数学分析第四章函数的连续性.ppt
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1、2023/10/21,1,第 四 章函数的连续性,2023/10/21,2,1 函数连续的概念,y=(x),A,g(x0),A,g(x0),引例,2023/10/21,3,一、函数的连续性,1.连续的定义,和极限存在的区别,2023/10/21,4,函数的连续的等价定义,2.函数的增量,2023/10/21,5,2023/10/21,6,例1,证,由定义1知,2023/10/21,7,3.单侧连续,定理,2023/10/21,8,左、右极限存在且与函数值相等.,2023/10/21,9,例2,解,右连续但不左连续,2023/10/21,10,4.函数的区间连续,在区间(a,b)上每一点都连续的
2、函数,叫做区间(a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,记为:,2023/10/21,11,例3,证,2023/10/21,12,二、函数的间断点,2023/10/21,13,二、函数的间断点,连续,间断,2023/10/21,14,例4,解,这种情况称x=0为震荡间断点.,2023/10/21,15,例5 符号函数,2023/10/21,16,例6,解,2023/10/21,17,可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,2023/10/21,18,2023/10/21,19,解,例8
3、,2023/10/21,20,2023/10/21,21,例9,解,2023/10/21,22,间断点分类:,第类间断点:,都存在,第类间断点:,不全存在,2023/10/21,23,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,2023/10/21,24,例10,解,2023/10/21,25,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:跳跃型,可去型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,2023/10/21,26,思考题,2023/10/21,27,思考题解答,且,2023/10/21,28,但反之不
4、成立.,例,但,2023/10/21,29,练 习 题,2023/10/21,30,2023/10/21,31,练习题答案,2023/10/21,32,2023/10/21,33,三、一致连续性,f(x)在某个区间 I(或开,或闭)连续,指得是f(x)在 I 中每一点都连续,即,这就是函数在区间上的一致连续性问题。,2023/10/21,34,定义(一致连续)设 f(x)为定义在区间I上 的函数,若,则称f在I上一致连续。,f在I上一致连续,f在I上连续。,反之不然。,一致连续是整体概念。,2023/10/21,35,连续:,一致连续:,2023/10/21,36,一般说来对I上无穷多个点,存
5、在无穷多个d,这无穷多个d 的下确界可能为零,也可能大于零。,如果这无穷多个d 的下确界为零,则不存在适合I上所有点的公共的大于0的d,,这种情况 f(x)在I 上一致连续。,如果这无穷多个d 的下确界大于零,则必存在对I上每一点都适用的公共的d,,这种情况 f(x)在I上不一致连续,,2023/10/21,37,不一致连续:,定理(Contor定理,一致连续性定理),若 f 在 a,b 连续,则 f 在 a,b 一致连续。,一致连续:,2023/10/21,38,例1,证,2023/10/21,39,例2,证(1),2023/10/21,40,2023/10/21,41,第二节 连续函数的运
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