结构抗震计算.ppt

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1、 4.1 计算原则,第4章 结构抗震计算,1.结构地震反应,地震对结构的影响称为结构的地震反应(如速度、加速度、位移和内力等)。结构在地震作用过程中的每一瞬间上，其动力反应是不同的，且结构的动力反应又是与自身的动力特性互相影响的。只有求解结构体系的运动微分方程才能了解每一瞬间时的结构动力反应。,2.地震作用,各类施加于结构上的荷载为直接作用；结构的地震反应是地震动通过结构惯性产生的，因此是一个间接作用,而不称为荷载。,地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。,计算步骤（1）计算结构地震作用；（2）计算结构、构件的地震作用效应；（3）

2、与其他荷载进行组合；（4）验算结构构件的强度、变形（小震不坏、中震可修、大震不倒）。,其中:(1)地震作用的计算:弹性反应谱理论；(2)结构的内力分析:线弹性理论；(3)结构构件截面抗震验算:各种静力设计规范方法和基本指标;(4)脆性结构（无筋砌体）：抗震构造措 施上加强；(5)延性结构（易倒塌结构）：薄弱层弹 塑性变形验算。,4.1.1 各类建筑结构的地震作用,各类建筑结构的地震作用，应按下列原则考虑：(1）一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用由该方向抗侧力构件承担。(2）有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于 15 时，应分别计

3、算各抗侧力构件方向的水平地震作用。(3）质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响；其他情况，允许采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响。(4)8 度和 9 度时的大跨度结构（如跨度大于 24m 的屋架等）、长悬臂结构（如 1.5m 以上的悬挑阳台等）,9 度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。,4.1.2 各类建筑结构的抗震计算,规范规定的以下三种方法：(1)高度40米的，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布均匀的结构，以及近似单质点体系的结构，宜采用底部剪力法；(2)除1外 振型分解反应谱法；(3)特别不规则建筑(平面、竖向不规则，见表4-1、表4-2)、甲类建筑和表

4、4-3所列高度范围的高层建筑时程分析法进行补充计算。类别选取不少于2条以上实际强震记 录曲线和1条人工模拟波。(4)罕遇地震下结构的变形，采用简化的弹塑性分析方法或弹塑性时程分析法；(5)采用隔震和消能减震设计的建筑结构，应采用第九、十章的方法进行计算。,平面不规则的类型 表4-1,扭转不规则与凹凸不规则,平面不规则的类型,楼板局部不连续,竖向不规则的类型 表4-2,侧向刚度不规则与竖向抗侧力构件不连续,楼层承载力突变,竖向抗侧力结构屈服抗剪强度不均匀（有薄弱层）,严重不规则是指体型复杂，多项不规则指标超过表中指标或某一项大大超过规定值，具有严重的抗震薄弱环节，将会导致地震破坏的严重后果者。,

5、注：以上规定主要针对钢筋混凝土和钢结构的多层和高层建筑。,4.1.3 地基与结构相互作用的影响,地基与结构的相互作用表现在两个方面：(1)结构对地基的反馈作用 放大了接近结构自振频率的分量，导致 削减；(2)地基变形改变结构的振动特性：周期增大，阻尼增大，位移增大，结构所受的地震作用下降。相互作用的影响范围（1）上部结构刚度较大，而地基刚度相对较小，非常显著；（2）上部结构刚度较小，而地基刚度相对较大，相互作用趋于消失,折减系数（1）H/B3的结构，各楼层地震剪力的折减系数 按刚性地基假定确定的结构基本自振周期 计入地基与结构动力相互作用的附加周期(2)H/B不小于3的结构，底部的地震剪力按（

6、1）款规定折减，顶部不折减，中间各层按线性插值；(3)折减后各楼层的水平地震力，应符合规范相关规定。,4.1.4结构楼层水平地震剪力的分配,(1)现浇和装配整体式钢筋砼楼、屋盖，按抗侧力构件等效刚度的比例分配。(2)木楼、屋盖等柔性建筑，宜按抗侧力构件从属面积上重力荷载代表值的比例分配。(3)普通的预制装配式钢筋混凝土半刚性楼、屋盖的建筑，可取上述两种分配法结果的平均值。(4)考虑空间作用、楼盖变形、墙体弹塑性变形和扭转的影响时，适当调整。,4.1.5 结构抗震验算的基本原则,1、6度时的建筑（建造于类场地上较高的高层建筑除外），以及生土房屋和木结构房屋等，允许不进行截面抗震验算，但应符合有关

