计算传热学第6讲.ppt

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1、第6讲 对流-扩散方程的离散化,Discretization of Convection-Diffusion Equations,by Professor Liu Zhongliang,本讲内容,对流扩散问题的特征二阶中心差分格式之不可能一阶格式一阶格式的缺陷高阶格式多维问题及边界条件的处理,by Professor Liu Zhongliang,阅读要求、习题,阅读要求：陶文铨数值传热学第5章习题：P183 题52P184 题54、511第三题,by Professor Liu Zhongliang,单独讨论CDE离散化的必要性,差分格式：前面介绍的导出方法的不可行性对流扩散问题的分类及解法

2、边界层问题非边界层问题特殊的问题必须采用特殊的处理方法,by Professor Liu Zhongliang,6.1 通用方程与四个原则,The Equation,通用变量，generalized dependent variable 广义密度，universal densityU 速度向量（场），velocity vector(field)广义扩散系数，universal diffusivityS 广义源项，（universal)source term,Unsteady term,Convection term,Diffusion term,Source term,by Professor

3、 Liu Zhongliang,四个原则,四个基本原则是：控制界面上流的相容性原则系数同号原则相邻数之和原则负斜率源项原则物理真实解：必备条件,by Professor Liu Zhongliang,6.2 对流扩散问题的特征,物理上：存在宏观相对运动，对流效应数学上：一阶偏导数项数值困难对流项的存在核心解决好对流项的离散化问题,by Professor Liu Zhongliang,6.3 Taylor级数展开法与CV法,对象：一维稳态无源问题,by Professor Liu Zhongliang,TAYLOR级数展开法,将（3）应用于节点P，,等步长时，(x)w=(x)e=x于是，,by

4、 Professor Liu Zhongliang,TAYLOR级数展开法,将方程（5）、（6）代入（4），整理后就得到差分方程。结果如下：,by Professor Liu Zhongliang,TAYLOR级数展开法,by Professor Liu Zhongliang,控制容积法,将方程（3）对控制容积P积分，,注意到，,及，,by Professor Liu Zhongliang,控制容积法,将（9）、（10）代入方程（8），得到，,注意：该式与原方程是严格等价的，它不是近似成立的！,by Professor Liu Zhongliang,控制容积法,如果我们假定节点间待求变量按线性

5、分布，则有，,将（12）代入方程（11），得到与Taylor级数展开法相同的结果！,by Professor Liu Zhongliang,控制容积法,注意，在处理积分时，上面的处理方法与下面的处理方法并不是等价的，,而且，可以证明它是二阶精度的,by Professor Liu Zhongliang,控制容积法特别说明,在对流扩散方程的离散化中，关键是对流项的处理。扩散项一般采用二阶精度的三点中心差分格式，于是，式(11),式(9)，也即方程（13）等号左边是精确的，所以可以采用不同的手段来提高它的精度。对流扩散方程的离散化：控制界面处待求变量的处理,by Professor Liu Zho

6、ngliang,6.4 中心差分格式Central-Differencing Scheme,对流项采用中心差分格式，亦即假定节点间待求变量线性分布，于是,将（12）代入式（13），整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式,令，,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式,而差分方程（14）就简单地变为，,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,小写字母下标表示在控制界面处取值大写字母下标表示在节点处取值对流项的引入并没有改变差分方程的形式：所以求解差分方程的方法同样适用。,by Prof

7、essor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,F和D的物理意义：,表示了对流强度的大小，其正负由速度u的符号决定。当流向与坐标轴x的正方向一致时，F0，否则，F0。,表示了扩散强度的大小，且D0。,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,网格Peclet数,物理意义：表示了对流与扩散强度的相对大小网格Peclet数特征长度：网格尺寸x特征质量流速：(u)扩散系数：,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,P 可以大于零，也可以小于零传递过程物理性质的不同，其内容不同：对于热量传递：c,k(导热系

