高等数学课件D114函数展开成幂级数.ppt
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1、2023/10/20,高等数学课件,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,2023/10/20,高等数学课件,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么
2、?,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,定理2.,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设 f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,202
3、3/10/20,高等数学课件,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.
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