解析函数的泰勒级数.ppt

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1、作 业,178页 5（1）（3）（4）（5）179页 7（2）（3）8（1）,下页,返回,上页,复习：,复数项级数敛散性判别,复函数项级数敛散性判别,幂级数敛散性判别,幂级数运算性质,下页,返回,上页,级数发散;,进一步判断.,判别复数项级数的 敛散性时,可先考察,?,部分和极限,实虚部级数收敛性,柯西判别准则,绝对收敛否,复数项级数敛散性判别,下页,返回,上页,优级数（函数项级数转化为数项级数）,复函数级数有优级数，那么它一定绝对收敛且一致收敛,复函数项级数敛散性判别,下页,返回,上页,方法1:比值法(达郎贝尔判别法),方法2:根值法(柯西判别法),那末收敛半径,那末收敛半径,幂级数敛散性判

2、别,在|z-a|R发散,下页,返回,上页,1)幂级数的四则运算,幂级数运算性质,下页,返回,上页,(3),级数逐项求积得到,即,2)幂级数的解析性质,下页,返回,上页,第三、四节 泰勒展式,2、初等函数泰勒展开式,1、泰勒定理,4、解析函数零点的孤立性,第四章,下页,返回,上页,3、幂级数和函数在收敛圆周上的状况,1 初等函数泰勒展开式,其中,泰勒级数,泰勒展开式,问题:任一个解析函数能否用多项式函数来表达？,下页,返回,上页,将函数展开成泰勒级数,常用方法:直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,下页,返回,上页,例如，,故有,下页,返回,上页,仿照上例,下页,返回,上页,背

3、诵:常见函数的泰勒展开式,下页,返回,上页,2.间接展开法:,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,下页,返回,上页,例如，,下页,返回,上页,再例如,下页,返回,上页,例1,解,典型例题,下页,返回,上页,上式两边逐项求导,下页,返回,上页,例2,分析,如图,下页,返回,上页,即,将展开式两端沿 C 逐项积分,得,解,下页,返回,上页,练习,例3,例4,下页,返回,上页,例3,解,下页,返回,上页,例4,解,下页

4、,返回,上页,定理4.16 如果幂级数,的收敛半径R0,且,则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|R内与f(z)恒等,而在C上处处解析.,z1,a,3、幂级数和函数在收敛圆周上的状况,例,解,下页,返回,上页,4、解析函数零点的孤立性,下页,返回,上页,定理4.17 非恒为零的解析函数,以a为m阶,零点的充要条件为:,下页,返回,上页,练习,是五阶零点,是二阶零点.,答案,下页,返回,上页,孤立奇点,下页,返回,上页,简言之:不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.,推论4.19 设函数,内解析,则,简言之:零点不孤立，解析函数恒为零

5、,下页,返回,上页,1、泰勒定理,问题:任一个解析函数如何用幂级数来表达？,如图:,下页,返回,上页,由柯西积分公式,有,其中 K 取正方向.,则,下页,返回,上页,下页,返回,上页,由高阶导数公式,上式又可写成,其中,可知在K内,？有定义吗,下页,返回,上页,令,则在K上连续,即存在一个正常数M,下页,返回,上页,下页,返回,上页,从而在K内,泰勒级数,下页,返回,上页,那末,在,的泰勒展开式在 内成立,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,下页,返回,上页,泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,下页,返回,上页,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?),4

6、.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),下页,返回,上页,因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,下页,返回,上页,那末,即,因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,下页,返回,上页,小结与思考,1.通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.2.会判断解析函数零点的阶数.3.理解不恒为零的解析函数零点的孤立性.,下页,返回,上页,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,下页,返回,上页,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,下页,返回,上页,泰勒资料,Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,England,Brook Taylor,下页,返回,上页,