离散数学-二元关系和函数.ppt
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1、1,4.6 函数的定义与性质,函数的定义函数定义从A到B的函数函数的像函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数应用实例:问题描述,2,函数定义,定义 设 F 为二元关系,若 xdomF 都存在唯一的yranF 使 xFy 成立,则称 F 为函数.对于函数F,如果有 xFy,则记作 y=F(x),并称 y 为 F 在 x 的值.,例1 F1=,F2=,F1是函数,F2不是函数,3,函数相等,定义 设F,G为函数,则 F=G FGGF 如果两个函数 F 和 G 相等,一定满足下面两个条件:(1)domF=domG(2)xdomF=domG 都有 F(x)=G(x)实例 函数 F(x)=(x2
2、1)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为 domFdomG.,4,从 A 到 B 的函数,定义 设A,B为集合,如果 f 为函数 domf=A ranf B,则称 f 为从A到B的函数,记作 f:AB.实例 f:NN,f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g:NN,g(x)=2也是从 N 到 N 的函数,5,B上A,定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,读作“B上A”,符号化表示为 BA=f|f:AB 计数:|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=,则 BA=B=.A且B=,则 BA=A=.,6,实例,例2 设 A=1,2,3,B=a,b,求BA.解 BA=
3、f0,f1,f7,其中 f0=,f1=,f2=,,f3=,f4=,,f5=,f6=,f7=,7,函数的像,定义 设函数 f:AB,A1A.A1 在 f 下的像:f(A1)=f(x)|xA1 函数的像 f(A)注意:函数值 f(x)B,而像 f(A1)B.,例3 设 f:NN,且 令A=0,1,B=2,那么有 f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2,8,函数的性质,定义 设 f:AB,(1)若ranf=B,则称 f:AB是满射的.(2)若 yranf 都存在唯一的 xA使得 f(x)=y,则称 f:AB是单射的.(3)若 f:AB既是满射又是单射的,则称 f:AB是双射的f 满射意味
4、着:y B,都存在 xA 使得 f(x)=y.f 单射意味着:f(x1)=f(x2)x1=x2,9,实例,例4 判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f:RR,f(x)=x2+2x1(2)f:Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f:RZ,f(x)=x(4)f:RR,f(x)=2x+1(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.,10,解(1)f:RR,f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f:Z+R,f(x)=lnx 单调上升,是单射.但不满射,ranf=ln1,ln2,.(3)f:RZ,f(x)=x 满射,但不单
5、射,例如 f(1.5)=f(1.2)=1.(4)f:RR,f(x)=2x+1 满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.,实例(续),11,构造从A到B的双射函数,有穷集之间的构造例5 A=P(1,2,3),B=0,11,2,3解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0,f1,f7,其中 f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,.,令 f:AB,f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)=f3,f(1,2)=f4,f(1,3)=f5,
6、f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f7,12,实数区间之间构造双射构造方法:直线方程例6 A=0,1 B=1/4,1/2构造双射 f:AB,构造从A到B的双射函数(续),解 令 f:0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,13,构造从A到B的双射函数(续),A 与自然数集合之间构造双射方法:将A中元素排成有序图形,然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应例7 A=Z,B=N,构造双射 f:AB将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应:Z:011 2233 N:0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是:,14,常函数、恒等函数、单调函数,1.设f:AB,若存在 cB 使
7、得 xA 都有 f(x)=c,则称 f:AB是常函数.2.称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数,对所有 的 xA 都有 IA(x)=x.3.设 f:RR,如果对任意的 x1,x2R,x1x2,就 有 f(x1)f(x2),则称 f 为单调递增的;如果对任意 的 x1,x2A,x1 x2,就有 f(x1)f(x2),则称 f 为 严 格单调递增 的.类似可以定义单调递减 和严格单调递减 的函数.,15,集合的特征函数,设 A 为集合,A A,A 的 特征函数 A:A0,1 定义为,实例 集合:X=A,B,C,D,E,F,G,H,子集:T=A,C,F,G,H T 的特征函数T:x A B
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