统计培训教材概率与概率分布.ppt
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1、概率与概率分布,在对随机现象的研究和各种决策中,常需用样本(数据)提供的信息去推断总体的数量规律性,即作出有关总体的某种结论.推断统计学是建立在概率与概率分布基础的理论基础上的统计方法,因而有必要了其有关知识,一、概率基础,-随机实验,样本空间,随机事件-概率:古典概率,几何概率,公理化定义-条件概率-随机变量-常用随机变量的分布:二项、泊松、均匀、指数、正态-数学期望、方差,在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。集合表
2、示:例:抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”,如果结果出现5点,则事件A发生了。,1、随机实验,样本空间,随机事件,2、事件的关系与运算,S,A,B,A,B,S,S,S,A,A,A-B,B,A,B,B=A,S,S,S,A,B,B,A-B,例,抛一骰子。A表示“偶数点”,B表示“4,5,6”,则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生,事件的运算法则,交换律:AB=BA AB=BA结合律:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律:A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC)对偶律:,集合的运算法则都适用,常用的有,3、概率
3、的定义,物理学家吴大猷:误用概率的笑话 一个病人去看病,医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高,医生说这种手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说,到今天已经有50人死去了,所以你不用害怕。,估计概率方法,一)概率的古典定义 1、定义:古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件 发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率.如果试验E满足(1)它的结果只有有限种.(2)且每种结果发生的可能性相同.(3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为:P(A)=k/n,2、古典概率模型中事件的概率求法 试验A的结果只有有限种,即样本点是有限
4、个:1,2,n,=12 n i,i=1,2,n是基本事件,而他们发生的概率都相等,这样 1=P()=P(12 n)=P(1)+P(2)+P(n)=n P(i),i=1,2,n P(i)=1/n i=1,2,因此若事件A包含k个基本事件,于是 P(A)=k(1/n)=k/n,3、古典概率模型的例子例1 掷一颗均匀骰子.设:A表示所掷结果为“四点或五点”.B表示所掷结果为“偶数点”.求:P(A)和P(B)解:n=6,kA=2 P(A)=2/6=1/3 kB=3 P(B)=3/6=1/2,例2 货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件
5、商品来自一同产地的概率.解:从15件商品中取出2商品,共有=105 种取法,且每种取法都是等可能的.n=105令A=两件商品都来自产地甲 kA=66 令B=两件商品都来自产地乙 kB=3 而事件两件商品来自同一产地=AB,且A与B互斥。它包含基本事件数=66+3=69 所求概率=69/105=23/35,例3:有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只,(1)每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样).(2)每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类三
6、极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管.求:P(A),P(B),P(C),P(D),解:(1)由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法.取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理,即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法.取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即:kA=16 P(A)=16/36=4/9 令E=抽到两只乙类三极管,kE=2
7、2=4 P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件,P(C)=1-P(E)=8/9;B=AE,且A与E互斥,P(B)=P(A)+P(E)=5/9;D是B的对立事件,P(D)=1-P(B)=4/9,(2)由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理:kA=43=12 P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 P(E)=2/30=1/15 C是E的对立事件,P(C)=1-P(E)=14/15 B=AE,且A与E互斥 P(B)=P(A)+P(E)=7/
8、15 D是B的对立事件,P(D)=1-P(B)=8/15,例4:设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品,KN.现从N件中每次任意抽取1件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次.求:事件A=所取的n件产品中恰有k件次品的概率,k=0,1,2,n.,解:假定N件产品是有编号的,从中任意取出一件,每次都有N种取法.由乘法原理,n次共有Nn种取法,所以基本事件总数为Nn。当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑共有Cnk种情况。,这Cnk种情况确定以后,现在考虑次序,首先从K件次品中取出k件,共有Kk种取法.从N-K件正品中取n-k件,共有(
9、N-K)n-k种取法.由乘法原理,共有Cnk Kk(N-K)n-k种取法,A中基本事件个数为Cnk Kk(N-K)n-k.,在不放回抽样中,从N件产品种选取n件产品的抽取方法共有CNn(这里不考虑产品的选取次序);从K件次品中选取k件次品的选择方法有CKk;从N-K件正品中选取nk件正品的选择方法有CN-Kn-k;抽取n件产品共有k件次品的选择方法有 CKk CN-Kn-k;所以抽取n件产品共有k件次品的概率P(A)为:P(A)=CKk CN-Kn-k/CNn 这种分布称为超几何分布,上式为超几何分布概率公式。,二)概率的统计定义(频率估计法)1、频率:设A是一个事件.在相同的条件下,进行n
10、次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次.则称m为事件A在n次试验中发生的次数,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A).,2、频率的稳定性:在充分多次试验中,事件的频率总在一个定值附近摆动,而且,试验次数越多,一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.例如抛硬币、掷骰子等,考虑在相同条件下进行的S 轮试验.,事件A在各轮试验中频率形成一个数列,我们来说明频率稳定性的含义.,频率的稳定性指的是:当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时,在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微.即,,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.在实际中,当概率
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