简谐振动平面简谐波.ppt

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1、简谐振动 平面简谐波,第二篇,振动 波动与光学,波动光学,机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化。,广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动物理量。,第四章 振 动,因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此，机械振动的研究也为光学、电学、交流电工学、无线电技术等打下了一定的基础。,学习机械振动的意义,任何一种复杂的机械振动都可以看成多个简谐振动的叠加。,简谐振动方程,4.1 简谐振动及其描述,物体位移随时间

2、按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。,（4.1）,T,0,0,0,0,a 0,0,0,0,减速,加速,减速,加速,2.加速度,1.速度,速度、加速度均是作谐振动的物理量。频率相同，均为,v比x领先/2，,a 与x相差,（4.2）,（4.3）,简谐振动的特征量,圆频率,初位相,周期T,简谐振动的特征参量.,振幅,频率v,特点,(1)等幅振动,(2)周期振动 x(t)=x(t+T),（4.4）,（4.1）,4.1.3 简谐振动的描述方法,由 x=Acos(t+),已知表达式 A、T、已知A、T、表达式,2 振动曲线法,1 解析法,已知 A、T、曲线已知曲线 A、T、,A,-A,=/

3、2,T,3 旋转矢量法,x对应矢量 端点的投影,因此，可用一个旋转矢量来描述简谐振动。,它以角速度，从初始角 出发绕原点匀速旋转。是模为 A，与X轴夹角为 的矢量。,v0,矢量 在三，四象限，v0,矢量 在一，二象限。,x0,矢量 在一，四象限，x0,矢量 在二，三象限；,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,1）直观地表达振动状态,用图代替了文字的叙述,相位差,对两同频率的谐振动,初相差,同相和反相,当=2k,两振动步调相同,称同相；,(k=0,1,2,),当=(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反,称反

4、相。,2）方便地比较振动步调,（4.5）,A1,-A1,A2,-A2,x1,x2,T,同相,x2,T,A1,-A1,A2,-A2,x1,反相,超前和落后,则 x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。,领先、落后以 的相位角来判断,0,3）方便计算.用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算,例1:已知振动曲线,求此简谐振动的表达式,x(cm),解:设简谐振动的表达式为,由初始条件t=0时，x0=-1可求初相,由于,t=2时，x=-2,于负最大位移处,t=2,若将振动曲线纵坐标改成速度v,求此简谐振动的表达式,v(cm/s),解:设简谐振动的表达式为,由于,由初始条件t=0时，v

5、0=-1,t=2时，v0=-2=-vm,于平衡位置处,t=2,4.2 简谐振动的动力学方程,1.作简谐运动的加速度对于平衡位置的位移的关系,根据牛顿第二定律,恢复力.,例 弹簧振子,（4.6）,（4.10）,（4.9）,（4.8）,（4.9）,2.简谐振动特征参量的确定,由系统本身的结构确定。,由初始条件确定。,例4.2 已知弹簧的倔强系数，物体的质量为。在初始时刻将物体从平衡位置向下拉 0.05m，给予向下的速度。写出此微小振动的表达式。,解：设静止时弹簧的伸长量为b，物体所受重力与弹性力平衡,（4.12）,x,取平衡位置为坐标原点，向下为正，则在任一位置，合外力,F=mg-k(b+x),其

6、中b为平衡时弹簧的伸长量，b=mg/k,x是对于平衡位置的位移.,F=-kx,o,b,简谐振动表达式为,例4.3,c,复摆,试问：,（2）单摆绕悬点转动的角速度是否为简谐振动的圆频率？,初始时刻选择不同，初相值就不同；另外，单摆作简谐振动是角位移。,单摆绕悬点转动的角速度等于,而简谐振动的圆频率,可见，单摆绕悬点转动的角速度是不是简谐振动的圆频率。,。,4.3 简谐振动的能量,以弹簧振子为例,x,t,T,E,Ep,o,(1/2)kA2,Ek,（4.13）,（4.14）,（4.15）,这些结论同样适用于任何简谐振动。,*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强

7、度。,*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.,*弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半.,结论：,例44 如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下端已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量I，半径R将物体m用手托起,再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动。,解；以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，,，定滑轮角速度为,当物体下落x时，弹簧拉长为（x0+x），物体运动速度为,取弹簧原长处为弹性势能零点，物体平衡位置为重力势能零点，则系统的总能量为

8、,由于机械能守恒，所以总能量E是常量，上式对时间求导，得,由于,v 0，利用平衡量位置处,化简上式得,可知：物体做简谐振动且振动圆频率为,取弹簧原长处为弹性势能零点，物体平衡位置为重力势能零点，则系统的总能量为,另解：静平衡时,滑轮,联立以上各式可得,物体(x 处),例 如图所示，根据给定的条件（1）写出谐振子的振动方程（2）求出x=A/2处系统的动能和势能,解,碰后一起运动的速度为v0,设,0,任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？,变大,变小,参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹

9、簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。,若振子的质量为M，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为k，可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为,解：平衡时0 点为坐标原点。物体运动到x 处时，速度为v.,设此时弹簧的长度为L,速度为：,弹簧、物体的动能分别为：,前提:弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律,弹簧元dl的质量,位移为,x,例：劲度系数为k、质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。(m M),系统弹性势能为,系统机械能守恒，有,常数,常数,将上式对时间求导，整理后可得,因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运动时，

