一元函数的连续性与间断点.ppt

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1、10/20/2023 6:48 PM,2.7 一元函数的连续性与间断点,1.函数的连续性,2.函数的间断点,3.连续函数的运算法则,4.闭区间上连续函数的性质,10/20/2023 6:48 PM,1.函数的连续性,【定义 2.8】设变量从初值改变到终,说明改变量可以是正的，也可是负的。,例如,从0变到1，,从1变到0，,第2章 极限与连续,值，,变量，,终值与初值之差称为变量的改,记作。,则,则,10/20/2023 6:48 PM,如图所示,设函数，,第2章 极限与连续,时，,当自变量从改变到,函数相应的改变量为。,10/20/2023 6:48 PM,例设正方形的边长有一个改变量,如图所

2、示，,面积的改变量,面积改变了多少？,第2章 极限与连续,10/20/2023 6:48 PM,简单地说，,。,如图所示,处不连续,处连续,第2章 极限与连续,函数也有一个很小的变化。,当自变量有一个很小的变化时，,即时，,10/20/2023 6:48 PM,或,则称函数在点处连续。,函数连续定义的等价形式,【定义 2.9】设函数在点的某,即,【定义 2.10】设函数在的某个,在点处连续。,第2章 极限与连续,邻域内有定义，,若,则称函数,个邻域内有定义，,得的改变量时，,如果当自变量在点处取,函数的改变量，,10/20/2023 6:48 PM,事实上，,（1）函数在处有定义；,（2）极限

3、存在；,（3）极限值等于函数值。,若有一条不满足，函数在处不连续,第2章 极限与连续,具备下列三个条件：,函数在处连续要同时,10/20/2023 6:48 PM,例1证明函数 在给定点处连续。,证当在处有一个改变量时，,函数有改变量,所以，函数在处连续。,第2章 极限与连续,证毕。,10/20/2023 6:48 PM,【定义 2.11】设函数在区间上,说明在左端点处和右端点处连,如上例中，,在内连续。,第2章 极限与连续,每一点都连续，,是的连续区间。,则称在上连续，,并称,续是指,而点可以是内的任意一点，,函数在给定点处连续，,因此,10/20/2023 6:48 PM,例2证明函数 在

4、 内连续。,证设为内任意一点，,因为,所以,即,第2章 极限与连续,处有改变量，,函数的改变量,在,10/20/2023 6:48 PM,因而,所以函数在点处连续。,再由的任意性知，,证毕。,同理可证在内连续。,第2章 极限与连续,内连续。,函数在,10/20/2023 6:48 PM,说明由函数在一点处连续的定义及,连续函数的极限符号与函数符号可以交换,例如求,解,第2章 极限与连续,有,10/20/2023 6:48 PM,2.函数的间断点,【定义 2.12】若函数在点处不满足,定义等价于,第2章 极限与连续,连续条件，,称函数在点处间断，,断点。,则称函数在点处不连续，,或,点称为的间,

5、10/20/2023 6:48 PM,若函数在的去心邻域内有定义，,（1）函数在处无定义；,（2）不存在；,（3）,第2章 极限与连续,则下列情形之一，,称函数在处间断,10/20/2023 6:48 PM,例3讨论函数在点处的连续,如图所示,解由于函数,在点处无定义，,函数在,处间断。,第2章 极限与连续,性。,故,10/20/2023 6:48 PM,例4设函数，,函数在点处的连续性。,解由于,则不存在，,在处间断。,如图所示,第2章 极限与连续,故,讨论,10/20/2023 6:48 PM,例5设函数，,数在点处的连续性。,解由于,故函数在处,如图所示,第2章 极限与连续,间断。,讨论

6、函,10/20/2023 6:48 PM,间断点的类型,【定义2.13】,设是函数的间断点,均存在,若，称为可去间断点。,若，称为跳跃间断点。,例4中，是跳跃间断点。,例5中，是可去间断点；,第2章 极限与连续,第一类间断点,10/20/2023 6:48 PM,第二类间断点,至少有一个不存在,若其中至少有一个振荡，,例3中，是无穷间断点；,若其中至少有一个为，,如图,是函数,的振荡间断点。,第2章 极限与连续,称为无穷间断点；,称为振荡间断点。,10/20/2023 6:48 PM,3.连续函数的运算法则,【定理】若函数与在点处,在处也连续。,例,因为在区间内连续，,所以在其定义域内连续。,

