简单回归模型.ppt
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1、第二章 简单回归模型,回归的历史含义F.加尔顿最先使用“回归(regression)”。父母高,子女也高;父母矮,子女也矮。给定父母的身高,子女平均身高趋向于“回归”到全体人口的平均身高。,简单回归模型的定义,回归的现代释义,回归分析用于研究一个变量关于另一个(些)变量的具体依赖关系的计算方法和理论。关注对象:(1)用x来解释y(2)研究y如何随x而变化,商品需求函数:,警察和犯罪率:,除x外其他影响y的因素如何处理?y和x函数关系如何设定?,简单回归的几个问题:,y=0+1 x+u,扰动项u的引入。x和y的非线性关系怎么办?生产函数:,两个例子,yield=0+1 fertilizer+u,
2、wage=0+1 educ+u,其他因素不变,u=0,则:1=yield/fertilizer 1=wage/educ 变化解释变量fertilizer或educ时,能假定其他因 素不变吗?,解释变量x和扰动项u关于均值独立:均值独立比“不相关”更强相关关系度量的是变量间的线性关系。若x表示受教育水平,u是个人能力,假定可能成立吗?,关于u的假定,E(u|x)=E(u),对于模型:如方程包含常数项,可以假定:若E(u)=a0,可将模型调整为:零条件均值假定:,y=0+1 x+u,E(u)=0,y=0+a+1 x+u1,E(u|x)=0,总体回归函数(PRF),E(y|x)=0+1 x,PRF是
3、确定的,未知的,总体回归函数(传统思路),假想案例,总体回归函数的随机设定,随机误差项的意义,假设一个国家只有60户居民,他们的可支配收入和消费支出数据如下(单位:美元):,假想案例,描出散点图发现:随着收入的增加,消费“平均地说”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,E(Y|Xi)=0+1Xi=17.00+0.6Xi,“天行有常,不为尧存,不为桀亡。应之以治则吉,应之以乱则凶。”-荀子天论,E(Y|Xi)=0+1Xi,总体回归函数,其中:Y被解释变量;,X解释变量;,0,1回归系数(待定系数或待估参数),总体回归模型的随机设定,对于某一个家庭,如何描述可
4、支配收入和消费支出的关系?,某个家庭的消费支出分为两部分:一是E(Y|Xi)=0+1 Xi,称为系统成分或确定性成分;二是ui,称为非系统或随机性成分。,Yi=E(Y|Xi)+ui=0+1 Xi+ui,Yi=0+1 Xi+ui,E(Y|Xi)=0+1 Xi,随机性总体回归函数,确定性总体回归函数,随机误差项u的意义,反映被忽略掉的因素对被解释变量的影响。或者理论不够完善,或者数据缺失;或者影 响轻微。模型设定误差度量误差 人类行为内在的随机性,普通最小二乘法,对于一元回归模型:两个条件:两个未知数:所有的yi和xi都是已知数据。,E(u)=0,E(u|x)=0E(xu)=0,yi=0+1 xi
5、+ui,0 和 1,方程组:用样本矩代替总体矩:,E(y-0-1 x)=E(u)=0Ex(y-0-1 x)=E(xu)=0,当满足条件:OLS估计量:,实际上就是y和x的样本协方差与x的样本方 差之比。,拟合值:给定截距和斜率估计值,y在x=xi时的预测值 该函数为样本回归函数(SRF)残差:,普通最小二乘法(传统思路),如何得到一条能够较好地反映这些点变化规律 的直线呢?,Q=,=,通过Q最小确定这条直线,即确定,以 为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。,残差的平方和最小,求Q对 两个待估参数 的偏导数:,即,样本回归函数,为研究总体,我们需要抽取一定
6、的样本。,第一个样本,样本回归线,样本均值连线,样本回归函数,第二个样本,样本回归线,样本均值连线,总体回归模型和样本回归模型的比较,几个例子,首席执行官的薪水和股本回报率?,工资和受教育程度投票结果与竞选支出:,Xi,yi,y1,y2,y3,u1,u2,u3,E(y|xi)=0+1 xi,注意:分清几个关系式和表示符号,(2)样本(估计的)回归直线:,(3)总体(真实的)回归模型:,(4)样本(估计的)回归模型:,(1)总体(真实的)回归直线:,ui随机误差项 残差项,OLS操作技巧,(1)残差和及样本均值都等于零,OLS估计量代数性质,=,=,(2)回归元和残差的样本协方差为零,(3)总在
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