7、的抗震措施要求；2、6度时建造于类场地上较高的高层建筑，7度和7度以上的建筑结构多遇地震作用下的截面抗震验算；,3、对于钢筋混凝土框架、框架抗震墙、框架核心筒、抗震墙、筒中筒、框支层结构和多、高层钢结构，除按规定进行多遇地震作用下的截面抗震验算外，尚应进行罕遇地震作用下的变形验算；4、结构在罕遇地震作用下薄弱层的弹塑性变形验算，符合下列要求：(1)规范规定了一些结构应进行弹塑性变形验算；(2)规范规定了一些结构宜进行弹塑性变形验算；(3)弹塑性变形计算可采用下列方法：,a)不超过12层且刚度无突变的钢筋砼框架结构、单层钢筋混凝土柱厂房可采用本章的简化计算方法；b)除第a)款外，可采用静力弹塑性

8、方法或弹塑性时程分析法等；c)规则结构可采用弯剪层模型或平面杆系模型，属于表41、42规定的不规则结构应采用空间结构模型。,4.2 地震作用,由地震引起的结构动态作用(竖向、水平)。地震作用的特点：与结构的动力特性密切相关结构体系的运动微分方程。,由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。底部剪力法振型分解反应谱时程分析法静力弹塑性方法,1.结构动力计算方法,2.结构抗震理论的发展,1）.静力理论阶段-静力法,1920年，日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。,地震作用,-地震系数,将F作为静荷载

9、，按静力计算方法计算结构的地震效应,2）.定函数理论,苏联扎夫里耶夫首先提出的，他认为地震地面运动可用余弦函数来描述，也即地面位移为,苏联的柯尔琴斯基提出地面运动可用若干个不同振幅、不同阻尼和不同频率的衰减正弦函数的和来表示，也即,3）.反应谱理论-反应谱法,1940年，美国皮奥特提出。,地震作用,按静力计算方法计算结构的地震效应,目前，世界上普遍采用的方法。,4）.直接动力分析理论-时程分析法,将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。,此外，有用随机振动理论来分析结构地震响应统计特征的，有以地震时输入结构的能量进行设

10、计，使结构所吸收的能量不致造成结构破坏的理论等。但这些方法还没有进入抗震设计规范，因此未被抗震设计使用。,5）.非线性静力分析方法（Push Over Analysis),正确反映结构的惯性作用才能准确计算结构的动力反应，结构的惯性是由结构的质量及其分布决定的，因此确定结构计算简图的关键是如何表述结构的质量及其分布。结构质量及其分布的描述有：1.分布质量描述；2.集中质量描述,3、结构计算简图,集中质量描述：按质量分布划分区域；以区域内质量中心为基准，将区域内全部质量集中于此，形成质点；单层厂房、水塔等绝大部分质量集中在屋盖处或储水柜处，可把结构中参与振动的质量按动能等效的原理全部集中在一个点

11、上，并用无质量的弹性杆支承在地面上，形成一个单质点体系。上述体系在单一水平向地震作用下，可按一个单自由度弹性体系来分析。,4.2.1 单质点弹性体系的地震反应,一.体系的运动方程,4.2.1 单质点弹性体系的地震反应,一.体系的运动方程,取质点为隔离体，由结构力学知道作用在质点上的力有：(1)弹性恢复力S(t)：使质点从任意位置回到平衡位置的力，大小为质点相对位移 与侧移刚度 的乘积，方向与位移方向相反,即：,(2)阻尼力R(t)：使体系振动不断衰减的力，大小为质点相对于地面的速度 与体系阻尼系数 的乘积，方向与 的方向相反，即：,(3)惯性力I(t)：其大小为质点的质量与其绝对加速度的乘积，

12、方向与绝对加速度的方向相反，即：,由质点的力系作用平衡，可导出体系的运动方程(4-5),整理后可导出体系在水平地震作用下的运动方程(4-7),式中：质点的质量；质点相对于地面的加速度；地面运动加速度；作用在体系上的扰力；体系的阻尼比，0.010.1(一般结 构)，规范取为0.05。,若令；(4-8),可简化为(4-9),无阻尼单自由度弹性体系的圆频率，单位为赫兹()结构的自振周期(振动一次所需要的时间)，单位为。,二.运动方程的求解,当体系无干扰力 时，体系的运动为有阻尼的自由振动，其运动方程为一个齐次微分方程：(4-12)当阻尼C0时，描述无阻尼单自由度弹性体系的自由振动方程为,(4-10)