7、第2章 极限与连续,连续，,则,10/20/2023 6:48 PM,【定理】若函数在区间上单调,例由于函数在闭区间,上单调增加且连续，,在闭区间上也是单调增加且连续。,所以其反函数,第2章 极限与连续,增加（减少）且连续，,也在对应的区间上，,调增加（减少）且连续。（证略）,则其反函数,单,10/20/2023 6:48 PM,【定理】设函数由函数,例求,即,解,第2章 极限与连续,与函数复合而成，,而函数在连续，,若,则,（证略）,10/20/2023 6:48 PM,例讨论函数的连续性。,【定理】设函数由函数,解由于函数在内连续,而在内连续，,在内连续。,第2章 极限与连续,与函数复合而

8、成，,连续，且，,连续，,也连续。（证略）,若函数在,而函数在,则复合函数在,则函数,10/20/2023 6:48 PM,初等函数在其定义区间内都是连续的,基本初等函数在其定义域内都是连续的,初等函数的连续性,第2章 极限与连续,包含在定义域内的区间,10/20/2023 6:48 PM,4.闭区间上连续函数的性质,【定理】（有界性定理）若函数,【定理】（最大值与最小值定理）,第2章 极限与连续,严格的理论证明省略。,下面定理只从几何直观上加以说明，,在闭区间上连续，,区间上有界。,则在此,若函数在闭区间上连续，,在此区间上一定有最大值和最小值。,则,将,10/20/2023 6:48 PM

9、,如图所示,在闭区间上连续，,得最小值；,在处取得最大值。,函数在此区间上有界。,第2章 极限与连续,在处取,因此，,10/20/2023 6:48 PM,【定理】（介值定理）若函数在,推论（零点存在定理）若函数在闭区,第2章 极限与连续,闭区间上连续，,上的最大值和最小值，,任一个实数,使得。,和分别为在,则对介于和之间的,至少存在一点,间上连续，,点，,且，,则至少存在一,使得。,10/20/2023 6:48 PM,如图所示,介值定理,零点存在定理,第2章 极限与连续,10/20/2023 6:48 PM,例6利用介值定理证明方程,在区间内各有一个实根。,证设,由介值定理知，存在,使得,

10、即为给定方程的实根。,又由于三次,方程最多有三个根，,第2章 极限与连续,所以各区间内只有一个。,10/20/2023 6:48 PM,例7求,解,例8求,解,第2章 极限与连续,10/20/2023 6:48 PM,例9证明当时，,证,所以,证毕。,第2章 极限与连续,10/20/2023 6:48 PM,内容小结,1.函数连续的等价定义,2.间断点,函数在点连续,第一类间断点,（可去间断点，跳跃间断点）,第二类间断点,（无穷间断点，振荡间断点）,第2章 极限与连续,存在,左右极限至少有一个不,左右极限都存在,充分必要条件,10/20/2023 6:48 PM,3.初等函数在其定义区间内连续

11、,4.分段函数在分界点处的连续性，,5.闭区间上连续函数的性质,（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定,第2章 极限与连续,定义或充要条件讨论。,需要用,理，零点存在定理）,10/20/2023 6:48 PM,备用题,1.若函数在点连续，,解因为,所以,即在处连续。,反之不成立，,处处间断，,第2章 极限与连续,是否在处连续？,问,反之是否成立？,而处处连续。,如,10/20/2023 6:48 PM,2.讨论函数间断点的类型,解,是其间断点。,因为,所以，,是可去间断点，,是无穷间断点，,第2章 极限与连续,即第一类间断点。,即第二类间断点。,10/20/2023 6:48 PM,时，函数为连续函数。,解,由连续性知,第2章 极限与连续,3.设函数,10/20/2023 6:48 PM,4.确定函数间断点的类型。,解间断点,为无穷间断点。,故，为跳跃间断点。,第2章 极限与连续,