解析函数的罗朗展式与孤立奇点.ppt

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1、,第五章 解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点,5.1 解析函数的洛朗展式5.2解析函数的孤立奇点5.3解析函数在无穷远点的性质5.4整函数与亚纯函数,学习要求,了解双边幂级数的有关概念；理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。,5.1 解析函数的洛朗展式,5.1.1 双边幂级数,定义6.1 称级数,（5.3）,为复常数，称,为双边幂级数（5.3）的系数,为双边幂级数，其中,负幂项部分,非负蜜幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(

2、z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R1,a,a,R,a,r,H,f(z)=f1(z)+f2(z,这时,级数(5.3)在圆环H:r|z-a|R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z),定理5.1 设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为 H:r|z-a|R(r0,R+)则(1)(5.3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).,(2)f(z)在H内解析.,在H内可逐项求导p次(p=1,2,).,常见的特殊圆环域:,定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数,其中

3、,(5.5),(5.4),5.1.2 解析函数的洛朗展式,a,证(如图5.1)对zH,总可以找到含于H内的两个圆周,使得z含在圆环,z,图5.1,内，因为f(z)在圆环,上解析,由柯西积分公式有,或写成,(5.6),我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.,1,对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得,(5.7),(5.8),1,2,类似地,对(5.6)的第二个积分,我们有,2,于是上式可以展成一致收敛的级数,沿1逐项求积分,两端同乘以,(5.9),(5.10),由(5.6),(5.7),(5.9)即得,回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围

4、线的柯西积分定理,对任意圆周,有,于是系数可统一表成(5.5).,因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.,上一致收敛.乘以上的有界函数:,最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:,由定理5.1知,它在圆周,故可逐项积分，得：,仍然一致收敛,利用重要积分公式，得：,定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.,5.1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系,泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.,例1 判断,在下列区域内,能展成什么幂级数,即：罗朗级数或泰勒级数,5.1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,

5、定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)内解析,点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称为f(z)的孤立奇点.,如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)能展成洛朗级数,将函数展称洛朗级数,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,5.1.5 典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知

6、:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,说明:,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,解,例3,例4,解,例5,内的洛朗展开式.,解,五、小结与思考,在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,放映结束，按Esc退出.,