13、,解：,（1）求结构体系的自振周期,单自由度弹性体系的地震反应分析就是常系数二阶非齐次对方程(4-9)求解。解答包含两个部分：a方程(4-9)相对应齐次方程的通解；代表体系的 有阻尼自由振动。b方程(4-9)的特解；代表体系在地震作用下的强 迫振动。,运动方程的解,(1)齐次方程的通解根据常系数微分方程理论，齐次方程(4-12)的解为(4-13),其中(4-14),无阻尼时体系的圆频率有阻尼时体系的圆频率,阻尼系数C与临界阻尼系数 的比值称为临界阻尼比，或称为阻尼比。,a当阻尼比 1时，0，则体系产生振动；,b当阻尼比 1时，0，则体系不振动，为 过阻尼,c当阻尼比 1时，0，则体系不振动。为

14、 临界阻尼,利用体系的初始条件(时，质点的位移为，质点的速度为)来确定待定参数、,，最后得出方程的解答：,(4-15),从上式看出，当质点的 或 不为零时，才产生自由振动，且振幅随时间不断衰减，阻尼比 愈大，振幅的衰减也愈快。由此可以绘出有阻尼单自由度体系作自由振动时的位移时程曲线，如图。,无阻尼自由振动：振幅始终不变有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。,结构的阻尼比 的值：最常用的试验方法有以下两种：(1)自由振动试验：(2)强迫振动试验(带宽法)：,（1）强迫振动试验（带宽法）,在结构顶部安装一台可调振动频率的起振机，使结构产生各种频率的水平向简谐

15、振动图4-5，用测振仪可以测得结构振幅-频率关系曲线。(振幅)最大值所对应的频率 为结构自振圆频率;振幅0.707 的两点所对应的圆频率为 和,（2）自由振动试验：,牵拉结构的顶点，使其产生一个侧移，然后突然释放，结构就产生水平向的自由振动，用测振仪可记录到结构顶点位移的衰减时程曲线。,(2)非齐次方程的特解Duhamel积分,原理：将激励看成是无穷多个连续作用的微分脉冲组成图4-6(a)，将这些脉冲作用后产生的自由振动叠加起来即可求得运动微分方程的解 图4-6(b)。,瞬时冲量及其引起的自由振动,（4-18）即为式(4-15)的初始条件，利用式(4-15)求得当 时作用一个微分脉冲后位移反应

16、,只要把这无穷多个微分脉冲作用后所产生的自由振动叠加起来即可求得方程(4-9)的特解,有阻尼单自由度弹性体系在地震作用下总的位移反应，用积分表达即为,(4-20),上式是非齐次线性微分方程(4-9)的特解(杜哈曼积分)，它与齐次方程的通解式(4-15)之和构成了运动微分方程(4-9)的通解,(4-21),地震发生前，体系的 和 均为零，即式中第一项为零。所以，常用式(4-21)来计算体系的位移反应。将式(4-21)对时间求导数，求得体系在水平地震作用下相对于地面的速度反应 为,+,(4-22),由此式（4-20）（4-22）（4-9）可求得单自由度弹性体系的绝对加速度为,(4-23),(三)地

17、震反应,因地面运动加速度时程 是复杂的曲线，只能把加速度时程曲线 划分为许多t的时段，用数值积分来计算体系的地震反应。令,(4-24),对式(4-24)作以下简化处理：(1)忽略上述式中的 和 项，阻尼比 值较小，一般结构 为0.05；(2)取，因为两者非常接近；(3)用 取代，这样处理，相位差/2。,这样，体系的最大绝对加速度、速度、位移间的近似关系为：,(4-24,25,26),4.2.2.单自由度弹性体系的水平地震作用,理论基础：将惯性力看作一种反应地震对结构体系影响得等效力 结构在地震持续过程中经受得最大地震作用为：,(4-28),4.2.3 重力荷载代表值的确定,抗震规范 规定，结构

18、的重力荷载代表值应取结构和构配件自重标准值 加上各可变荷载组合值，即,(4-32),重力荷载代表值例题之一,4.3 设计反应谱,4.3.1 地震反应谱,(3-25),(3-26),绘制反应谱的步骤：1给定地面输入；2单自由度体系设定；3设，；4设定T；5利用Duhamel积分求响应；对于不同的可产生一系列Sa-T曲线、或Sv-T曲线、Sd-T曲线。,可以看出：当选定了地面加速度时程曲线 和给定阻尼比 时（），、和 仅是体系自振周期(或圆频率)的函数。以 为横坐标，为纵坐标，可以绘制如右图a所示的谱曲线(拟加速度反应谱)。所谓“反应谱”是单自由度弹性体系在给定的地震作用下某个最大反应量(如、等)

