同济六版高等数学第八章第三节.ppt

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1、一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,7.3 曲面及其方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,曲面方程的定义,如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)0有下述关系:,下页,例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.,解,设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么,|M0M|R,

2、或(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2.,因为球面上的点的坐标一定满足上述方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程,所以上述方程就是所求的球面的方程.,下页,例2 设有点A(1,2,3)和B(2,1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.,由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹.设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有|AM|BM|,等式两边平方,然后化简得 2x6y2z70.这就是所求的平面的方程.,下页,解,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.,研究曲面的两个基本问题,通过配方

3、,原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25.,一般地,三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的图形就是一个球面.,首页,例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？,解,二、旋转曲面,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴.,下页,例如:,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,下页,提问:曲线f(y,z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？,例4 试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.,

4、解,在坐标面yOz内,与z轴夹角为的直线的方程为,zycot,或 z2a2(x2y2),这就是所求的圆锥面的方程,其中acot.,下页,曲线f(y,z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为,绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为,解,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,首页,三、柱面,在空间直角坐标系中,过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l,则直线l上的点都满足方程x2y2R2,这说明直线l 一定在x2y2R2表示的曲面上.,例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？,因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的.,这曲面叫做圆柱面,x

5、Oy面上的圆x2y2R2叫做它的准线,这平行于z轴的直线l叫做它的母线.,下页,解,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.,柱面,上面我们看到,不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xOy面上的圆x2y2R2.,一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)0.,下页,方程y22x表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y22x,该柱面叫做抛物柱面.,方程xy0表示母线平行于z轴的柱面,

6、其准线是xOy面的直线xy0,所以它是过z轴的平面.,柱面举例,下页,在空间直角坐标系中,方程G(x,z)0和方程H(y,z)0分别表示什么柱面？,方程 xz0表示什么柱面？,讨论,方程G(x,z)0表示母线平行于y轴的柱面.方程H(y,z)0表示母线平行于x轴的柱面.,方程xz0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是zOx面上的直线xz0.所以它是过y轴的平面.,提示,首页,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,四、二次曲面

7、,下页,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法，伸缩法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),了解曲面的形状的方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线的形状,然后加以综合,从而了解曲面的立体形状.这种方法叫做截痕法.,研究曲面的一种方法截痕法,研究曲面的一种方法伸缩变形法,设S是一个曲面 其方程为F(x y z)0 S是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面,显然 若(x y z)S 则(x y z)S,这就是曲面S的方程为,因此

8、对于任意的(x y z)S 有,1.椭球面,得旋转椭球面,得椭球面,椭球面的形成,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,得旋转抛物面,得椭圆抛物面,伸缩,(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,(p,q 同号),双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛物线,截痕,当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线,3.双曲面,(1)

9、单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,图形,4.椭圆锥面,截痕,当t0时 截痕为平面zt上的椭圆,当t0时 截痕为一点(0 0 0),椭圆锥面与平面zt的截痕:,椭圆锥面的形成,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,指出下列方程的图形:,作业P31 7,9,10(1),