8、数)，则：,对于动量传递：（动力粘度），则：,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,按连续性方程，,在控制容积P上对该方程积分，得到，,或，,这样，按方程（16），,相邻系数之和原则成立！,by Professor Liu Zhongliang,特别提示,当且仅当在对对流扩散方程进行离散化时应用连续性方程才能保证所得到的差分方程满足相邻系数之和原则,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,注意到，,于是，按系数同号原则，应该有，,所以，,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨

9、论,或,结论：为了使中心差分格式能够得到物理上真实的解，那么P的绝对值必须小于2,中心差分格式的严重缺陷！,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,例：空气1.3kg/m3,=1.810-5 kg/(ms)在内径为50mm的管子内部流动，流速为1m/s。为了满足中心差分格式的要求，,by Professor Liu Zhongliang,中心差分格式说明与讨论,在一条直径方向上就需要布置1808个节点!实际流速一般都要接近100m/s,直径接近500mm，所以，节点数目将是一个天文数字：1.808106还有其它方向呢！,by Professor Liu

10、Zhongliang,6.5 严格解（Exact Solution),一维稳态无内热源的对流扩散问题：,在常物性及uconstant的前提下，不难得到问题（24）的解为：,Pe是Peclet数，,by Professor Liu Zhongliang,严格解（Exact Solution),by Professor Liu Zhongliang,严格解（Exact Solution),从图中可以看出，当Pe0时，x呈线性关系，纯扩散当Pe1时，扩散仍占主导地位，所以x仍然接近线性关系当Pe1时，扩散作用退居次要地位，对流跃居主导地位，x呈强非线性关系。绝大部分区域内的待求变量几乎就是上游值。,

11、by Professor Liu Zhongliang,严格解（Exact Solution),结论：Peclet数的大小表征了对流与扩散作用的相对强弱。当Pe1时，对流作用占绝对控制地位求解区域的绝大部分的值几乎就是上游值中心差分格式：一味地采用线性关系，从而造成了中心差分格式的失效。,by Professor Liu Zhongliang,6.6 逆风(迎风)格式 Up-wind scheme,基本依据：中心差分格式：界面值总是取相邻节点的平均值失效严格解：Peclet数较大时，控制界面上的值实际上更接近于上游节点的值基本做法：用上游节点的值代替控制界面的值,by Professor Li

12、u Zhongliang,逆风(迎风)格式,而，,或者写成，,其中“|a,b|”表示取a和b中较大的,by Professor Liu Zhongliang,逆风(迎风)格式,同样，,扩散项仍取中心差分格式，代入式（13），得到，,整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,逆风(迎风)格式,请大家给出证明！,此即迎风格式。其特点是不论网格Peclet数的大小，它总是取控制容积控制面上游节点待求变量的值作为控制界面处的值！,by Professor Liu Zhongliang,逆风(迎风)格式,关于迎风格式的说明之一系数总是大于零：不论D和F的取值如何系数同号原则总

13、成立相邻系数之和原则总成立不论Peclet数的大小，总能给出物理上真实的解,by Professor Liu Zhongliang,逆风(迎风)格式,关于迎风格式的说明之二逆风格式的截断误差：O(x)不论Peclet数如何，均不能给出高精度的结果,by Professor Liu Zhongliang,6.7 指数格式(Exponential Scheme),目的：寻找具有迎风格式的优点，又能克服其精度低的缺点的格式将一维对流扩散方程（3）改写为，,定义总通量(Total flux)J，,（=对流通量扩散通量）,by Professor Liu Zhongliang,指数格式(Exponent

14、ial Scheme),方程（31）就变形为，,将方程（33）在控制容积P上对x积分，,by Professor Liu Zhongliang,指数格式(Exponential Scheme),将精确解（25）代入总通量定义式(32)，整理后得到，,这一结果告诉我们，对于问题（24），当 x0，L 时，总通量是一个常数。,by Professor Liu Zhongliang,指数格式,把上面的结果应用于xxW，xP,于是得到，,by Professor Liu Zhongliang,指数格式,同样，应用xxP，xE,于是得到，,by Professor Liu Zhongliang,指数格式

