数值分析PPT教案.ppt

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1、数值分析,绪论 第一章插值法第二章数值积分和数值微分第三章曲线拟合的最小二程法第四章 求非线性方程根的近似方法第五章 线性代的方程组的直接法第六章 解线性方程组的迭代法第七章矩阵特征值和特征向量计算第八章常微分方程数值解法,计算方法,参考书,1.数值分析，翟瑞彩，天津大学出版社；2.计算方法，中山大学与武汉大学编写 3.数值计算计算原理，李庆杨，关治，白峰彬，清华大学出版社4.计算方法引论，徐萃薇，科学出版社,1.计算方法的任务与特点,绪论,实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析,计算方法,2.基本的数学问题:,1.大型线性代数方程组Ax=b求解;2.矩阵A的特征值和特征向量计算

2、;3.非线性方程 求解(求根);4.积分 计算;5.常微分方程初值问题求解;6.其它。,求精确解(值)一般非常困难。例如：,1.方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。2.特征值定义,3.形式复杂时求根和求积分很困难。4.线性微分方程易解，如 非线性方程难解，如,希 望：求近似解，但方法简单可行，行之有效（计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运

3、算 数值方法。,3.数值分析研究对象与特点,先看两个例子。例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。例2 用Cramer法则求解n元线性方程组。显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？,实际问题,数学模型,上机计算求出结果,数值计算方法,看用数学和计算机解决实际问题的过程：,应用数学研究的任务,数值分析研究的对象,3、具有好的计算复杂性,4.数值分析提供的算法具有下面四个特点：,1、面向计算机,2、有可靠的理论分析,4、通过数值实验验证有效性,3、化整为零,5.数值分析共同思想和方法：,1、迭代法,2、以直代曲

4、,4、外推法,1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点；2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。,如何进行学习？,本课程的基本要求掌握数值方法的基本原理掌握常用的科学与工程计算的基本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果,课程学习结束后你具备的能力,1.对具体的数值计算问题，你会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果；2.对给定的算法会从理论上分析其优劣性；3.会根据原理构

5、造解决较简单数值计算问题的算法。,1.2 误差基础知识,一.误差来源（分类）1.模型误差。2.观测误差。3.截断误差，如,右端是截断误差。,4.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。,实际问题,用计算机解决实际问题的一般过程,模型误差、观测误差,截断误差,舍入误差,应用数学解决的问题,数值分析解决的问题,在此主要研究这两种误差,二误差基本概念,1绝对误差。设 准确值，近似值。称 为 的绝对误差。为 的绝对误差限。2相对误差。称 为 的相对误差。实用中，常用 表示 的相对误差。称

6、为 的相对误差限。,3有效数字设 若(1.1)则说 具有n位有效数字，分别是 若，则称 为有效数。,例1.1 设=0.0270是某数 经“四舍五入”所得，则 误差 不超过 末位的半个单位，即：又,故该不等式又可写为 由有效数字定义可知,有3位有效数字，分别 是2,7，0。,例1.2=32.93,=32.89,故 有3位有效数字，分别是3,2，8。由于 中的数字9不是有效数字，故 不是有效数。,三、有效数位与误差的关系,1.有效数位n越多，则绝对误差 越小(由定义1.1)2.定理1.1 若近似数 具有n位有效数字，则(1.2)反之，若 则 至少有n位有效数字。,两边除以 得(1.3)和（1.4）

7、给出了由自变量的误差引起的函 数值的误差的近似式（误差传播）。,四、数值运算的误差估计(误差的传播)1.一元函数情形 设 则，由Taylor展开公式,(1.4),（1.3）,2.多元函数情形 设，,则，,由多元函数的Taylor展开公式类似可得,（1.5）,（1.6）,在（1.6）式中，分别取,可得,同号),（1.7）,（1.8）,（1.9）,(,例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的 近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm。试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。,解:面积s=ab,在公式（1.5）中,将 换为 s=ab

8、,则,相对误差限为,1.3 选用算法应遵循的原则,1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数.例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为 若采用递推算法,则乘法次数仅为n.又如,2.防止大数“吃掉”小数 当|a|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则3.尽量避免相近数相减 例如，当x很大时，应,，,当x接近于0时，应,4.避免绝对值很小的数做分母 当|b|a|时，应尽量避免。5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速 增长 例如 若（误差）则计算 时误差扩大了 倍,而,（n=1,2,）,是稳定的。,范数,范数是长度概念的推广,是一种度量定义,是测量两个函数,向