19、与体系自振周期的关系曲线。,(4)结构自振周期 接近于场地的特征周期时，加速度反应谱随 快速上升；反之则快速下降；当 大于3.0s，加速度反应变化很小；(5)地震动持续时间仅影响结构地震反应的循环往复次数。,不同场地的平均加速度反应谱。其特点：,(1)阻尼比对反应谱的影响很大(降低反应的幅值)，使曲线变得平缓；,(2)地震动振幅越大，加速度反应谱值也越大，它们间呈线性关系；,(3)地震动频谱对加速度反应谱的形状有影响。影响振动频谱的各种因素对反应谱均有影响。如场地条件、震中距等；,不同的加速度时程曲线可得出不同的反应谱曲线。在结构设计时，无法预知建筑物会遭遇到怎样的地震。因此，仅用某一次地震加

20、速度时程曲线所得到的反应谱曲线 作为设计标准来计算地震作用是不恰当的，因此必须加以处理，使之能用简单表达式来描述它的变化。,4.3.2 设计反应谱,规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。,1动力系数：地震作用下结构的最大加速度较地面振动加速度的放大倍数，其影响因素有震中距、场地条件、结构动力特性等，为了简化计算，a.结构动力特性仅考虑自振周期的影响，取为0.05；b.按震中距、场地条件将实测的地面加速度时程曲线 进行分组，计算结构在各组地面加速度时程曲线下 的动力反应，再加

21、以简化；,质点的惯性作用为质量与加速度的乘积，因此有,(3-27),c.计算结构在各组地面加速度时程曲线下的最大动 力反应，并根据可靠度的方法绘制 曲线。,2地震系数：反映了地震振动强弱对体系地震作用大小的影响，根据统计分析，地震烈度增加1度，地震系数值增大1倍。,3地震影响系数：在相同的地震振动条件下，与 的形状完全一样，仅数值相差 倍；当结构的自振周期 时，结构为一刚体，其加速度将与地面加速度相等，即,因此 有,地震影响系数曲线的方程：,(3-28),衰减指数；直线下降段的下降斜率调整系数；阻尼调整系数；结构自振周期(s)；特征周期，对应于反应谱峰值区拐点处的周期,当结构的 时，应对曲线形

22、状参数进行修正：(4-34)(4-35),4.3.3 水平地震影响系数最大值的确定,已知水平地震影响系数 水平地震影响系数最大值与基本烈度的关系：与基本烈度的关系：,规范给出在不同设计地震分组和不同的场地类别条件下的场地特征周期 的数值；详见下表。,查表确定,查表确定,（3）计算结构水平地震作用,4.4 振型分解反应谱法,1 分析模型,实际工程中，只有少数结构可以简化为单质点体系，大量的结构(多层建筑、多跨不等高单层工业厂房)都应简化为多质点体系来分析。而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本方法。,质点的质量通常为 层楼面的活荷载加其上、下两半层的自重，集中于第 层的楼面处，形成一个多质点

23、体系。在单一方向水平地震作用下的一个 个质点的结构体系有 个自由度。,利用振型正交和振型分解原理，将求解多自由度体系的总地震反应分解为求解N个独立的单自由度弹性体系的最大地震反应及每一个振型下的作用效应(弯矩、剪力、轴向力和变形)，再按一定的规则将每个振型的作用效应组合成总的地震作用效应进行截面抗震验算。由于基本振型(或称为第一振型)在总的地震效应中的贡献为最大，高振型的贡献随着振型阶数的增高而迅速减小。因此，只需对前几个振型(一般是前35个振型)的地震作用效应进行组合。,2振型分解反应谱法的基本概念：,其基本思路：,(1)假定建筑结构是线弹性多自由度体系；(2)利用振型分解，变为求解n个独立

24、的等效单自由度弹性体系的最大地震反应，从而求得每一振型的作用效应；(3)按平方和方根法SRSS(Square root of sum square method）或完全二次型方法CQC（Complete quadric bination method)法则进行作用效应组合。振型分解法只需考虑前几阶振型，减小计算量。,对大多数质量和刚度分布比较均匀和对称的结构，不需要考虑水平地震作用下的扭转影响，可在建筑物的两个主轴方向分别考虑水平地震作用进行验算，各个方向的水平地震作用全部由该方向的抗侧力构件承担。所以，在单一方向水平地震作用下的一个 n 质点的结构体系只有 n 个自由度。,4.4.1 多自由

25、度弹性体系的运动方程,设 为地震时地面运动的水平位移，表示质点 相对于基础的位移;P(t)=0(体系上无外荷载)，这样作用在质点 上的力有,4.4.1 多自由度弹性体系的运动方程,(438),(439),(437),(440),式中、分别为作用于 质点上的惯性力、弹性恢复力和阻尼力；,对多质点体系中的每个质点均存在平衡 方程式：,质点 处产生单位侧移，而其他质点 保持 不时，在质点 引起的弹性反力；,质点 处产生单位速度，而其他质点 保持 不动时，在质点 处产生的阻尼力；,集中在 质点上的集中质量；,质点 在t时刻相对于基础的位移；,质点 在t时刻相对于基础的速度；,质点 在t时刻相对于基础的

