高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度.ppt

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1、,第八章 多元函数微分学,第七节,上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,方向导数的定义与计算,梯度的概念与计算,引例.设有一矩形金属板，,分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同，,如何确定这个方向？,利用方向导数！,上页 下页 返回 结束,凉快的地点？,在其上坐标原点处有,一火源，,它使金属板发热,假定板上任意一点处的温,度与该点到原点的距离成反比,在点(3,2)处有一只,问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最快到达较,蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）,爬行,蚂蚁，,一、方向导数的定义与计算,(如图).,上页 下页 返回 结束,确定函数,在点 P 处沿某一方向,的变化率,引射线

2、 l,内有定义，,的某一,邻域,在点,设函数,过P,l,x,上的另一点且,为l,并设,为,的转角,轴正向到射线,设,j,意义：,当 沿着 趋于 时，,就是 z=f(x,y)在点P 沿方向l 的变化率.,上页 下页 返回 结束,这个比值刻画的是z=f(x,y)沿方向l 的平,均变化率.,极限,记为,上页 下页 返回 结束,沿方向l 的方向导数,则称此极限为函数在点P,如果极限,定义,存在，,即,证,由于函数可微，,两边同除以,得到,上页 下页 返回 结束,定理,在点,可微，,在该点沿任意方向l 的方向导数都存在，,如果函数,且有,则,故增量,因此，方向导数,上页 下页 返回 结束,推广:,则函数

3、在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,且,特别地，,当 l 与 x 轴同向,当 l 与 x 轴反向,可微,上页 下页 返回 结束,解,上页 下页 返回 结束,例1.,求函数,在点,处沿从点,到点,方向的方向导数.,这里的方向l 是,所求方向导数,例2.求函数,在点 P(1,1,1)沿向量,的方向导数.,上页 下页 返回 结束,例3.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解 将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,上页 下页 返回 结束,例4.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,

4、求函数,上页 下页 返回 结束,二、梯度的概念与计算,上页 下页 返回 结束,最快？,沿哪一方向增加的速度,函数值在点,问题：,P,定义,设函数,在平面区域,D,内具有,一阶连续偏导数，,称向量,在点,的梯度，,则对每一点,为函数,记为,=,上页 下页 返回 结束,设,是方向,上的单位向量,由方向导数公式,得,其中,有最大值.,为梯度向量与方向l 的夹角.,结论,上页 下页 返回 结束,函数在某点的梯度是这样一个向量：,方向与取得最大方向导数的方向一致,梯度的模为,方向导数的最大值,它的,梯度的模为,该方向是函数值增加最快的方向；,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得曲线,在xOy面上投

5、影如图,等值线,梯度为等值线上的法向量,上页 下页 返回 结束,例如,上页 下页 返回 结束,图形及其等值线图形,函数,xy,z,sin,=,梯度与等值线（等高线）的关系：,上页 下页 返回 结束,方向上的方向导数.,等值线指向数值较高的等值线，,且从数值较低的,个方向相同，,在该点的法线的一,处等值线,的梯度的方向,与点P,而梯度的模等于函数在该法线,等值线,三元函数的梯度有类似的解释.,解,由梯度计算公式得,故,上页 下页 返回 结束,例5.,求函数,在点,处的梯度，并问在,哪些点处梯度为零？,在,处梯度为0.,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,上页 下页 返回 结束,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,可微,上页 下页 返回 结束,偏导数存在,思考题,上页 下页 返回 结束,讨论函数,在,处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？,同理，,可见，该函数的两个偏导数均不存在.,上页 下页 返回 结束,表明该函数沿任意方向的方向导数均存在且相等.,沿任意方向,的方向导数,P53 43，44，45，46，49，51，52，,作 业,上页 下页 返回 结束,