通信系统建模-第7章.ppt

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1、通信系统建模与仿真第二部分 基本概念与方法,第7章 随机信号的产生与处理,均匀分布随机变量的产生产生任意pdf的随机变量产生不相关的高斯随机变量产生相关的高斯随机变量PN序列发生器随机信号处理在通信系统仿真中的应用,通信系统模型,连续时间系统,离散时间系统,通信系统中的随机过程和随机序列,通常假设随机过程和随机序列满足平稳遍历性,随机过程和随机序列的分布,常用的随机过程和随机序列服从下列分布均匀分布、高斯分布、瑞利分布、二项分布、泊松分布、指数分布、分布等均匀分布的随机数，特别是在(0,1)之间均匀分的随机数是最基本的其它各种分布的随机数往往可以通过变换(0,1)均匀分布的随机数得到,随机数的

2、产生方法,7.2 均匀随机数发生器,用数学方法产生的均匀随机数必须满足下列要求随机数必须服从均匀分布，或者非常接近均匀分布随机数必须具有统计上的独立性随机数序列能够重复产生，以便重复验证仿真结果随机数的周期应满足仿真问题的要求（尽量使用全周期随机数发生器）产生随机数的速度要高，以缩短仿真时间产生随机数的方法应需要最少的计算机存储空间产生均匀随机数最常用的数学方法是线性同余法（LCG）,线性同余法,线性同余发生器的运算规则 xi+1=(axi+c)mod(m)(7-3)其中：a是乘子、c是增量、m称作模数式(7-3)能依次产生连续的x值，这是一个确定性的序列x的初始值记作x0，称作LCG的种子(

3、seed number)如果x0、a、c和m都是整数，x的值也是整数，并且介于0到m之间令x/m，就可得到在(0,1)之间均匀分布的随机变量x序列的最大周期为m，此时的发生器是全周期的,线性同余发生器的最低标准算法,最低标准算法所具有的性质LCG是全周期的能通过所有使用的随机性测试（比如相关性测试，随机数的样本xi+1和xi应互不相关易于从一台计算机移植到另一台计算机Lewis,Goodman和Miller最低标准算法 xi+1=(16807xi)mod(2147483647)(7-24)m是Mersenne素数2311,Matlab中使用的均匀随机数发生器,Matlab使用库函数rand产生

4、均匀随机数在Matlab版本5以前的版本中，rand是根据(7-24)定义的最低标准开发的在Matlab版本5和版本6中，rand的默认算法是Marsaglia开发的算法（算法只用到加法和减法运算，执行起来比LCG快得多），MathWorks声称该随机数发生器的周期超过21492。Matlab版本5和6也可以通过命令rand(seed,0)和rand(seed,J)调用(7-24)定义的最低标准算法,Matlab中rand的使用注意事项,使用者可以使用默认的种子，也可以自行设定种子关闭并重新打开Matlab可以将种子复位到默认值。因此，测试时我们可以产生完全相同的随机数序列。系统时钟可用来随机

5、化种子的初始值种子数存在一个缓冲器中，而不是Matlab工作区中。因此，Clear all并不能使种子复位。,7.3 将均匀分布的随机变量映射为具有任意pdf的随机变量,具有任意pdf的随机变量可通过均匀分布随机变量的变换得到，主要方法有：逆变换法：如果目标随机变量的CDF具有闭合形式，该随机变量可采用逆变换法产生。舍弃法：如果目标随机变量的pdf具有闭合形式，但CDF没有闭合形式，可采用舍弃法。该方法可以产生高斯随机变量（也可以使用均匀变量求和法、极坐标法或者通过瑞利随机变量的映射得到高斯随机变量）直方图法：如果要求随机数发生器的pdf与实验数据的pdf（可通过直方图得到）相一致，可采用直方

6、图法。,7.3.1 逆变换法,Xn是均匀分布的不相关序列，下面用随机变量U表示,Yn也是不相关序列，下面用随机变量X表示。它的CDF为FX(x),不相关随机序列的功率谱密度是常数（白噪声）,均匀分布的随机变量U变换成CDF为FX(x)的随机变量X,逆变换法的实施步骤,产生均匀分布的随机变量U（可以使用Matlab中的库函数rand，也可以使用LCG法）计算出随机变量X的CDF闭合形式FX(x)，FX(x)=PrXx令U=FX(X)，解出逆函数X=FX1(U)，这样就可以产生随机数x可以证明，随机数x的CDF等于FX(x),FX(x)是自变量x的非减函数,将均匀分布转换为指数分布的Matlab程

7、序,产生均匀分布的随机数U,画出直方图,根据直方图计算概率密度,pdf的理论值,用Box-Muller算法产生高斯随机变量时会用到这个结果,7.4 产生不相关的高斯随机变量,高斯随机变量的产生方法：舍弃法。效率不高均匀变量求和法。基于中心极限定理，方法简单，但pdf的拖尾被截断可能会产生严重的误差瑞利随机变量映射为高斯随机变量的方法，即Box-Muller算法。这是最基本的算法。极坐标法。是舍弃法的一个特例，产生的随机变量相关特性比Box-Muller算法好，但需要多次调用，而且调用的次数未知，因此仿真程序相当复杂。,高斯随机变量的CDF,高斯Q函数不能写成闭合形式,7.4.1 均匀变量求和法