9、量,矩阵等之间距离的一个非负实数.范数的定义形式多种多样,采用同的范数定义,可得不同的范数,但都满足以下的三个条件(公理化定义):1.(非负性)2.(齐次性)3.(三角不等式)称实数|X|为向量 X的范数.#不同范数间的关系:等价.,基本要求：,1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉公式（1.2）-（1.9）；4.熟悉选用算法应遵循的原则；,计算方法,f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。,第二章 求方程根的近似方法,2.1 区间二分法理

10、论:f(x)Ca,b,单调，f(a)f(b)0 f(x)=0在(a,b)有惟一根。根分离：画草图，试算.多项式方程根的模 的上下界。,例2.1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解：f(1)=-50-(1,2)+f(1.25)0(1.25,1.375)f(1.313)0(1.360,1.368),f(1.5)0(1,1.5),优点：条件简单.缺点：收敛慢.不易求偶数重根.如图,，则,（事后估计）,x,y,2.2 迭代法,一.迭代法的建立与收敛性,2.收敛定理（定理2.2）,(2),，故收敛。,()1,(3),注：L越小，收敛越快。,3编程停机判断,（取定初值,）计算，当,时，

11、由（）3 式知,比较小，此时停机，,二、迭代加速公式（略）,由,2.3Newton 迭代法一 Newton 迭代法 1.迭代公式建立,在,点Taylor展开,Taylor展开线性化（重要思想）,近似于,解出 记为,，则,将,2.Newton迭代法的几何意义 过,切线,与,求交点，解出,则,3.Newton迭代法收敛定理（定理 2.6）,在,有根，且,在,（1）,连续，且分别不变号；,使,则 Newton 迭代法（2.1）产生的数列,的收敛到根。,为例证明（其它情况类似）,（2）取初值,设,证：,以,将,处Taylor展开,说明数列,有下界,又,故,单调递减。,收敛。设,则由（2.1），,，,例

12、2.2,解：设,取,，则由（2.1）,用 Newton 迭代法求,基本要求熟悉区间分法；熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。作业：习题4：1、2、3、4、6,计算方法,二.迭代法的收敛阶(收敛速度)1.定义:设,若有实数p0,使,则称,p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1时叫线性收敛,p=2时叫平方收敛.p越大越好(why?),2.定理2.7,所以，此时Newton法至少二阶收敛.,(2)由2.6的证明有：,3.Newton法改进：,2.4 弦截法(略),第三章 线性代数方程组解法,解线性方程组,一、Gauss消去法,设 有,线性代数：方

13、法不好时工作量非常大，工作量小的方法是 Gauss 消去法。,消 元：,3.1直接法,二 列主元素消去法-计算结果可靠,到此原方程组化为,到此原方程组化为,（3.3)是回代过程。,(上三角方程组)（3.2),(n)回代求解公式,(n-1)原方程组化为,以上为消元过程。,（3.3),三、Gauss 全主元消去法：优点-计算结果更可靠；缺点-挑主元花机时更多，次序有变动，程序复杂。,说明：(1)也可采用无回代的列主元消去法(叫Gauss-Jordan消去法)，但比有回代的列主元消 去法的乘除运算次数多。(2)有回代的列主元消去法所进行的乘除运算 次数为，量很小。,四、应用（1）求行列式（2）求逆矩

14、阵,(以上过程都应选主元),记,，则,（三角因子分解）,Gauss消元，初等行变换，化原方程组为上三角型。,五矩阵三角分解法,定义3.1,叫,的三角（因子）分解，其中 是,是上三角。,下三角,为单位下三角阵（对角元全为1），,为上三角阵，则称,为Doolittle分解;,若 是下三角，,是单位上三角，则称,定理3.1 n阶阵,有唯一Doolittle分解(Crout）,的前n-1个顺序主子式不为0.（证略）,三角分解不唯一,为此引入,定义3.2 若,为Crout分解。,为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实 现三角分解,，则,容易回代求解,回代求解很容易，如,基本要求：1.熟悉收敛阶的定义

