随机变量向量及其概率分布.ppt
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1、勤学好问必有所获,第二章 随机变量(向量)及其概率分布,随机变量与随机变量分布函数,随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数,几个常用的概率分布,随机向量与随机向量的分布函数,随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数,边际分布与条件分布,随机变量的独立性,随机变量函数的分布,概率论,随机变量与随机变量分布函数一、随机变量,Random Variable,如果令 表示出现的点数,则 的可能取值为,出现1点;出现2点;出现3点;出现4点;出现5点;出现6点。,例2.1 某人抛掷一枚骰色子,观察出现的点数。,1.Def 设随机随机试验 的样本空间为,如果对于每一个样本点,均有唯一的实数 与之对应
2、,且对于任意给定的实数,有事件 都是有概率的,则称 为样本空间 上的随机变量。,随机变量的几个特征:,3)随机变量在某一范围内取值,表示一个随机事件。,2)它的取值随试验结果而改变;,1)它是一个变量;,如果 表示国徽面在上面,表示有字面在上面。,特点:试验结果数量化了,试验结果与数建立了对应关系。,随机变量实例:,随机变量的分类,离散型随机变量,非离散型随机变量,连续型,非连续型,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值,2.随机变量举例与分类,的可能取值为。,例2.6 在 区间上随机移动的点,该点的坐标。,的可能取值为。,例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数。,的可能取值为。,例2.
3、4 某个灯泡的使用寿命。,的可能取值为。,例2.3 某人抛掷一枚骰子,观察出现的点数。,二、分布函数 1.随机变量的概率分布,是一个实函数!,Distribution Function,概率分布的常用表达方式有:,分布函数(“通用型”);,概率函数或概率密度函数(“针对型”)。,显然,分布函数是一个特殊的随机事件的概率。,3.分布函数的性质,2.分布函数概念,函数并作其图像。,解:由题设随机变量的概率分布为,分布函数图像如图2.1所示,概率函数与概率密度函数一、随机变量的概率函数 1.离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列,则该随机变量称为离散型随机变量。设离散型随机
4、变量 的所有可能取值是,而取值 的概率为,即有则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达:并称其为随机变量 的概率分布列,简称分布列。注意:离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外,还可以利用概率函数或分布列表示,概率函数与分布列是等效的,概率函数或分布列表示更直观、简便。,2.概率函数或分布列的性质,已知概率函数求分布函数,已知分布函数求概率函数,(1),3.概率函数与分布函数的关系,例2.9 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中任意抽,的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。,解:,例2.10 一名士兵向一目标连续射击,直至其击中目标为,解:,的可能取值为,所以,注意:这
5、种类型的随机变量取值愈大,概率值愈小,是,解:(1)由概率函数的性质有,解得,(2)由(1)知随机变量的分布列为,二、随机变量的概率密度函数 1.连续型随机变量 2.概率密度的性质,简称概率密度或密度函数。,3.连续型随机变量与离散型随机变量区别,即有,所以有,该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取,值的概率表达,而只能用概率密度来表达。,对于连续型随机变量总成立下式:,解:有概率密度的性质知,解:(1)由于连续型随机变量分布函数处处连续,所以有,(2),(3),几个常用的概率分布 引入随机变量的概念以后,客观世界中的许多随机现象,如果抛开其所涉及的具体内容,实质上可以用同一个概率模型
6、(概率分布)来表达。,凡是随机试验只有两个可能的结果,都可以二点分布作为其概率模型。例如:掷硬币观察正反面,产品是否格,人口性别统计,系统是否正常,电力消耗是否超负荷等等。,二点分布所能刻画随机现象:,1.二点分布(0-1分布),一、几个常用的离散型概率分布,2.二项分布 Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的二项分布,记为。,解:,表示该学生至少有3门课及格。,显然,这是一个5重贝努里概型,从而有,二项分布所能刻画随机现象:,例2.15 某保险公司以往资料显示,索赔要求中有8%是,因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索,赔要求,试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概
7、率。,于是,所求概率为,即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为,0.00059,通过该例题的求解,可以看出:,Poisson定理 设随机变量,若 时,有,则有,所以,有百分之一的希望就要做百分之百的努力,实际应用中:当 较大,较小,适中时,即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。,解:,400次上街400重Bernoulli概型;,由Poisson定理有,若某人做某事的成功率为1%,他重复努力400次,则,这表明随着实验次数的增多,小概率事件是会发生的!,例2.16 某人骑摩托车上街,出事故的概率为0.02,独 立重复上街400次,求至少出两次事故的概率。,3.泊松(Poisso
8、n)分布 Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的二项分布,记为。,服务台在某时间段内接待的服务次数;交换台在某时间段内接到呼叫的次数;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;单位体积空气中含有某种微粒的数目;单位时间内市级医院急诊病人数;一本书中每页印刷错误的个数。,泊松分布所能刻画随机现象:,特别注意:体积相对较小的物质,在较大的空间内的稀疏分布,都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,二、几个常用的连续型概率分布 1.均匀分布(Uniform Distribution)Def 若随机变量 的概率密度函数为则称随机变量 服从区间 上的
9、均匀分布,记为,均匀分布所能刻画随机现象:,2.指数分布(Exponential Distribution)Def 若随机变量 的概率密度函数为则称随机变量 服从参数为 的指数分布,记为,指数分布所能刻画随机现象:随机服务系统中的服务时间;电话的通话时间;无线电元件的寿命;动植物的寿命。,3.正态分布(Normal Distribution)Def 若随机变量 的概率密度函数为其中参数 满足,则称随机变量 服从参数为 的正态分布,记为。,Gauss,图像以 轴为渐近线。,图像在点 处有拐点;,图像关于直线 对称;,图像呈单峰状;,正态分布概率密度函数的图像特点:,参数 对密度曲线的影响,相同
10、不同密度曲线情况,相同 不同密度曲线情况,位置参数变化,形状参数变化,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一,大量的随 机现象都是服从或近似服从正态分布的。事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响,但其中任何一个因素都不起决定性作用,则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。正态分布可以作为许多分布的近似分布。正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质。,各种测量的误差;人的生理特征指标;工厂产品的尺寸;农作物的收获量;海洋波浪的高度;金属线的抗拉强度;热噪声电流强度;学生们的考试成绩等等,若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响,每,一个别因素的影响都是微小的,而且这些影响具有加性特
11、征,,则 服从正态分布。例如:,正态分布所能刻画的随机现象:,正态分布是概率论中最重要的分布,体现在以下方面:,标准正态分布的概率计算,分布函数,利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值,从而解决概率计算问题。,解:查表知,所以有,一般正态分布的概率计算,分布函数,在求解一般正态分布的概率计算问题时,现将其转化为标准正态分布问题,然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值,从而解决概率计算问题。,标准正态分布的分位数,双侧分位数,标准正态分布双侧分位数的意义如图2.1所示。,双侧分位数的计算方法:,查标准正态分布函数值表便可得,也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。,由定义知,上
12、侧分位数,标准正态分布上侧分位数的意义如图2.2所示。,上侧分位数的计算方法:由定义知,查标准正态分布函数值表便可得,也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得,即直接查 的双侧分位数。,对于有些随机试验,要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够,往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。例如:在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量来确定的等等。这就需要研究随机向量的概率规律。一、随机向量的概念 1.随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量,如果 能表达随机试验 的结果,则称 为 维随
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- 关 键 词:
- 随机变量 向量 及其 概率 分布

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