8、,中心极限定理表明：如果独立随机变量k有相同分布和有限方差，当k 无限增大时，随机变量k和的分布趋于高斯分布。假设有N 个独立的在(0,1)区间均匀分布的随机变量Ui，i=1,N。它们可以构成随机变量Y因为Ui的均值为1/2，方差为1/12；所以Y的均值为0，方差为NB2/12。给定N，选择B，就可以将Y的方差设为所需的任意值,均匀变量求和法的缺点,Y在均值附近可以很精确地近似高斯随机变量由于Ui1/2的变化范围是1/21/2，所以Y在NB/2 到NB/2的范围内变化。这样使得Y的pdf的拖尾被截断到 NB/2，这时如果用Y来仿真通信系统中的噪声，可能会产生比较大的误差因此，必须根据具体的应用

9、确定合适的N。N较大，产生一个高斯随机数会耗费过多的CPU时间，N较小，高斯随机变量pdf的拖尾截断得比较多，会产生较大的误差。,7.4.2 瑞利随机变量到高斯随机变量的映射,瑞利随机变量可由两个正交的高斯随机变量产生。,设这两个独立的高斯随机变量为X和Y，它们具有相同的方差2。令x=rcos，y=rsin，则,R是一个瑞利随机变量，是一个均匀随机变量,瑞利随机变量可由两个正交的高斯随机变量产生。,瑞利随机变量的正交投影可以产生一对相互独立的高斯随机变量,假设R是瑞利随机变量，在(0,2)上均匀分布通过下面的式子可以产生高斯随机变量X和Y,X和Y的均值为0，方差为2,例7.8表明，瑞利随机变量

10、可由均匀分布的随机变量产生所以高斯随机变量X和Y也可由均匀分布的随机变量产生,实现Box-Muller算法的Matlab程序,Matlab中使用的高斯随机数发生器,Matlab中使用库函数randn产生服从高斯分布的随机数Matlab版本5以前的版本，使用极坐标法及(7-24)中的最低标准算法将均匀分布的随机数映射为高斯分布的随机数从Matlab版本5开始，使用新的不涉及乘法和除法运算的算法，直接产生具有高斯pdf的随机数后来的Matlab版本还用到改进的Ziggurt算法,7.5 产生相关的高斯随机变量,产生具有给定相关系数（一阶相关）的两个高斯序列由高斯白噪声产生具有给定功率谱密度（PSD

11、）的高斯随机变量/随机序列/随机过程,需要指出的是，白噪声和高斯分布是两个概念“白噪声”和“带宽受限的白噪声”是指随机过程的功率谱密度PSD是平坦的，其概率密度分布并不一定是高斯分布高斯分布指的是随机过程的概率密度服从正态分布，其功率谱密度可以是任意形状,7.5.1 产生相关系数为的高斯序列,假设X和Y都是均值为0，方差为2的高斯随机变量,令,可以证明，Z也是均值为0，方差为2的高斯随机变量，而且Z与X的相关系数为，|1。,证明过程,7.5.2 产生具有任意PSD的高斯随机变量,对一组不相关的样本进行适当的滤波，可以使滤波后的数据具有目标功率谱密度,输入具有高斯分布,假设SX(f)=Sn(f)

12、，Sn(f)如下图所示,K=N0/2,Jakes滤波器,高斯白噪声通过Jakes滤波器后，可以产生功率谱密度满足(7.97)式的高斯随机过程,Jakes滤波器的脉冲响应和功率谱密度,高斯白噪声通过Jakes滤波器的功率谱密度及对数幅度,7.7 PN序列发生器,仿真中，常用PN序列建立数据源模型,N级移位寄存器,模2加法器,连接向量，即PN码生成多项式g(D)的系数,PN序列发生器输出的序列是一个伪噪声序列；序列的PSD近似为常数，自相关函数近似为冲激函数,PN序列的最大周期为L=2N1，当且仅当g(D)为本原多项式时，才可以达到这个周期,PN序列的自相关函数Rm,假设数据符号为1(0+1，11

13、)，则：m=0或L的整数倍时，Rm=10mL时，Rm=1/L,PN序列的其它特性,序列几乎是平衡的，序列中1的个数比0的个数多一个，在适当的位置添一个0，则序列平衡除全0序列外，PN序列的一个周期中会出现所有可能的比特组合虽然自相关函数是周期的，但其波形与随机的二进制波形几乎完全相同设计具有N级移位寄存器的PN序列发生器，就是要找到一个N阶本原多项式,文献中给出的部分本原多项式的系数,开发PN序列发生器仿真程序的步骤,设置移位寄存器的初始状态向量B，令n=1 B=b1 b2 bN-1 bN根据本原多项式的系数设置连接向量G G=g1 g2 gN-1 gN计算模2加法器的输出fn移位寄存器中的数

14、据移一位，并把fn反馈到b1中，得到新的状态向量B令n=n+1，重复步骤34，直到仿真结束,例7.12 设计一个N=10的PN序列发生器,连接向量G=0 0 1 0 0 0 0 0 0 1序列的周期L=1023,PN序列发生器的仿真程序,PN序列发生器的仿真程序（续）,7.8 线性系统随机输入/输出信号之间的关系,随机输出信号与随机输入信号的均值满足my=H(0)mx，H(0)是滤波器的直流增益,输入是平稳序列,输入和输出的互相关函数满足,输入信号和输出信号的自相关函数满足,如果输入序列为白噪声，其相关函数为,输入信号和输出信号的方差满足,如果输入序列是相关序列，则,本章小结,均匀随机数的产生方法高斯随机数的产生方法产生具有任意功率谱密度的高斯随机过程PN序列发生器及其仿真实现线性系统随机信号输入与随机输出信号的关系,