华南农大高数第5章多元函数微积分.ppt

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1、多元函数的极值二重积分的概念,多元函数的极值的概念,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。,极值是局部特性,二元函数的极值图例,有极小值,有极大值,在原点没有极值,二元函数的极值图例,极值存在的必要、充分条件,极值存在的必要条件,各偏导存在的极值点一定是驻点。,驻点使各偏导数均为零的点。,极值存在的充分条件（以二元函数为例）,则：（1）当AC-B2 0 时，函数取到极值，且当A 0 时取

2、,极小值，当A 0 时取极大值。,（2）当AC-B2 0 时，函数取不到极值。,（3）当AC-B2=0 时，函数可能取到也可能取不到极值。,解：解方程组,得驻点：,求出二阶偏导：,在点 处，,所以函数在该点没在极值。,在点 处，,所以函数在该点没在极值。,最大最小值问题,若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。,在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。,例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？,解 设长方体的长宽高分别为x,y,

3、z,得：,从而,由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：,则 xyz=K,以上问题可以看成是表面积,求条件极值的拉格朗日乘数法：,作函数：,其中 是常数，称为拉格朗日乘数。,（拉格朗日函数）,例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？,解 表面积,得：,由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：,约束条件：,令：,例3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。,解：三角形面积,约束条件：,令,得,由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：,例3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。,解：三角形面积,约束条件：,可将约束

4、条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。,令,得：,条件极值可转化成无条件极值,二重积分的引入曲顶柱体的体积（演示）,求曲顶柱体的体积,记,用平顶柱体体积作近似替换,（1）细分（2）近似替换（3）作和（4）取极限,设平面薄片的面密度是：,求平面薄片的质量,记,二重积分的引入平面薄片的质量,二重积分的概念,设函数 是有界闭区域 D 上的有界函数。,将闭区域 D 任意分成 个小闭区域,其中 表示第 个小闭区域，同时也表示它的面积。,若无论 D 如何划分和 如何选取，,都存在，则称此极限为函数 在 D 上的二重积分，,记作：,由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线

5、网分割区域D，从而有,即,二重积分的概念,所以在直角坐标系下，二重积分常表示为,引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为,平面薄片的质量为,二重积分的性质,是常数。,（D 的面积）,二重积分可计算平面图形的面积,其中：、是 的一个完全分割。,二重积分的性质,使,积分中值定理（定性研究）,二重积分的估值,二重积分的比较,二重积分的计算化二重积分为二次积分,预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）,A(x),x,如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间,在区间a,b内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为,如果积分区域D可表示为：,

6、-型区域,用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,如果积分区域D可表示为：,-型区域,用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,直角坐标系下交换二次积分的积分次序,如果积分区域D既可表示为-型区域：,又可表示为-型区域：,则有如下交换积分次序公式：,-型区域,-型区域,例4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）,或记为,故,或记为,解 D可表示为：,D又可表示为：,例4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）,或,或记为,或记为,例4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）,或,或记为,或记为,补充题,1、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值。,2、求二元函数f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和 y轴所围成 的闭区域D上的最大值和最小值。,3、求 的最大值和最小值。,4、将证数12分成三个正数x,y,z之和，使得u=x3y2z为最大。,5、改变积分 的次序。,再见！,返回,返回,