经济数学第5讲函数极限概念.ppt

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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五讲 函数极限的概念和性质,函数的极限与连续性,第一节 函数的极限与性质,三.极限定义及定理小结,四.函数极限的基本性质,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.,的图形可以看出:,如何描述它？,有问题没有？,好像没有问题.,定义,想想：如何从几何的角度来表示该定义？,将图形对称过去后,你有什么想法?,将图形对称,定义,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?,现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?,定义,由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,

2、又包含了 x 的情形.,既包含了 x+,定理,及极限的三个定义即可证明该定理.,由绝对值关系式:,证,成立.由极限的定义可知:,解,无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有,下面证明我们的猜想:,证明过程怎么写？,这里想得通吗？,由图容易看出：,分析,需要证明之处,请同学们 自己先证一下.,证,证,证,f(x)在点 x0=0 处有定义.,函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.,(,(,定义,注意,为什麽要考虑空心邻域？,考虑空心邻域，是什麽意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。,反例,证,这是证明吗？,非常非常严格！,证,

3、证,这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.,(),0,x,2,1,1 1,1+1,分析,结论,证,证毕,观察知,证,证毕,在极限定义中：,1)与 和 x0 有关,即=(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.,2)不等式|f(x)a|0,同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.,3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.,y=a,y=a,y=a,x,O,y,x0,x0,x0+,曲线只能从该矩形的左右两边穿过,考虑两个问题.,y=a,y=a,y=a,x,O,y,x0,x0+

4、,函数在 x0 的左边可以无定义,想想这种情形下,函数有极限吗?,如何描述这种情形？,想想这种情形下,函数有极限吗?,y=a,y=a,y=a,x,O,y,x0,x0,函数在 x0 的右边可无定义,如何描述这种情形？,3.函数的左、右极限,定义,定义,(1)左、右极限均存在,且相等；,(2)左、右极限均存在,但不相等；,(3)左、右极限中至少有一个不存在.,找找例题！,函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：,y=f(x),x,O,y,1,1,在 x=1 处的左、右极限.,解,对此有什么想法没有？,“左右重合”,定理,利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.,解,解,三

5、、极限定义及定理小结,极限定义一览表,函数极限几何意义,(),(),在以后的叙述中,如果函数 f(x)极限的某种,性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使,表示对任意一种极限过程的函数,用符号,四、函数极限的基本性质,极限.,2.有界性定理,若 lim f(x)存在,则函数 f(x)在该极限过程中必有界.,1.唯一性定理,若 lim f(x)存在,则极限值必唯一.,3.保号性定理,极限的性质的证明,性质1:（唯一性）,函数极限如果存在，则一定是唯一的.,性质2:（有界性）,函数极限如果存在，则函数一定有界(局部).,性质3:（保号性）,注意:f(x)0推不出极限A0.,性质4:（函数极限与数

6、列极限的关系）,证明 必要性,根据假设,性质5,该定理也称为第一保号性定理,极限值正负与函数值正负关系的推论,作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的结论即可得证.,该定理也称为第二保号性定理,第二保号性定理成立.,运用反证法,设 f(x)0(f(x)0)时,有 a 0),则由第一保号性定理将推出,f(x)0)的矛盾,该矛盾就证明了,注意:,当 f(x)0(f(x)0)时,按照第二保号性定理也只能得到,a 0(a 0)结论.,函数值正负与极限值正负关系的推论,若极限 lim f(x)=a,lim g(x)=b 存在,即 lim f(x)lim g(x).,且在该极限过程中 f(x)g(x),则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.,令 F(x)=f(x)g(x)0,即可进行证明.,