是集合的子集族。,例 图书馆,字符集:中文字、英文字母、数字等等各种字符的全体。,书、文章、多媒体文本等形成子集族集合的文本结构。,文本按知识类型分类,形成不同层次的子集族国际图书分类法图书馆的藏书结构专业模型。,结构是核心:同一个集合,不同结构原型的意义不同。,例 语言,下雨天 留客天 留我不留,下雨天留客 天留我不留,语言的结构不同,含义不同(数据同)。,例.语言的不同结构产生不同的文学信息,唐诗清明时节雨纷纷路上行人欲断魂借问酒家
15、何处有牧童遥指杏花村,宋词清明时节雨纷纷路上行人欲断魂。借问酒家何处有牧童遥指杏花村。,剧本(元曲)清明时节雨纷纷路上行人(欲断魂):借问酒家何处有?牧童(遥指):杏花村。,时间环境地点人物语言另人物动作语言,抽象出结构:,七言唐诗,比较规整,适于言志“诗言志”,宋词,错落有序,用语活跃,适于抒情“词抒情”,元曲时间、地点、情景、人物、动作、言语等。用语白话,易懂。,百姓故事,结构的不同表示可以表现出文学基调不同:,用音高表示:,唏 唏 唏 唏,唏啦嫂发米来斗,嫂 啦 米 啦 嫂 米,规则,变化,4、模型抽象度与数学的普适性,1)、科学的依赖序关系与抽象度,模型表示的抽象度依次递减,表现出数学
16、的普适性。,结构主义学派(Bourbaki):数学=集合+结构,2)、数学是什么?,这是一个困难的问题,并没有唯一的答案。,数学是普适的,原型=具体元素 的集合+具体的结构,数学=抽象元素 的集合+抽象的结构,五、结构主义数学建模,“定义”:模型原型结构的恰当表示;数学:集合+结构,数学是研究结构的,数学模型:原型结构的数学表示。“定义”:如何建模?,1.结构化数学建模程序,数学语言表示的结构,数学模型,专业语言描述结构,专业模型,分析出原型的结构,并用数学语言表示的模型。,一般流程:,有些问题专业模型难,有些问题数学模型难。,对原型确定目的,Web中的数学建模例子,网络已经成为现代人的一种生
17、活方式。在网上,每天有成千上万的多媒体文件在传输(例如,路透社每天收到网上文本文件达20万)。试建立数学模型,使得可以对这些文件进行自动分类,以便人们阅读和使用。,2.用结构主义思想分析赛题,在线文本自动分析,问题的目标:在线电子文本的计算机自动分类与辅助理解。理解基于分类,分类是理解的主体,理解就是分类!,两类“分类模型”的目标:检索性分类国际图书分类法,目的是查询;,理解性分类基于语意、概念层、主题层的细分类,目的是分析和理解。,)建立专业模型,原型的结构分析,文本章节段落语意团句或短语词字符,文本的结构:,原型有两层结构:文本的结构;文本集合的结构。,分析:文本集合的结构依赖于文本的结构
18、;文本集合的结构是原型对于目的的主要结构;因此文本的结构的表示依赖文本集合的结构。,原型的专业模型(源于关键词和摘要的作用的理解),模型1.以词频为特征的分类模型,词:有语意的初级字符串单位语言的细胞;,词在文本中的频率与不同类文本间频率差别是分类的基本特征和基本的结构性差别。,模型2.以语意团为特征,重在语意差别的分类。,模型3.混合模型,语言能力模型:乔姆斯基的语法结构模型是另一类语言模型。,文本集的结构分析:,联想到数学中代数结构:集合中定义代数运算,加法和数乘,元素间的运算关系 结构相同!,两个文本的合并还是文本一个文本的倍数仍然是文本,分析文本集的结构,首先是文本之间的相互关系:,)
19、、同构分析(数学结构与原型结构的联系),同构:此时问题的原型的结构直接和数学结构联系起来!,文本的集合应该有一个“线性空间”的结构;文本的分类是在线性空间中的“向量的分类”!,对于线性代数的结构有清楚的理解和关注,则容易发现:,因此,与每个文本对应定义一个文本向量,用于分类,分量如何定义?,显然,分量是“分类特征”的具体表示:从关键词和检索中,容易想到基于词频的,可用于区分文本的量化的表示!,数学模型:向量空间的结构+词频特征表示。,)、同构表示与数学建模,建立原型结构的数学表示则建立了数学模型。,文本集合同构于线性空间,文本的分类是线性空间中向量的分类。,根据专业知识,词频及具有分类的特征信
20、息的度量信息熵!因此可以仿照熵的定义:,这里熵的形式,一来用类似信息熵的定义,符合“分类”的特征信息的概念;二来,词频的作用大于词在文本集合中出现的作用。,假设TF(w(i),dj)是词w(i)在文本dj中出现的次数,|D|是D中文本总数,DF(w(i)是指在D中至少出现一次w(i)的文本数。则每一个文本djD,和一个特征词w(i)存在一量:,形式化:,记d(i)j=TFIDF(w(i),dj),则每一个文本djD,存在一个分量适当排序的文本向量。,文本向量空间模型与文本向量:,问题的目标:文本集的分类,建模过程,高维问题;训练集的数据量大;理解性细分类的精度低。,主要数学问题和某些进一步研究
21、课题:,1、SVM的微分几何方法;,2、词频分布特征的研究,用分布特征分类和理解;,3、添加语意的分类模型;,4、大规模数据挖掘方法寻找分类模式与规则。,许多方法可以用于求解,例如SVM分类器对于数据压缩很有效。,文本自动分类:理解文本的类属性,子空间分类.文本自动聚类:发现文本集合中的新模式,新概念.,文本向量:由文本的实意词的特征值或特征模式为分量的向量.以信息熵的形式构造.,特征子空间:具有某种共同意义的分量组成的子空间.,文本向量空间:全部文本向量的高维线性空间.,应用事例:思想史研究中,“五四”运动的讨论的主要思想是什么?,发现在“自由主义”的特征词所在的子空间中,文本的投影数量最大
22、!,例题小结:本题在向学生展示时,几乎没有人有任何思路,主要是未见过类似的问题。这是因为“引模”成为习惯的思路。,只要有结构化建模的理念,而且熟悉线性代数,是可以通过一定的思考产生模型的。,原型的结构分析的关键:1、理解“关系”是结构的基础;2、文本集合的结构是问题的目标结构;3、文本的结构和文本集合的结构之间的关系是产生文本结构表示的要素。,2008年北京奥运会地区临时超市点网设计(2004年全国大学生建模比赛A题),2004大学生数学模型竞赛题,比赛题目:2008年北京奥运会主馆场周边临时商亭网点设计,为了了解观众的购物需求和人流量的规律,假设我们在已经建设好的某运动场,举办了三次运动会,
23、对观众发放问卷调查,采集相关数据,供解题者使用。,2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间,在比赛场馆的周边地区必须建设一个由小型商亭构建的临时商业网点。我们称之为迷你超市(MS)网,主要满足运动员,观众,游客,工作人员在奥运会期间购物需求,经营食品、旅游用品、奥运纪念品、文体用品和小日用品等等。在比赛场馆周边地区设置这种MS,在地点、大小类型和总量方面,必须满足三个基本要求:满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。显然,这是一个必须用科学的方法解决的问题。,在本题卷中给出了奥运会主要比赛场馆的规划图,是解决上述问题的地理平台。作为真实地图的简化,在本页
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