高等数学课件D925隐函数求导.ppt
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1、2023/10/20,高等数学课件,第九章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,第二节 偏导数与全微分,2023/10/20,高等数学课件,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数,2023/10/20,高等数学课件,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束,此方法常常用来进行实际计算!,2023/10/20,高等数学课件,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导显函数,解:令,连续,由 定理1 可知,导的显函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并求,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,实用方法,直接(免记
3、忆)求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如可继续求导,,则有,余者类推。,2023/10/20,高等数学课件,两边对 x 求偏导,同样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.设,解法1 直接求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,2023/10/20,高等数学课件,解法2 公式法:,令,则,机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,理论上,2023/10/20,高等数学课件,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,定理证明略.仅推导偏导数公式如下,机动
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