15、,将式（36）代入方程（34），有，,整理后得到，,其中，,by Professor Liu Zhongliang,指数格式,进一步可以证明，,请大家证明之！,by Professor Liu Zhongliang,指数格式讨论与说明,从方程（37）可以看出，方程中的系数可以大于0，也可以小于0，但它们始终保持相同的符号系数同号原则成立在满足连续性方程的条件下，满足相邻系数之和原则相邻系数之和原则成立结论：不论P的大小，指数格式总能给出物理上真实的解,by Professor Liu Zhongliang,指数格式讨论与说明,对模型问题，不论Peclet数的大小，该格式始终给出严格解对更一般的

16、问题，不能给出严格解截断误差：O(x)大量的指数运算，文献中很少使用,by Professor Liu Zhongliang,6.8 混合格式（Hybrid scheme),目的：解决指数格式指数函数运算问题基本思想：用简单函数去逼近有关的指数运算（Spalding,1971)方法：考查aE与P之间的关系将式（37b)改写为，,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,从图中可以看出：当Pe-1时，,当Pe 1时，,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,当Pe 0时，过点（0，

17、1）的切线方程为，,上述三条直线实际上构成了对严格解的包络线 注意：三条直线的交点为（-2,2）和（2,0）,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,于是，我们得到关于指数格式的近似函数为，,或者写成，,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,同样可以推得，,by Professor Liu Zhongliang,混合格式,最后得到混合格式的离散化方程为，,by Professor Liu Zhongliang,混合格式说明,当P2时，混合格式就退化为迎风格式在|P|2处会产生

18、较大的误差：Pe2时，系数aE的误差219Pe2时，系数aE的误差14当P2时，简单地取扩散项为零,by Professor Liu Zhongliang,6.9 幂律格式(Power law scheme),目的：提高对指数格式的逼近精度出发点：用4条曲线去逼近严格解结果：,by Professor Liu Zhongliang,幂律格式（Power law scheme),by Professor Liu Zhongliang,幂律格式（Power law scheme),从对指数格式的逼近角度看，幂律格式几乎是完美无缺！当P10时，幂律格式就退化为迎风格式其它逼近格式：All faile

19、d！,by Professor Liu Zhongliang,6.10 通用格式,对于一维无源稳态对流-扩散方程，,其离散化方程为，,或者写为，,R111,by Professor Liu Zhongliang,通用格式,前面介绍的五种格式可以统一写成,其中A是与格式有关的系数，按表52选取（P151）,by Professor Liu Zhongliang,通用格式,通用格式中的系数A,by Professor Liu Zhongliang,通用格式-各种格式的比较,by Professor Liu Zhongliang,6.11 一阶格式：讨论与说明,指数逼近格式：一阶格式（first o

20、rder formulations)对流项一阶格式，扩散项二阶格式：精度不匹配（accuracy mismatch)严重的虚假扩散（false diffusion)或数值扩散（numerical diffusion),by Professor Liu Zhongliang,虚假扩散,将迎风格式用于一维常物性无源稳态对流扩散方程：,在等步长、常物性条件下，,将W和E在P处做Taylor展开，,by Professor Liu Zhongliang,虚假扩散,by Professor Liu Zhongliang,虚假扩散,将式(a)和式（b）代入差分方程（48），,整理后得到，,by Profe

21、ssor Liu Zhongliang,虚假扩散,显然，虚假扩散系数与网格Peclet数成正比。当网格Peclet数较大时，可能会产生非常严重的后果。,虚假扩散系数（false diffusivity）数值扩散系数(numerical diffusivity),by Professor Liu Zhongliang,虚假扩散,原因：对流项与扩散项的处理在精度上不匹配虚假扩散泛指：精度不匹配造成的；多维问题中流速与网格线斜交；非常数源项,by Professor Liu Zhongliang,提高差分格式精度的途径,对指数格式的逼近不能从根本上提高差分格式的精度关键：解决各种虚假扩散问题途径：提