15、；2.熟悉Newton法及改进方法的收敛阶；3.熟悉列主元消去法解线性方程组的计算 过程；4.熟悉矩阵三角分解中Doolittle分解和 Crout分解定义；5.熟悉利用三角分解来求解线性方程组的 思路；作业：作业集（A）第三章 1，2,计算方法1直接三角分解法（以Doolittle分解为例）设,由矩阵乘法,(k),例31,选主元的三角分解法（略）,2平方根法定理3.2 设A对称正定，则有非奇异下三角阵L，使,-理论基础(证略）分解方法：设,(choleskey分解),六、解三对角方程组追赶法,(Crout分解),故有,(3.1),解,解,(3.1)(3.3)叫追赶法，工作量小，非常有效。,(

16、3.2),（3.3）,基本要求1.会矩阵的直接三角分解法的过程（不记公式）；2.熟悉平方根法的计算过程（不记公式）及其优缺 点。作业：作业集（A）第三章 3.,一.简单迭代法 1.迭代法建立.考虑,(矩阵B不唯一),对应写出,3.2 解线性方程组的迭代法,计算方法,产生向量序列,若收敛,记,则于(3.4)两端取极限有：,上式说明：,是解向量,从而当k充分大时,注意:迭代阵B不唯一,影响收敛性。,解向量,(1)叫简单迭代法,B叫迭代矩阵。,2.收敛性.定义3.3 称,为矩阵B的谱半径。,定理3.3 简单迭代法,定理3.4,收敛列解(i=1,2,n),即,=0,例3.2 设有方程组(其中)Ax=b

17、,即,(3.5),作等价变形,(3.6),-Jacobi迭代法,于是有迭代公式,(k=0,1,2,),(3.7),矩阵形式为：,(3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即：,或按列严格对角占优，即,二、迭代法 设有简单迭代法 即,(3.8),称如下迭代法,(3.9),为与(3.8)对应的 迭代法，其迭代矩阵 可用“代入法”求得。,（1）迭代法(3.9)对任意 收敛（2）若 则 迭代法(3.9)对 任意 收敛；（3）若简单迭代法(3.8)的迭代矩阵 满 足 或，则相应的Seidel迭代法(3.9)对任意 收敛（证略）,迭代法(3.9)的收敛性,例3.3 迭代方法,（3.10）,称为与

18、Jacobi迭代法（3.7）对应的Seidel方法,其收敛情况如下：(1)使用一般的Seidel方法（3.9）的收敛性判别法(2)若系数矩阵A对称正定，则求解方程组（3.5）的 与Jacobi迭代法对应的Seidel方法（3.10）对任意 收敛。（证略）,松弛因子,=1 即Seidel方法(3.10),(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则 求解（3.5）的与Jacobi方法对应的Scidel方法（3.10）对任意 收敛.（练习）,(3.11)是一种加权平均。,三.逐次超松弛迭代法(SOR法),SOR方法的收敛性如下（不加证明）：,(1)SOR方法对任意 都收敛的必要条件是：(2)若

19、系数矩阵A对称正定，则 时SOR方法 求解 对任意 收敛；(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则 时SOR方法对任意 收敛。最佳松弛因子 选取问题。,例3.4 用Seidel迭代法求解方程组,解：因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方 法对任意 收敛。,取初始向量,要求,时迭代终止。,Seidel迭代格式为,计算结果可列表如下,注意：未必Seidel方法一定比Jacobi方法好。,1 熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用；2 熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的 计算公式以及它们的收敛条件；3 熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件；,作业：作业集(A)第三章 4，5，

20、6，7,基本要求：,复习：线代：1.定义：若 则 叫A的特征 值，叫其相应的特征向量。说明 还是特征向量。2.求法 十分困难;应寻求近似解法,且简单、可行、有效。,计算方法,第四章 矩阵特征值和特征向量计算,设A的特征值 特征向量,4.1乘幂法与反幂法,一乘幂法求A的主特征值（按模最大者）及 其相应的特征向量,（假定线形无关）,说明:,有算法：,6.几何解释,解：,二反幂法求A的按摸最小的特征值。,设A可逆，由,对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量 Jacobi旋转法基本思想：,求一般矩阵全部特征值和特征向量的QR方法 参考书。,4.2 Jacobi旋转法,1.熟悉特征值和特征向量的定义；2.

