统计学第七章参数估计.ppt

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1、第七章 参数估计,7.1 参数估计的一般问题7.2 一个总体参数的区间估计7.3 两个总体参数的区间估计7.4 样本量的确定,学习目标,估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法,参数估计在统计方法中的地位,统计推断的过程,7.1 参数估计的一般问题,1、参数估计（Parameter Estimation），用样本估计量估计总体估计值。（1）、点（值）估计（近似值）（2）、区间估计（近似范围）,一、估计量和估计值,估计：人人都做过。如：上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？过马路闯红灯时，你会估计

2、一下被罚款的概率有多大？推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？,(1)估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：样本算术平均数、样本中位数、样本标准差、样本方差等。例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量(2)参数用 表示，估计量用 表示(3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是的估计值,2、估计量与估计值(estimator&estimated value),参数估计的方法,二、点估计(point estimation),Population Parameter总体参数Point Estimator is a single value(sta

3、tistic)used to estimate a population value(parameter).1、用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计,Point estimation点估计,PopulationSampleParameterStatistic FormulaMean,Variance,s2Proportion,p,总体参数,样本统计量,计算公式,2、点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等3、点估计用样本估计量直接作为总体均数的估计值，未考虑抽样误差,没有给出估计值接

4、近总体参数程度的信息。,三、区间估计(interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,区间估计的图示,（1）将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平（2）表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例（3）常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的 为0.01，0.05，0.10,1、置信水平(confidence cofficient),（1

5、）由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间（2）统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间（3）用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,2、置信区间(confidence interval),例：虽然不能知道某校全体女大学生身高均数的确切数值，但有95%的把握说校全体女大学生身高均数在163.0-164.5cm之间，有99%的把握说校全体女大学生身高均数在 162.7 164.7cm

6、之间。换句话说，做出校全体女大学生身高均数为163.0-164.5cm的结论，说对的概率是95%，说错的概率是5%；做出校全体女大学生身高均数为162.7 164.7cm的结论，说对的概率是99%，说错的概率是1%。,3、置信区间与置信水平,The factors that determine the width of a confidence interval are:4、影响置信区间宽度的因素有：（1）.The sample size,n.样本容量n（2）.The variability in the population总体数据的离散程度，用 来测度（3）.The desired lev

7、el of confidence.置信水平(1-)，影响 z 的大小,5、标准误（Standard error),(1)、概念抽样误差：由于抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异。标准误：表示抽样误差大小的指标；即样本均值的标准差；,(3)、（样本均值）标准误意义：反映抽样误差的大小。标准误越小，抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的可靠性越大。与样本量的关系：S 一定，n，标准误,(2)、（样本均值）标准误的计算,四、评价估计量的标准,1、无偏性(unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数,P(),B,A,无偏,有偏,2、有效性(efficiency

8、),有效性：与离散度相联系。对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效,3、一致性(consistency),一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数,7.2 一个总体参数的区间估计,7.2.1 总体均值的区间估计7.2.2 总体比例的区间估计7.2.3 总体方差的区间估计,A confidence interval is a range of values within which the population parameter is expected to occur.区间估计给出总体参数的近似范围,Interval Estimation区间估计

9、,一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计(正态总体、已知，或非正态总体、大样本),总体均值的区间估计(大样本),1.假定条件总体服从正态分布,且方差()未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)使用正态分布统计量 z,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,Interval Estimates,An Interval Estimate states the range within which a population parameter probably lies.区间估计表明总体参数可能存在的范围,Interval Estimates,The interval within

10、which a populationparameter is expected to occur is called a confidence interval.总体参数可能存在的区间称为置信区间The two confidence intervals that are used extensively are the 95%and the 90%.常用的置信水平及值为：,Z=1.96,Z=1.65,Interpretation of Confidence Intervals,For a 95%confidence interval about 95%of the similarly cons

11、tructed intervals will contain the parameter being estimated.95%of the sample means for a specified sample size will lie within 1.96 standard deviations of the hypothesized population mean.,总体均值的区间估计(例题分析),【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已

12、知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g,总体均值的区间估计(例题分析),【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信

13、水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计(正态总体、未知、小样本),总体均值的区间估计(小样本),1.假定条件总体服从正态分布,且方差()未知小样本(n 30)使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,t 分布,t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,t 值表 横坐标：自由度，df 纵坐标：概率，p,即曲线下阴影部分的面积;表中的数字：相应的|t|界值。,t 值表规律：(1)自由度（df）一定时，p 与 t 成反比;

14、(2)概率（p）一定时，df 与 t 成反比;,总体均值的区间估计(例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,总体比例的区间估计,总体比例的区间估计,1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量 z,3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比

15、例的区间估计(例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65%,1-=95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,总体方差的区间估计,总体方差的区间估计,1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布总体方差 2 的点估计量为S2,且,4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为,总体方差的区间估计(图示),总体方差的区间估计(例题分析),【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一

16、批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间,总体方差的区间估计(例题分析),解:已知n25，1-95%,根据样本数据计算得 s2=93.21 2置信度为95%的置信区间为,该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g13.43g,7.3 两个总体参数的区间估计,7.3.1 两个总体均值之差的区间估计7.3.2 两个总体比例之差的区间估计7.3.3 两个总体方差比的区间估计,两个总体参数的区间估计,两个总体均值之差的区间估计(独立大样本),两个总体均值之差的估计(大样本),1.假定条件两个总体都服从