22、高对流项差分格式的精度等级考虑流速与网格斜交叉的影响斜迎风格式考虑非常数源项的影响LOAD格式；CONDIF格式,by Professor Liu Zhongliang,特别提示,一阶精度格式或基于指数格式的差分格式无条件稳定总能给出物理上真实的解存在严重的虚假扩散不可能得到高精度的解,by Professor Liu Zhongliang,6.12 高阶精度差分格式,应该注意：提高一阶导数（对流项）的截差采用迎风注意理解迎风的含义,by Professor Liu Zhongliang,6.12.1 Taylor级数展开法,将方程（3）用于节点P,扩散项（二阶导数项)采用三点中心差分格式，有

23、,by Professor Liu Zhongliang,Taylor级数展开法,为了得到高阶格式，只需要用高阶迎风格式去代替式（51）中的一阶导数,by Professor Liu Zhongliang,6.12.1.1 二阶迎风格式,Second order upwind scheme假定u0，等步长，xx如何实现迎风？如何提高精度等级？,方法：将一阶导数在W处做Taylor展开,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,将方程右手侧中的一阶导数和二阶导数用二阶精度的三点中心差分格式代替，,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,其

24、中WW是节点W上游的第一个相邻节点,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,略去二阶无穷小量，得到一阶导数的二阶迎风格式，,将式（54）代入方程（51），整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,注意：F的下标是大写字母-在节点处取值aPaW+aE:不满足相邻系数之和原则不能直接用迭代法求解数值计算时必须进行改写,by Professor Liu Zhongliang,二阶迎风格式,差分方程改写为迭代计算的形式：,by Professor Liu Zho

25、ngliang,二阶迎风格式,求解方法：迭代求解假定一个待求变量分布计算有关系数用TDMA方法求解上面的方程反复进行，直到得到满足精度要求的解二阶迎风格式是无条件稳定的,by Professor Liu Zhongliang,6.12.1.2 三阶迎风格式,Third order upwind scheme假定u0，等步长，xx方法：“差分中心”向上游（迎风方向）偏移，用Taylor级数展开法寻找一阶导数的三阶精度的表达式,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,将WW、W和E节点P处做Taylor展开,by Professor Liu Zhongliang,三阶

26、迎风格式,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,(a)+(b)得,8(b)+(c)得,至少要消去三阶导数项：一阶导数为所求二阶导数由（d）给出,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,（e）6（d）得，,由（f）得，,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,略去三阶无穷小量，,将上式代入式（51），整理后得到,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,说明：上面的差分格式已经进行了改写，可以直接用于迭代计算

27、；该格式不是无条件稳定的。因为，按系数之和与系数同号原则，应该有，,by Professor Liu Zhongliang,三阶迎风格式,用类似的方法可以得到更高精度的格式二阶以上的格式是针对对流项而言的二阶以上的格式都是有条件稳定的随着阶数的提高，差分格式的性能提高例如，如果再增加一个上游节点，则，,该格式也是条件稳定的,by Professor Liu Zhongliang,6.12.2 控制容积法,在控制容积法中，对于我们设定的模型问题，有,思路：与Taylor级数法完全相同出发点：提高控制面上待求变量的截差Taylor级数：一阶导数,by Professor Liu Zhonglian

28、g,6.12.2.1 QUICK格式,假定u0，则按迎风思想的要求，将e在P点做Taylor展开，,by Professor Liu Zhongliang,QUICK格式,将其中的一阶和二阶导用二阶中心差分格式代替，即，,将式（66）和式（67）代入式（65），整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,QUICK格式,用类似的方法可以得到，,请大家自己推导出这一结果！,将式（68）和式（69）代入式（64），整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,QUICK格式,已经改写成便于迭代计算的形式该格式有条件稳定：P8/3该格式就是文献中的Q