21、熟悉乘幂法求主特征值的计算过程；3.了解反幂法的思路；,基本要求：,作业：,作业集（A）第四章 1.,第二章 插值法,注:不用待定系数法-(1)计算量大;(2)不易讨论误 差;二次多项式插值-过两点直线;三次多项式插值-过三点抛物线;,3.几何意义,插值满足的条件:找一个多项式 满足:1.2.p(x)是一个次数不超过n的多项式,一.插值基函数.,2.1 Lagrange插值公式,二.Lagrange插值多项式,三 截断误差：,一差商,2.2 Newton插值公式,1.定义,3.造差商表(实用),二Newton插值公式,解：先造差商表,由Newton公式得四次插值多项式为：,1.熟悉插值法的含义

22、及其几何意义；2.熟悉Lagrange插值公式及其余项的使用；3.会造差表，并熟悉Newton插值公式的使用；4.熟悉差商与导数的关系式。,基本要求：,作业：,P40-41:2，3,4,5,6,8,13,14,牛顿基本插值公式对结点是否等矩没有限制.不过当结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.为此先介绍差分概念.,2.3 等矩结点插值公式,1.定义 设,为,在,的以h为步长一阶向前差分,m阶,一.差分,叫步长,称,一般:,一阶,二阶,(1)差分可表为函数值的线性组合(证略),(2),(3),2.性质:,(2)(证明用归纳法,略),3.差分表(实用),二 等矩结点插值公式:,将Newton插值公

23、式,中的差商用性质(2)换为差分,可整理为如下的Newton向前插值公式,设,（5.6）,截断误差可表示为,(5.7),Newton向后插值公式及Bessel插值公式 参考文献,5.4 Hermite插值简介,前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取 相同值,Lagrange型插值条件,然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线:插值条件为:求一次数,多项式,使之满足给定的Hermite型插值条件,(5.8),求,不用待定系数法.可设,其中,，且,插值基函数表示法（5.9）,（5.10）,（5.11）,满足条件（5.10）和（5.11）的多项式（5.9）一定满足（5.8），故即为

24、所求所以主要是求插值基函数,可借用Lagrange插值基函数,得公式（5.37）,有规律,余项,易验证：,例5.3 给定函数值表如下:,问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越 好？未必！多结点高次插值往往在局部误 差更大Runge现象。实用：采用分段低次插值 有分段线形，分段二次插值等，几何上,5.5三次样条插值简介,分段插值法：,缺点：分段插值函数只能保证连续性，不能保证光滑性。,折线代替曲线,分段插值可以得到整体连续函数，但在连 接点处一般不光滑，而Hermite插值虽然 在连节点处一阶光滑，但整体插值由于结 点多，次数高而有可能发生Runge现象。,2.三次样条插值,既想分段插值，又

25、想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑三次样条。,希望：,样条来源：,定义：在a,b上取n+1个点,若函数S(x)满足：,此时S(x)叫插值函数；,(3)在内结点或在整个区间上具二阶连续导数。则称S(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。,(2)在每个小区间,上是三次多项式；,2.构造：有两种方法，导出三对角方程组，用追 赶法。,(1),三次样条插值,分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现 缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。三次Hermit插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。从世

26、纪年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。,一、三次样条插值函数的定义：,给定区间 上的个节点 和这些点上的函数值 若 满足：（1）；（2）在每个小区间 上至多是一个三次多项式；（3）在 上连续。则 称为函数 关于节点 的三次样条插值函数。,二、边界问题的提出与类型,单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件

27、（2）三次样条插值函数 是一个分段三次多项式，若用 表示它在第 i个子区间 上的表达式，则 形如:,其中有四个待定系数，子区间共有 n个，所以共有4n个待定系数。由条件（3）在 上连续，即它们在各个子区间上的连接点 上连续即可，共有4n-2个条件，即,共有3(n-1)+(n+1)=4n-2个条件，未知量的个数是 n个。这样需要加2个条件。这两个条件通常在插值区间的边界点a,b处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见有：(1)给定一阶导数值(2)给定一阶导数值（特别地 时称为自然边界条件，满足自然边界条件的次样条插值函数称为自然样条插值函数）（3)当 是周期为b-a的函数时，要求 及其导数都是以b-a为周期的函数，相应的边界条件为：,见word 文档,熟悉差分的定义，会造差分表；熟悉等距节点的Newton插值公式的运用及等距节点的插值余项公式的运用；熟悉简单的带导数条件的插值（如例5.3）；熟悉分段插值法的含义。,基本要求：,作业：,作业集(B)第五章 6，7,