26、加速度；,因此对于一 个质点的体系可写出由 个微分方程组成的微分方程组，其矩阵表达形式为,(442),式中 对角型的质量矩阵；刚度矩阵，为nn阶的对称方阵；阻尼矩阵，取为质量矩阵和刚度矩 阵的线性组合。即CMK,其中系数、分别为(447),方程(442)中：除质量矩阵是对角矩阵，不存在耦联外，刚度矩阵和阻尼矩阵都不是对角矩阵，存在着耦联现象，给求解微分方程组带来困难。需用振型正交性和振型分解原理来解耦，以简化方程组的求解。,用振型分解反应谱法计算多自由度弹性体系的地震作用时，需知道体系的各个自振周期及振型。将式(442)中的阻尼项和非齐次项略去，即得到无阻尼多质点弹性体系的自由振动方程，求解体

27、系的自由振动方程可得到体系的各个自振周期及振型。,2 多自由度弹性体系的自由振动,(449),无阻尼多质点弹性体系的自由振动方程为,设方程(449)的解为,(450),所以,式中 X 体系的振动幅值向量，即振型；初相角。,将式(450 451)代入式(449)，得,(452),(451),X为体系的振动幅值向量，其元素 不能全为零，否则体系就不能产生振动。因此，系数行列式|必须等于零，得,（453）,将其展开后得到以 为未知数的一元 次方程，这个方程的 个根(、)即为体系的 个自振频率。由 个 值可求得 个自振周期，其中自振频率 和自振周期 称为第一频率和第一周期(基本频率和基本周期),而其余

28、的顺次称为第2、3、自振频率(或自振周期)。将求得的 依次代入方程(453)，可求对应每一频率时各质点的相对振幅值，由相对振幅值绘制的各质点的侧移曲线为对应于该频率的主振型(振型)。第一振型称为基本振型，其他各振型统称为高振型。,多质点体系的自由振动方程也可用柔度矩阵表示。用柔度矩阵表示的多质点体系自由振动方程为：(455),它有非零解的充分必要条件也是系数行列式等于零，即,(456),式中 表示在 质点处作用一个单位力，在 质点处引起的位移。将上式展开则是以为未知数的一元 次方程，求解该方程并利用，可得出体系的 个自振频率。,利用振动频率 与振动周期 的关系，可求出体系的 个振动周期。,现在

29、讨论一个两质点体系，由刚度表示的自由振动方程为,(457),其系数行列式为零，展开后得到以 为未知数的一元二次方程,其两个根为：,(458),将 或 代回式(457)中,(459),解:,例.求图示体系的频率、振型.已知:,体系在每个自振频率下，各质点均按同一频率 和相位角 作简谐振动，且同时达到各自的最大幅值；在整个振动过程中，两质点的振幅比是一个常数，由此比值确定的振动形式是与频率相对应的振型。,多自由度体系作自由振动时，任意两不同的主振型间存在着正交性。,当作 振型振动时质点 因其振幅 引起的的惯性力为；作 振型振动时质点 因其振幅 引起的惯性力为。因此由 振型产生的各质点惯性力在 振型

30、的虚位移上所作的功为；而 振型产生的各质点惯性力在 振型的虚位移上作的功为；,3 振型的正交性,1）振型关于质量矩阵的正交性,根据功的互等定理，得,由于各质点在 下的 构成体系第 振型的振幅向量;上式可以改写成矩阵表达式：,(461),振型关于质量矩阵正交性的物理意义是：某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其他振型上作功，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其他振型的振动。,因,因振型关于质量矩阵正交，当 时，上式右边为零。所以有下式：,(468),2）振型关于刚度矩阵的正交性,振型关于刚度矩阵正交性的物理意义：体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于零，也

31、即体系按某一振型振动时，它的势能不会转移到其他振型上去。,由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正交的，即：,(472),3）振型关于阻尼矩阵的正交性,当 时，,4振型分解,个自由度的弹性体系具有 个振型；为体系按某一振型振动时各个质点的相对位置。以某三层框架为例，其三个振型如图，其中 为 振型下 质点的水平相对位移。其三个振型的振型向量如下：,(475),把n个振型集中起来形成振型矩阵A(nn阶的方阵)。,(474),根据振型叠加原理，体系每一质点在振动中的位移可分解为以振型为变量的线性组合：,(476),是以振型为广义坐