29、UICK格式,by Professor Liu Zhongliang,QUICK格式,这是因为，譬如对于e，,亦即，,参见P165式（535）,by Professor Liu Zhongliang,QUICK格式,可以证明，在QUICK格式中，,QUICK,Quadratic Upwind Interpolation of Convective Kinematics 对流项的二次迎风插值（方法）,by Professor Liu Zhongliang,6.12.2.2 高阶格式,用与推导QUICK格式类似的方法，在方程（64）的基础上，可以得到更高阶的格式。,by Professor Liu

30、 Zhongliang,6.12.3 高阶格式还是精细网格？,低阶精度格式：精度低稳定性好一阶格式：误差大，无条件稳定，物理真实解高阶精度格式：精度高稳定性差易出现不真实的振荡数值研究：要求必须采用二阶及二阶以上格式,by Professor Liu Zhongliang,高阶格式还是精细网格？,在高阶格式中：扩散项总是采用二阶格式差分法的基础：Taylor级数展开法决定精度的是网格尺寸，而不是（截断误差）阶数的高低局部精细网格比高阶精度格式更有效高阶格式的Overshoot/Undershoot总是发生在sudden-jump region说明格式的精度不够一阶和二阶导数的截断误差可能都是重

31、要的,by Professor Liu Zhongliang,高阶格式还是精细网格？,初步研究工作表明：在提高对流项截断误差的同时提高扩散项的截断误差可以明显改进格式的性能，抑制“过头”现象的出现。对于三阶迎风格式：如果扩散项采用四阶而不是二阶格式，则格式的临界P数由3增大到4,by Professor Liu Zhongliang,6.13 高阶格式中的几个具体问题,差分方程的求解简单地采用原差分方程迭代求解，发散不对系数进行调整不考虑系数之和规则对系数进行调整，保证系数之和成立多余的项并入源项延迟修正PDMA（Penta-Diagonal Matrix Algorithm),by Prof

32、essor Liu Zhongliang,高阶格式中的几个具体问题,边界条件的处理近边界节点降阶处理：一阶迎风，。,by Professor Liu Zhongliang,6.14 多维问题及边界条件的处理,6.14.1 二维对流扩散方程的离散化6.14.1.1 求解区域的离散化方法同前,by Professor Liu Zhongliang,求解区域的离散化,by Professor Liu Zhongliang,6.14.1.2 控制方程,定义x方向和y方向的总通量Jx和Jy，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程,则方程（73）就变形为,连续性方程,请列出附加

33、的假设条件！,by Professor Liu Zhongliang,6.14.1.3 控制方程的离散化,控制容积法。对控制容积P积分，,I1,I2,I3,I4,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,I1的计算：,所以，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,I2的计算,将之与一维通用格式比较，知，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,上标“”表示按一维定义计算。将上式代入，,其中，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,其中：,by Profess

34、or Liu Zhongliang,控制方程的离散化,I3的计算,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,I4的计算,Source term linearization!,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,将I1I4代入方程（77），整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,对连续性方程积分：,得到：,代入（82）得到：,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,整理后得到，,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离

35、散化,几点说明:系数A(|P|):按一维公式计算，且定义不变,上下标：上标“0”表示上一时刻取值没有上标的量：现时时刻小写下标：在相应控制界面处取值大写下标：在相应节点处取值,by Professor Liu Zhongliang,控制方程的离散化,几点说明:离散化方程：形式上：与纯扩散方程相同求解方法：也基本相同,by Professor Liu Zhongliang,6.14.2 定解条件的处理,入口边界：通常给定：流速，流量，压力，温度出口边界待求出口节点处的待求变量对内部相邻节点无影响局部单向化出口界面处：无回流出口界面：远离感兴趣的计算区域,by Professor Liu Zhon

36、gliang,定解条件的处理,流固耦合边界：非滑移条件：No-slip conditions第一类边界第二类边界第三类边界,by Professor Liu Zhongliang,6.14.3 高阶格式的处理,重新编写程序：前面介绍的方法处理延迟修正法（deferred correction method),其中“*”表示上次迭代值源项修正低阶格式程序,This brings the end of the Lecture,Thank you!,An Accuracy-Balanced Formulation is Needed for Convection and Diffusion Term

