高数第三章第七节曲率.ppt

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1、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、弧微分,规定,单调增函数,弧长,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线弯曲程度的量,),),切线转角越大弧段弯曲程度越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,曲率的定义,),在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为 0!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示

2、,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故曲率计算公式为,由弧微分公式:,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,显然,例2,证,如图,在缓冲段上,因为,三、曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,(密切圆),叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧

3、法线上取点 D 使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦).,例3,解,如图,受力分析,视飞行员在点O作圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,内容小结,1.弧微分,或,曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.曲线弯曲程度的描述曲率;,思考与练习,曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,P177 习题3-7 5题,