32、标体系的一坐标轴，是坐标 的分量。可视为 的函数。因此多质点体系的位移、速度和加速度列向量分别表示为：,(478),多质点弹性体系运动微分方程的矩阵表达式（442）可改为：,(481),5 计算水平地震作用的振型分解反应谱法,等式两端左乘 得,(482),因()，将上式展开后可得 个独立的二阶微分方程，引入广义质量、广义刚度和广义阻尼的符号；对于体系的第 j 振型，式（482）可写为,(484),令 得,(4-86),上式为一单自由度弹性体系的运动方程，它是以广义坐标 作为未知量；同时考虑与体系自振频率有关地震波的参与程度。经过上述处理，把多自由度体系运动微分方程组(4-42)化为一组由 个以

33、广义坐标 为未知量的独立方程，其中每个方程对应体系的一个振型。由单质点体系的振动可知，方程(4-86)的解为,(4-87),(488),为阻尼比、自振频率分别为 和 的单自由度体系以广义坐标 作为坐标的体系位移。,因此多自由度体系 质点相对于基础(直角坐标系)的位移和加速度为,(4-90),(489),3.4.3 运动方程的解续,质点任意时刻的水平地震作用,1质点 任意时刻的水平地震作用 由结构动力学得(4-92),t 时刻体系第 j 振型下 i 质点的水平地震作用 为,(4-93),第i质点t时刻的水平地震作用 就等于作用在i质点惯性力：,质点在 振型下的水平地震作用标准值 为(4-94)式

34、的最大值：,式中 振型的地震影响系数 振型下 质点的水平位移 振型的振型参与系数 质点的重力荷载代表值,(4-95),式中的 为阻尼 和自振频率 的单自由度弹性体系的最大绝对加速度反应,则,求得 振型 质点的水平地震作用后，可 计 算 振型的水平地震作用所产生的效应。,6 地震作用效应,层间剪切型结构的各楼层水平地震层间剪力：,(497),由上式求得的各振型下的层间剪力是各振型地震作用单 独作用下的最大效应值。这些最大值同时出现的可能性极小，应对各振型的作用效应进行组合。,抗震规范规定了两种组合方法：(1)完整二次项组合法(CQC法)(2)平方和开方法(SRSS法)。方法(1)主要用于平移-扭

35、转藕连体系；方法(2)主要用于平面振动的多质点弹性体系，方法(2)假定输入地震为平稳随机过程，各振型反应之间相互独立，再根据相互独立的随机过程求解出地震的总效应等于各振型的作用效应的平方和开方。,(498),式中:水平地震作用的效应；振型水平地震作用的效应。,7 楼层水平地震剪力最小值,地震动态作用中的地面运动速度和位移可能对长周期结构的破坏具有更大影响，抗震规范 规定结构任一楼层的水平地震剪力应符合下式要求,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,查表得,

36、第一振型,第二振型,第三振型,（3）计算各振型的振型参与系数,第一振型,第二振型,第三振型,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,第二振型,第三振型,（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第一振型,第二振型,第三振型,（6）计算地震作用效应（层间剪力）,4.4.2估计水平地震作用扭转影响的结构地震作用和作用效应,规则结构:由于施工、使用等原因所产生的偶然偏心有扭转现象；结构的刚度中心：即结构抗侧力构件恢复力合力的作用点。结构的质心：就是结构的重心。规范规定：规则结构不进行扭转耦联计算时，平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应增大系数：(短边)1.15(长边)1.05扭转K

37、小时乘数不小于1.3,平面复杂、不规则、质量刚度明显不均匀、不对称的多高层建筑大量出现。规范规定：对这类建筑应考虑水平地震作用下的扭转影响；过去采用“偏心矩法”，人为主观因素较多，物理概念不明确。规范：采用振型分解反应谱法计算平移-扭转耦联的多高层建筑的水平地震作用。,要解决以下三个问题：,（1）求解平移扭转耦联体系的自由振动；（2）计算各振型水平地震作用标准值的表 达式；（3）各振型地震作用效应的组合方法。,1 平移扭转耦联体系的自由振动,基本假定：楼板自身平面内绝对刚性，平面外刚度忽略不计；各榀抗侧力结构(框架或剪力墙)自身平面内刚度很大，平面外忽略；所有构件不考虑自身的抗扭作用；振动计算

38、时，将质量(包括柱、墙的质量)集中到各层楼板处。,集中在每一楼层的质量有三个自由度，两个正交水平移动和一个转角，坐标原点一般选在各楼层的质心处，如图4-19所示，坐标轴为一折线形轴，运动方程：,(4-100),其中：,(4-101),其中元素mi,分别为第 i 楼层的质量和第 i 层质量对本楼层质心的转动惯量。a、b 分别为 i 楼层的短边和长边；,K为广义侧移刚度阵：,上式表明两个平动之间无耦联；其中ny 为平行于轴框架的榀数为平行于x轴第s榀框架的刚度矩阵,(4-104),(4-105),(4-106),其中yis为第i层第s榀x方向框架的y向坐标,(4-107),其中xir为第i层第r榀

