高等数学课件D1212正项级数及审敛法.ppt

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1、2023/10/20,高等数学课件,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第一节,一、正项级数及其审敛法,正项和变号级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,2023/10/20,高等数学课件,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛

2、;,发散,也发散.,分别表示弱级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10

3、/20,高等数学课件,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散.,证:,例2.,而,发散,所以原级数发散。,2023/10/20,高等数学课件,判定级数,的敛散性.,证:,是收敛的等比级数,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据级数收敛的必要条件知,2023/10/20,高等数学课件,判定级数,的敛散性.,证:,又因为,例4.,机动 目录 上页 下页 返

4、回 结束,根据比较判别法知,即,收敛,2023/10/20,高等数学课件,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:

5、,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,比阶判别法.,2023/10/20,高等数学课件,的敛散性.,例5.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例6.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,判定级数,的敛散性.,证:,例7.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原级数与 p 级数有相同的敛散性。,2023/10/20,高等数学课件,判定级数,的敛散性.,证:,例8.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用泰勒中值定理,通项,

6、2023/10/20,高等数学课件,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例9.讨论级数,的敛散性.,解:,利用达兰贝尔比值判别法,级数收敛;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数发散;,通项不趋于

7、零，级数发散。,2023/10/20,高等数学课件,判定,的敛散性.,解一:,例10.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数收敛;,级数收敛;,级数收敛;,2023/10/20,高等数学课件,判定,的敛散性.,解二:,例10.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以级数收敛;,级数收敛;,即公比小于1的等比级数，所以级数收敛;,2023/10/20,高等数学课件,对任意给定的正数,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,时,

8、级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例11.,审敛：,解:,由定理5可知该级数收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定理5可知该级数收敛.,由定理5可知该级数收敛.,2023/10/20,高等数学课件,定理6.积分审敛法：,设,在区间,证明提示:,单调减，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上非负且,则级数,收敛的充,要条件是,收敛。,当,有,故,对k求和，得,则,广义积分,2023/10/20,高等数学课件,例12.判定级数,的敛散性。,解:,机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束,发散,2023/10/20,高等数学课件,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高

10、等数学课件,判定级数,的敛散性.,解:,例14.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,为交错级数，,注意：,发散.,2023/10/20,高等数学课件,设,则级数（）。,例15.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（A）,提示：,（B）,（C）,（D）,原级数收敛；,C,据莱布尼茨判别法，,2023/10/20,高等数学课件,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛;,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本身收敛乎？,2023/10/20,高等数学

11、课件,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛，证毕。,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例16.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,2023/10/20,高等数学课件,其和分别为,绝对收敛比条件收敛具有更好的性质:,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,说明:证明见参考书,这里从略.,*定理9.(绝对收敛级数

12、的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例17 级数,重排次序后变为发散的级数.,解:,将级数重排次序为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面我们将证明是发散的，,将相邻三项加括弧，,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的通项：,正项、发散,发散,2023/10/20,高等数学课件,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法

13、,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,思考与练习,1.设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,思考与练习,2.设级数,收敛,也收敛?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,则,研究级数,2023/10/20,高等数学课件,补充题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,