金融工程第八章布莱克-斯科尔斯-莫顿模型.ppt
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1、第14章 Black-Scholes-Merton 模型,金融工程,内容提纲,股票价格和收益的分布性质波动率布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程风险中性定价布莱克-斯科尔斯定价公式隐含波动率股息对期权定价的影响,2,金融工程 第八章,金融工程 第八章,3,维纳过程:布朗运动,假设股票价格的波动为布朗运动(维纳过程),在离散情况下,则为随机游走序列。:股票价格在一个很短的时间内的变化。:股票的年收益率期望;:股价的年波动率。dz基本维纳过程:(1),其中dz代表影响股票价格变化的随机因素 标准正态分布;(2)在任何两个不相重叠的dt内,变化量dz相互之间独立(方差可加)。,马尔科夫过程与维纳过程,性质
2、1,dz本身服从正态分布,并且dz的期望值=0,dz的方差=dt;性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。马尔科夫过程:只有标的变量的当前值与未来的预测有关,变量的历史以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。马尔科夫过程与弱有效市场一致:股票的当前价格包含过去价格的所有信息。,金融工程 第八章,4,14.1 股价的对数正态分布性质,令股价为S定义:m 为股票每年的收益率期望;s为股票价格每年的波动率在 Dt时间段股票收益(DS/S)的均值为m Dt,标准差为,股票收益服从正态分布:代表期望为m,方差为v的正态分布。,金融工程 第八章,5,对数正态分布:如果一个随机变量的对数服从正态分布,那
3、么我们就定义这个随机变量本身服从对数正态分布:lnST 服从正态分布,则ST 服从对数正态分布。,6,金融工程 第八章,对数正态分布,例14-2 P212,7,金融工程 第八章,14.2 收益率的分布,若 x代表从0T之间以连续复利计的收益率,则,金融工程 第八章,8,14.3 预期收益率,股价在T时刻的期望值为S0emT;在一个短期Dt内股票价格变化百分比的期望值是mDt;在所有数据覆盖的区间上,股票的连续复利收益率的期望为m s2/2;mDt=E(DSi/S),在每个小区间上股票价格的平均收益率。,金融工程 第八章,9,14.4 波动率 volatility,股票的波动率是用来度量股票提供
4、收益的不确定性;股票价格的波动率可以被定义为股票在1年内按连续复利所提供收益率的标准差。在Dt时间内股票价格百分比变化(收益率)的标准差为:如果股价为$50,波动率为 30%,对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于:,10,金融工程 第八章,14.4.1 历史数据法,1、在时间长度为t年内,每个区间结束时,观察到股价为 S0,S1,.,Sn。2、计算第i个区间结束时的股票收益率:3、计算ui的标准差 s;4、由(14-2)得:ui的标准差 为,因此有:,11,金融工程 第八章,14.4.2 交易日天数与日历天数,交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高;因此,由历史数据计算波动率或期权
5、期限时,采用的是交易日天数(252天)而不是日历天数;,金融工程 第八章,12,14.5 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念,背景:1973年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black&Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型,用于确定欧式股票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反响;同年,Robert C.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进,尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法。,13,金融工程 第八章,基本思路:构建无
6、风险交易组合,构建:可由期权与标的股票所组成的无风险组合,组合收益率等于无风险利率r。原因:股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素(股价变动)的影响;在任意短时期内,衍生品价格与股价完全相关性;在短时间内,股票盈亏可抵消期权带来的盈亏;例:假设c=0.4S,可构造无风险交易组合:0.4只股票的多头;一个看涨期权的空头;,14,金融工程 第八章,15,金融工程 第八章,假设:,金融工程 第八章,16,1、股票价格遵循几何布朗运动,其中 u 和 s 为常数;2、可以卖空证券,并且可以完全使用所得收入;3、无交易费用和税收,所有证券均可无限分割;4、在期权期限内,股票不支付股息;5、不存在无风险套
7、利机会;6、证券交易为连续进行;7、短期无风险利率r为常数,并对所有期限都是相同的。,:,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,(1)由于股票价格S遵循几何布朗运动,在一个小的时间间隔t中,S的变化值S:(2)设f是依赖于S的衍生证券的价格,则f是S和t的函数,根据伊藤引理可得,在一个小的时间间隔中,f的变化值f为:,17,金融工程 第八章,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,(3)为了消除维纳过程(风险源)z,可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位股票多头的组合。令 代表该投资组合当前的价值,则:在 时间后,该投资组合的价值变化 为:代入f 和S表达式,可得,金融工
8、程 第八章,18,金融工程 第八章,19,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,14-16,边界条件 key boundary conditions,边界条件定义了衍生产品在S和t的边界上的取值。欧式看涨期权的关键边界条件为:f=max(ST-K,0)当t=T时;欧式看跌期权的关键边界条件为:f=max(K-ST,0)当t=T时;例14-5,验证B-S-M微分方程,20,金融工程 第八章,14.7 风险中性定价,布莱克斯科尔斯默顿微分方程不包含任何影响投资者风险偏好的变量()。方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率,它们均与风险偏好无关。这意味着,无论风
9、险偏好状态如何,都不会对f 的值产生影响。因此我们可以假设:在对衍生证券定价时,所有投资者都是风险中性的。通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况,也适用于投资者厌恶风险的所有情况。风险中性定价原理:假定标的资产的期望收益率为无风险利率(即假定u=r);计算衍生证券的期望回报;用无风险利率对期望回报贴现。,21,金融工程 第八章,应用于股票远期合约,远期合约多头,到期时刻的价值:远期合约在时间0的价值:其在风险中性世界里T时刻的期望价值以无风险利率贴现后的值。,金融工程 第八章,22,对 右边求值是一种积分过程,结果为:,其中,,N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数(即这个
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