39、y方向框架的x向 坐标,(4-108),(4-109),其中D为广义位移，且：地面运动水平加速度时间历程函数 为地面运动加速度的时间历程；为地面运动方向与x轴的夹角。,先求解平动扭转耦联体系的自由振动，其方程为：结构体系的自由度为3n（n为结构的层数），常用雅可比法求解。,(4-112),2.结构体系考虑扭转影响的水平地震作用,仍按振型分解法：把体系广义位移、速度和加速度列向量 表示为：A为振型矩阵。,(4-113),将式(4-113)代入运动方程(4-112)，利用振型正交性，将方程(4-112)分解成为3n 个相互独立的二阶微分方程，其通式为：,（4-114）,经过与单向平移振动时相类似的

40、推导，可以得到考虑扭转地震效应时第j振型第i层的水平地震作用标准值计算公式：,(4-115),当仅考虑x方向地震时：当仅考虑y方向地震时：当仅考虑与x方向斜交的地震时:其中 分别为由式（4-116）和式（4-117）求得的参与系数,（4-117）,（4-116）,（4-118）,3 考虑扭转作用时的振型组合问题,采用用振型分解反应谱法，用式（4-115）计算各振型的水平地震作用，再计算每一振型水平地震作用产生的作用效应。各效应按一定的规则组合，以获得总的地震作用效应。考虑扭转影响时体系振动的特点：自由度增加，频率分布密集，振型耦联严重，考虑振型之间的相关性；扭转分量的影响不一定随高振型而衰减，

41、增加振型的数可取9 15个。,用振型分解反应谱法计算考虑扭转影响的水平地震作用和进行各振型作用效应组合时，应考虑频率相近的振型间的相关性，增加参入效应组合的振型数。应按下列公式确定：单向水平地震作用的扭转效应,（4-120）,（4-119）,关于 当j=k时，完全自相关。增加，减小，说明低振型与高振型之间相关性很小。与此同时，双向水平地震作用时扭转效应，取下两式的较大值。,分别为x、y单向水平地震作用按式(4-119)计算的扭转效应。,（4-121）（4-122）,用振型分解反应谱法计算结构的水平地震作用是较复杂的，特别是层数较多的建筑物更是如此。分析研究表明：当建筑物高度不超过40m，以剪切

42、变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀，结构振动位移以第一振型为主，且接近于直线时，规范建议可采用底部剪力法。,4.5 底部剪力法,4.5.1 底部剪力的计算,由振型分解反应谱法可写出 振型结构总水平地震作用标准值，即 振型下结构的底部剪力为：,(4-123),式中 结构的总重力荷载代表值，,因此结构总水平地震作用(结构的底部剪力)为：,(4-124),式中 为高振型影响系数。统计分析表明，当结构体系各质点重量相等且沿高度方向均匀分布时:,对单质点体系，1，对无限质点体系，0.75，对一般体系,0.85。因此,(4-125),式中：,结构总水平地震作用标准值，即结构底部 剪力的标准值；相应于结

43、构基本自振周期的水平地震影响 系数；结构等效总重力荷载代表值，可取总重力 荷载代表值的85。,当振动以基本振型为主且近似于直线，各质点上的水平地震作用 为：,(4-126),式中：水平相对位移曲线倾角的正切值；质点 的计算高度。,4.5.2.各质点的水平地震作用标准值的计算,总水平地震作用：,(3-69),由此：,(4-127),(4-128),所以：,(4-129),水平地震层间剪力：,(3-71),因高振型对结构反应的影响主要在结构上部，特别是基本周期较长的建筑物，用底部剪力法得到的上部质点的水平地震作用常小于按振型分解反应谱法得到的结果。所以，对基本自振周期大于1.4 的建筑物，应对建筑

44、物顶部的水平地震作用加以修正(增加附加水平地震作用),4.5.3.顶部附加地震作用及鞭梢效应,(4-131),(4-132),所以：,式中：顶部附加地震作用系数，多层框架见表3-9；内框架可采用0.2；、集中于质点k上的重力荷载代表值和质点k的计算高度；顶部附加水平地震作用。,当考虑顶部附加水平地震作用后，顶部的地震作用为 与 两项之和。如房屋顶部有局部突出小屋时，抗震规范规定，局部突出屋顶处的地震作用效应按计算结果放大至3倍考虑，但增大的2倍不往下传递(计算以下各层地震剪力时不考虑)。对结构基本自振周期 1.4 的建筑并有突出小屋时，顶部附加水平地震作用应置于主体房屋的顶部。,（1）计算结构