10、弹簧振子的运动可视为是简谐运动。,4.4 简谐振动的合成,4.4.1 同一直线上 同频率简谐振动的合成,合振动仍然是同频率的简谐振动,（4.18）,（4.16）,（4.17）,两种特殊情况,(1)若两分振动同相，2 1=2k(k=0,1,2,),(2)若两分振动反相，2 1=(2k+1)(k=0,1,2,),如 A1=A2,则 A=0,则A=A1+A2,两分振动合成的结果是振动加强,则A=|A1-A2|,两分振动合成的结果是振动减弱,一般情况：,两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义,求它们的合振动的振幅和位相。,解:作出t=0的旋转矢量图.,t=

11、0,x,o,A1,A,例.两个同方向同频率简谐振动,其合振动的振幅为20cm,与第一个简谐振动的位相差为-1=/6.若第一个简谐振动的振幅为 17.3cm,则第二个简谐振动的振幅为 cm,第一.二两个简谐动的位相差1-2 为。,10,-/2,解:由余弦定理可得,或由正弦定理可得,满足,合振动仍然是同频率的简谐振动,多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的意义,4.4.2 多个同方向同频率简谐振动的合成,合振幅,初位相,其中,式中,表示分振动个数。,旋转矢量合成的图解法,（4.19）,（4.20）,例：三个同频率 同振幅A0 同方向的简谐振动，相邻相位差为/3,解：画旋矢图,/3,由图

12、很容易得到 A=2A0,求：合振动方程。,.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍,两个简谐振动的频率1和2很接近，且,两个简谐振动合成得：,合振动可视为角频率为,随时间变化很慢可看作合振动的振幅,随时间变化较快可看作作谐振动的部分,振幅为,的简谐振动。,由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以 为周期，因而振幅变化的周期 可由,振幅变化的频率即拍频,同一直线上，不同频率简谐振动合成 拍旋转矢量几何法分析,重合：,反向：,拍频:单位时间内强弱变化的次数=|2-1|,5,6,1,单位时间内A2比A1多转2-1圈，也就是合振动时加强时减弱（频率为2-1）的拍现象。,两个互相垂直的同频率的简谐振动的合

13、成,4.4.4 相互垂直的简谐振动的合成,(1)2-1=0,两个分振动同相位，得,(2)2-1=p,两个分运动反相位，得,几种特殊情况：,（4.22）,合运动一般是在2A1(x 向)、2A2(y 向)范围内的一个椭圆。,(3)2-1=p/2，得,(4)2-1=3p/2，仍然得,这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。,与(3)相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。,质点沿顺时针方向运动；,质点沿逆时针方向运动。,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。,方向垂直的不同频率的简谐振动的

14、合成,两分振动频率相差很小,可看作两频率相等而D随t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化.,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,条件:位相差恒定，频率成简单整数比。,合成结果：李萨如图形。,4.5.1 阻尼振动,4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,令：,方程的解:,称 为振动系统的固有圆频率，称 为阻尼系数,(1)欠阻尼,（4.23）,（4.24）,（4.25）,（4.26）,欠阻尼,过阻尼,（3）如果 方程的解：,临界阻尼,临界阻尼,方程的解

15、:,(1)欠阻尼,（4.26）,临界阻尼:生产和技术中可根据需要,用不同办法改变阻尼大小以控制系统的振动情况,灵敏电流计内:表头中的指针和通电线圈相连,它在磁场中运动,受到电磁阻尼的作用;若电磁阻尼过小或过大,会使指针摆动不停或到达平衡点时间过长,而不利于测量读数,所以必须调整电路的电阻,使电表工作在临界阻尼状态.,类似情况在使用精密天平时也会遇到;一般加有阻尼气垫,以防止长时间摆动,因而节约时间,便于快速读数,机器装有避震器,大都采用一系列阻尼装置,目的是使频繁撞击变为缓慢振动,并迅速衰减,从而达到保护机件目的,应用：电表阻尼、天平阻尼,（1）谐振子的受迫振动,（二）受迫振动 共振,设强迫力

16、,其解为：,稳态解：,（4.28）,（4.29）,（4.30）,（4.31）,求振幅 对频率的极值，,位移共振的圆频率。,振幅极大值：,（2）共振,（4.32）,（4.35）,（4.36）,受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。,根据,共振,在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。,共振现象,1.乐器的木质琴身利用共振现象使其成为一共鸣盒,将乐音发送出去,以提高音响效果,2.收音机的调台(电磁共振)调节天线长度和方位,让接收频率等于外来信号频率,3.核磁共振,核磁共振(MRI)又叫核磁共振成像技术。是继CT后医学影像学的又一重大进步。自80年代应用以来，它以极快的速

17、度得到发展。其基本原理：是将人体置于特殊的磁场中，用无线电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振，并吸收能量,(核磁共振成像的“核”指的是氢原子核，因为人体的约70%是由水组成的，MRI即依赖水中氢原子。)在停止射频脉冲后，氢原子核按特定频率发出射电信号，并将吸收的能量释放出来(取决于原子核密度、周围环境等)，被体外的接受器收录，经电子计算机处理获得图像，这就叫做核磁共振成像。,从核磁发现到MRI技术的70年时间里有关核磁共振的研究领域曾在三个领域（物理、化学、生理学或医学）内获得了6次诺贝尔奖，足以说明此领域及其衍生技术的重要性。,共振不利的一面:共振时因系统振幅过大会造成设备损坏,1.汽车发动机运转的频率若接近车身的固有频率,车身产生共振而可能损坏,2.部队过桥齐步走,消除有害的共振现象,1.破坏外力周期性,2.改变物体频率或周期性外力频率,3.增大系统阻尼,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁,谐振分析,利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干简谐 振动的叠加(合成的逆运算）,对周期性振动：,T 周期,k=1 基频（）,k=2 二次谐频（2）,k=3 三次谐频（3）,决定音调,决定音色,高次谐频,x2n=0,n=1,2,3,方波：,