37、s,LIU ZhongliangCollege of Environmental&Energy Engineering Beijing University of Technology,by Professor Liu Zhongliang,Accuracy-Balanced Formulation is Needed,Low accuracy of 1st order formulationsThus high order formulations were developedIn doing so,2nd-order formulation is always used for diffu

38、sion terms.,by Professor Liu Zhongliang,Accuracy-Balanced Formulation is Needed,The ProblemHigh-order formulations:unphysical oscillations(convection instability and over/under-shoot)Common understanding:accuracy is not high enough of convection formulationsThis is mainly from the facts observed:No

39、unphysical oscillations for low Pe flowsDiffusion effect is neglectable for high Pe flows,by Professor Liu Zhongliang,A simple analysis,For 1D problems,a total flux defined,Where,Here，only the simplest situation is considered:,by Professor Liu Zhongliang,A simple analysis,From which one can find,by

40、Professor Liu Zhongliang,A simple analysis,One can conclude:If PeL0，then，JdiffJconv 且-JdiffJconvIf PeL0，then the relation between Jdiff and Jconv is depended on Peclet number and xThe diffusion effect is not always neglectable even if Peclet number is large enough！,by Professor Liu Zhongliang,Compar

41、ison between Jdiffand Jconv：Small Peclet numbers,by Professor Liu Zhongliang,Comparison between Jdiffand Jconv：Large Peclet numbers,by Professor Liu Zhongliang,Suggestions,2nd order-only formulation for diffusion terms is not appropriate,since diffusion effect is not always neglectable always import

42、ant within sudden jump regionsUnbalanced formulation for convection and diffusion terms:Higher order formulation for convection terms2nd order formulation for diffusion terms Possible reason for unphysical oscillationsUsing accuracy balanced formulation for convection and diffusion terms is importan

43、t,by Professor Liu Zhongliang,Numerical Example One,Steady 1D convection-diffusion:,by Professor Liu Zhongliang,QUICK scheme,Standard QUICKQUICK formulation for convection terms2nd order central difference for diffusion termsCritical grid Peclet number Pcr=8/3Improved or accuracy-balanced QUICK：QUIC

44、K formulation for convection terms4th order central difference for diffusion termsCritical grid Peclet number Pcr=32/9,by Professor Liu Zhongliang,QUICK scheme,Overshoot!,Undershoot!,by Professor Liu Zhongliang,QUICK scheme,by Professor Liu Zhongliang,QUICK scheme,by Professor Liu Zhongliang,3rd-ord

45、er upwind scheme,Standard 3rd order upwind:3rd order upwind formulation for convection terms2nd order central difference for diffusion termsCritical grid Peclet number Pcr=3Improved or accuracy-balanced 3rd order upwind scheme:3rd order upwind formulation for convection terms4th order central differ

46、ence for diffusion termsCritical grid Peclet number Pcr=4,by Professor Liu Zhongliang,3rd-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,3rd-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,3rd-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,4th-order upwind scheme,Standard 4th order upwind:4th orde

47、r upwind formulation for convection terms2nd order central difference for diffusion termsCritical grid Peclet number Pcr=4Improved or accuracy-balanced 4th order upwind scheme:4th order upwind formulation for convection terms4th order central difference for diffusion termsCritical grid Peclet number

48、 Pcr=16/3,by Professor Liu Zhongliang,4th-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,4th-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,4th-order upwind scheme,by Professor Liu Zhongliang,Numerical Example Two,A 2D Problem：Boundary conditions:,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved

49、QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Numerical Example Three,Same as Example Two but with a changed boundary:,by Professor Liu Zhongliang,Stand

50、ard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Standard and Improved QUICK：Two-Dimensional,by Professor Liu Zhongliang,Conclusions:,High