17、正态分布，1、2已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量 z,两个总体均值之差的估计(大样本),1.1，2已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为,1、2未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计(例题分析),【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间,English,两个总体均值之差的估计(例题分析),解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间

18、为,两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分10.97分,两个总体均值之差的区间估计(独立小样本),两个总体均值之差的估计(小样本:12=22),1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本(n130和n230)总体方差的合并估计量,估计量x1-x2的抽样标准差,两个总体均值之差的估计(小样本:12=22),两个样本均值之差的标准化,两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计(例题分析),【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下

19、如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计(例题分析),解:根据样本数据计算得 合并估计量为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟7.26分钟,两个总体均值之差的估计(小样本:12 22),1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：12两个独立的小样本(n130和n230)使用统计量,两个总体均值之差的估计(小样本:1222),两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计(例题分析),【例】沿用前例。假定第一种方法随机安

20、排12名工人，第二种方法随机安排名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计(例题分析),解:根据样本数据计算得 自由度为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟9.058分钟,两个总体均值之差的区间估计(匹配样本matched sample),两个总体均值之差的估计(匹配大样本),假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为,两

21、个总体均值之差的估计(匹配小样本),假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计(例题分析),【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间,STATISTICS,两个总体均值之差的估计(例题分析),解:根据样本数据计算得,两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分15.67分,两个总体比例之差区间的估计,1.假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个

22、总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体比例之差的区间估计,两个总体比例之差的估计(例题分析),【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间,两个总体比例之差的估计(例题分析),解:已知 n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-=95%，z/2=1.96 1-2置信度为95%的置信区间为,城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%,两个总体方差比的区间估计,两个总体方差比的区间估计,1.比较两个总体的方

23、差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-置信水平下的置信区间为,两个总体方差比的区间估计(图示),两个总体方差比的区间估计(例题分析),【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间,两个总体方差比的区间估计(例题分析),解:根据自由度 n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.5

24、05 12/22置信度为90%的置信区间为,男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84,7.4 样本容量的确定,一、估计总体均值时样本容量的确定,Selecting a Sample Size,There are 3 factors that determine the size of a sample,none of which has any direct relationship to the size of the population.They are:The degree of confidence selected.The maximum allowable error

25、.The variation in the population.,Sample Size for Means,To find the sample size for a variable:E is the allowable error,z is the z-value corresponding to the selected level of confidence,the standard deviation of population.,Sample Size for Proportions,The formula for determining the sample size in

26、the case of a proportion is:p is the estimated proportion,based on past experience or a pilot survey;z is the z value associated with the degree of confidence selected;E is the maximum allowable error the researcher will tolerate.,估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差 2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数（

27、1-a）成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),解:已知=500，E=200,1-=95%，z/2=1.96 12/22置信度为90%的置信区间为,即应抽取97人作为样本,二、估计总体比例时样本容量的确定,根据比例区间估计公式可得样本容量n为,估计总体比例时样本容量的确定,E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5,其中：,估计总体比例时样本容量的确定

28、(例题分析),【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%,应抽取的样本容量为,应抽取139个产品作为样本,三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定,设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为,估计两个总体均值之差时样本容量的确定,其中：,估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析),【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考

29、试分数的方差分别为：试验班12=90，普通班 22=120。如果要求估计的误差范围(边际误差)不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？,English,估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析),解:已知12=90，22=120，E=5,1-=95%，z/2=1.96,即应抽取17人作为样本,四、估计两个总体比例之差时样本容量的确定,设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为,估计两个总体比例之差时样本容量的确定,其中：,估计两个总体比例之差时样本容量的确定(例题分析),【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认

30、知的广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本，并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两个样本容量相等),估计两个总体比例之差时样本容量的确定(例题分析),解:E=10%,1-=95%，z/2=1.96，由于没有的信息，用0.5代替,即应抽取193位消费者作为样本,本章小结,参数估计的一般问题一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本容量的确定,区间估计,估计未知参数所在的可能的区间。,评价准则,随机区间,置信度,精确度,随机区间

31、,包含,（即可靠程度）越大越好。,的概率,的平均长度,（误差范围）越小越好,一般形式,或,总体参数,估计值,误差范围,：一定倍数的抽样误差,例如：,抽样误差,一定时，,越大，,概率（可靠性）大；,随之增大，,精确度就差。,参数的区间估计,简单随机抽样,待估计参数,已知条件,置信区间,正态总体，2已知,正态总体，2未知,非正态总体，n30,有限总体，n30（不放回抽样）,总体均值（）,未知时，用S,未知时，用S,两个正态总体,已知,两个正态总体,未知但相等,两个非正态总体,n1，n230,两个总体均值之差1-2,简单随机抽样,待估计参数,已知条件,置信区间,无限总体，np和nq都大于5,总体成数（p）,无限总体，n1p15,n1q1 5n2p25,n2q25,两个总体成数之差（P1-P2）,有限总体，np和nq都大于5,有限总体，,n1p15,n1q1 5n2p25,n2q25,简单随机抽样,待估计参数,已知条件,置信区间,正态总体,总体方差,两个正态总体,两个总体方差之比,样本数的确定,待估计参数,已知条件,样本数的确定,正态总体，2已知,总体均值（）,例：误差范围,简单随机抽样,有限总体，不放回抽样，2已知,总体成数（P）,服从正态分布,有限总体，不放回抽样,