代数系统(离散数学).ppt

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1、离 散 数 学(II),古典代数与近世代数,古典代数的研究对象：方程 以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数,古典代数的发展过程,一元一次方程 公元前1700年一元二次方程 公元前几世纪 巴比伦人一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法 唐朝数学家王孝通缉古算经 西方：16世纪 意大利数学家 卡丹公式,古典代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L 化为求一个三次方程和两个二次方程的根 一元五次方程 失败：Euler L(1707-1783)、Van de monde、Lagrange J L、Ruff

2、ini P、Gauss K F 19世纪 法国青年数学家 Galois:五次以上方程无根式解,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Evariste Galois,近世代数的特点-抽象代数系统：群环域格布尔代数,离散数学II,第六章 群 与 环,6.1 代 数 系 统,代数运算的定义及其性质 代数系统的定义,二元代数运算 设S是一个非空集合，称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）=c，常记为a*b=c。Note：代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。类似地，可

3、定义S的n元代数运算：Sn到S的映射。,代数运算的定义,加法和乘法是自然数集N上的二元代数运 算；减法和除法不是N上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元 代数运算；除法不是Z上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数 运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算,代数运算的例子,矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，则、是（S）上的二元代数运算。、都是真值集合0，1上的二元代数运算。,代数运算的例子,设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b S，a*b=b*a 都成立，则称运算*满足交换律。例.设Q为有理数集合，对任

4、意a,bQ,定义Q上的运算如下：a b=a+b-a b，则是Q上的二元代数运算，且满足交换律：ab=a+b-a b=b+a-b a=ba,代数运算的性质交换律,设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b，c S，(a*b)*c=a*(b*c)都成立，则称运算*满足结合律。例.设A是一个非空集合，对任意a,b A，定义A上的运算如下：ab=b，则是A上的二元代数运算，且满足结合律:(ab)c=bc=c a(bc)=ac=c,代数运算的性质结合律,设*是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a*a=a,则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算*满足等幂律

5、。结论：若a是关于运算*的幂等元，则对于任意正整数n，an=a.,代数运算的性质等幂律,设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a，b，c S,a*（b+c）=（a*b）+（a*c），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算*对+满足分配律。（Note:*未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立）,代数运算的性质分配律,例.设A=，二元运算*,+定义如下:问分配律成立否？,证明：x+(y*z)=(x+y)*(x+z)证：当x=：x+(y*z)=;(x+y)*(x+z)=当x=：x+(y*z)=y*z;(x+y)*(x+z)=y*z,运算*对运算+不可分配 证：*

6、（+）=*=（*）+（*）=+=,设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a,b S,a*(a+b)=a，a+(a*b)=a，都成立，则称运算*和+满足吸收律。例.定义自然数集合N上的运算*和+如下：对于任意a，bN，有 a*b=maxa,b,a+b=mina,b，则*和+是N上的二元代数运算，且满足吸收律 a*（a+b）=maxa,mina,b=a,a+（a*b）=mina,maxa,b=a.,代数运算的性质吸收律,设*是集合S上的二元代数运算，如果S中存在元素，使得对于S中任意元素a，都有a*=，*a=，则称是S上关于运算*的零元。设*是集合S上的二元代数运算，对于S中任意三个元

7、素a，b，c，其中a不等于零元，如果有（1）若 a*b=a*c，则b=c，（2）若 b*a=c*a，则b=c，就称*满足消去律。,代数运算的性质消去律,例.n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律.因为 但,例.整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。例.n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。,代数运算性质例,例.设（S）是非空集合S的幂集，则（S）上的交运算、并运算都满足结合律，交换

8、律，对、对都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律,但、不满足消去律。,代数运算性质例,设S是一个非空集合，f1，fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，fm看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（S，f1，fm）,代数系统的定义,例.设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，则（S），）为代数系统。例.设、是真值集合0，1上的合取与析取运算，则（0，1，）是代数系统。,代数系统的例,例.设Z为整数集，Z0为偶数集，N为自然数集，+、是数的加法和乘法，则（Z,+）、（Z,）、（Z,+,）、（Z0,+）、（Z0,）、（Z0,+,）、（N,+）、（N,）、（N,+,）都是代数系统。例.设、分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么（Z,）、（Z0,）、（N,）都是代数系统。,代数系统的例,