高等数学课件D924复合求导.ppt

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1、2023/10/20,高等数学课件,一元复合函数,一、多元复合函数求导的链式法则,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数微分法,第九章,本节内容:,第二节 偏导数与全微分,二、复合函数高阶偏导数,三、多元复合函数的全微分,2023/10/20,高等数学课件,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证:设 t 取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量u,v,2023/10/20,高等数学课件,(全导数公式),(t0 时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20

2、,高等数学课件,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不一定成立.,2023/10/20,高等数学课件,推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都是偏导数连续的.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,又如,当它们都具有偏导数连续条件时,有,注意:,这里,表示已复合函数求导,表示未复合函数求导,口诀:,路径为加,节点为乘。,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.设,解:,机

3、动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例3.设,求全导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,其中f,均为可微,解:,或偏导连续，求,令,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设,f 有连续偏导数，,解:,求,2023/10/20,高等数学课件,练习1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,提示,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求偏导数。,练习2,2023/10/20,高等数学课件

4、,为简便起见,引入记号,例3.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、复合函数高阶偏导数,2023/10/20,高等数学课件,练习1,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,2023/10/20,高等数学课件,练习2,已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,练习3.,求,解:由题设,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,三、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可

5、微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.,例 4.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例5.,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,解：,2023/10/20,高等数学课件,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例6.设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:已知,极坐标系下的形式,(1),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,题目 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,已知,注意利用已有公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,同理可得,题目 目录 上页 下页 返回 结束,