45、等效总重力荷载代表值（2）计算水平地震影响系数（3）计算结构总的水平地震作用标准值（4）顶部附加水平地震作用（5）计算各层的水平地震作用标准值（6）计算各层的层间剪力,底部剪力法例题之一,解：,（1）计算结构等效总重力荷载代表值,（2）计算水平地震影响系数,（3）计算结构总的水平地震作用标准值,（4）顶部附加水平地震作用,（5）计算各层的水平地震作用标准值,（6）计算各层的层间剪力,底部剪力法算例之二,突出屋面房屋的考虑,底部剪力法算例之三,高层建筑的增大系数,4.6 时程分析法,时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各质点随时间变化的位移、

46、速度和加速度动力反应，并进而可计算出构件内力和变形的时程变化。由于此法是对运动方程直接求解，又称直接动力分析法。,反应谱法存在以下缺陷：(1）直接用规范反应谱不能很好地符合不同工程所在的实际地震地质环境、场地条件及地基土特性，因而求出的地震作用可能偏差较大。(2）地震作用是一个时间过程，反应谱法不能反映结构在地震过程中随时间变化的过程，有时不能找出结构真正的薄弱部位。(3）实际地震作用是多向同时发生，现行反应谱法不能很好地反映多向地震作用下结构受力的实际情况。(4）抗震结构设计的最终目标是要防止结构在大震作用下发生倒塌，现行反应谱方法尚不能提供相应的验算方法。,时程分析法：直接对结构的运动微分

47、方程进行积分，当确定了地震时的地面运动加速度曲线时，可以求得地震过程中每一时刻的结构地震反应。时程分析法可以跟踪结构在地震时的整个反应过程，并能适用于结构的弹塑性地震反应分析。,方法的基本思路：将地震作用的整个过程划分为很多个小的微时段，对每一时段中结构的特性(如结构是处于弹性、弹塑性或塑性阶段)可以通过前面时段的结果来确定，并对结构在这一时段中的反应规律作数值上的假设，从而使计算简化，并求出该时段末时的结构反应，作为下一时段结构反应计算的基础。较常用的时程分析法有：线性加速度法、威尔逊(Wilson)法和纽马克(Newmark)法。,4.7 结构竖向地震作用,高烈度地区的竖向地震地面运动相当

48、可观。分析表明：竖向地震内力 与重力荷载内力 的比值 沿高度由下往上逐渐增大；烈度为8度地区的烟囱上部，5090；而处于9度地区的烟囱上部，可达到或超过1(结构的上部产生拉应力)；高层建筑上部，50110。,抗震规范规定：,烈度为 8、9度地区的大跨度、长悬臂和高耸结构，9度地区的高层建筑，应考虑竖向地震作用。,各国抗震规范对竖向地震作用的计算方法可分为以下三种：1)静力法，取结构或构件重量的一定百分数作为竖向地震作用，并考虑上、下两个方向；2)按反应谱方法计算竖向地震作用；3)规定结构或构件所受的竖向地震作用为水平地震作用的某一个百分数。,1 高层建筑与高耸结构,1)竖向地震影响系数的取值

49、大量地震地面运动记录资料的分析研究结果表明：1)竖向、水平最大地面加速度之比 2)竖向地震和水平地震的平均反应谱的形状相差不大。,竖向地震影响系数与周期的关系曲线可以沿用水平向地震影响系数曲线；其竖向地震影响系数最大值 为水平地震影响系数最大值 的65。按反应谱法计算这类结构的竖向地震作用，并可作进一步的简化。,因此，抗震规范规定：,2竖向地震作用标准值的计算 在高耸结构的地震反应中，第一振型起主要作用(振型接近于直线)。结构竖向振动的基本自振周期均在0.l0.2s范围内，即处在地震影响系数最大值的范围内。为此可得到结构总竖向地震作用标准值 和质点 的竖向地震作用标准值：,(4-196),(4

50、-197),结构总竖向地震作用标准值；质点i的竖向地震作用标准值；竖向地震影响系数的最大值;等效总重力荷载代表值，取其重力荷载代表值 的75。,3)楼层的竖向地震作用效应可按各构件承受的重力荷载代表值的比例分配。,式中,1)计算竖向地震所产生的结构底部轴向力；2)将结构总竖向地震作用标准值 按倒三角形分布分配到各楼层；3)计算各楼层由竖向地震作用产生的轴向力，轴向力；4)将竖向地震作用产生的轴向力 按该层各竖向构件承受的重力荷载的比例进行分配，并乘以1.5的增大系数。,4)竖向地震作用的计算步骤,用反应谱法和时程分析法对不同的平板型网架和跨度大于24m的屋架进行分析，若令,第i杆件的竖向地震作