矩阵论Jordan标准形介绍.ppt

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1、第2章：Jordan标准形介绍,Jordan Canonical Form,第2章：Jordan标准形介绍,问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基1，2，n和矩阵J，使 T:1，2，n J矩阵J 尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选J 为对角形 线性变换的对角化问题。建立J 一般的结构 Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题 Jordan化方法重点：,2.1 线性变换的对角表示,背景：求基 i，使得 T(1 2 n)=(1 2 n),一、变换T的特征值与特征向量定义(p35 定义2.1)(eigenvalue and eigenvector

2、)求解分析：(p35 定理2.1),(12 n)线性无关L i是不变子空间；Ti=ii,A的特征值就是T的特征值 A的特征向量是T的特征向量的坐标,例题1(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征子空间：V=|T=特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间i j，则ViVi=0 若i是ki重特征值，则1dimViki 推论：若i是单特征值，则dimVi=1V1+V2+=Vs=V1V2Vs V1V2Vs Vn（F）,二、线性变换矩阵对角化的充要条件,T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=n dimVi=ki,定理2.4(p39),T可以对角化T的变换矩阵A可以对

3、角化。,例题2 已知1，2，3 是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1 T（2）=2 2 T（3）=1+t 2+2 3,讨论：t为何值，T有对角矩阵表示,例题3设，求R3上正交变换P(x)=x-(x，u)u 的特征值和特征向量,2.2 Jordan 矩阵介绍,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。一、Jordan 矩阵Jordan 块(p40，定义2.3)形式：确定因素：Jordan 块矩阵的例子：,值矩阵的阶数,例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？,形式：Jordan矩阵举例特点,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jorda

4、n 矩阵,2 Jordan 矩阵,3 Jordan 标准形定理2.5(p41)含义：,Jordan 矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan 子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,二、方阵A的Jordan 标准形的求法,目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。求法与步骤：,矩阵A和JA的特征值相等,细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有,Jordan链条，y2，ynj,特征向量,广义特征向量,方法步骤：,由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i)的阶数。由特征值i

5、 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i)中Jordan 块的个数由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA,例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6),例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。,例题4(p46，例题7),2.3 最小多项式(minimal polynomials),讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley 定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法,一、矩阵多项式定义,2.性质（定理2.7）AX=0 X g(A)X=

6、g(0)XP-1 AP=B P-1 g(A)P=g(B),3 矩阵多项式 g(A)的计算方法：,mr,g（J）的结构特点：由第一行的元素生成,Jordan块,例题1 设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解,二、矩阵的化零多项式(Annihilating polynomials of Matrices),问题：AFnn，A0，是否存在非零多项式g（），使 得 g(A)=0？化零多项式（P.52）如果 g(A)=0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0 的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton 定理（P.52，定理

7、、2.7）：AFnn，f()=det(IA)，则f(A)=0。Cayley 定理的应用举例：使Ak(kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。,三、最小多项式,1 定义（P.54，定义2.5）mA（）是最小多项式,mA（A）=0mA（）在化零多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式,2 mA（）的结构：设f（）=IA=,定理2.8：mA（）=,定理2.9：mA（）=是i对应的Jordan块的指数。,f（）与mA（）谱相同,3 线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式 定

8、理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10，eg11）例题2 设A R44，mA（)=,求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。,例题3 设 是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。,相似问题中的一些矩阵结果,1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：A 2=A幂零矩阵（nilpotent）：A0，k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A 2=I,A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。,A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵,A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵,2(p47，例题8)设A

9、为阶方阵，证明矩阵A和AT 相似。证明思想：证明A和AT 相似 证明 Jordan 矩阵JA和JAT相似 证明JA和JAT的Jordan 块J和JT相似。证明方法：取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS（backward identity）,3、矩阵A，AT，AH 和AHA,设A为n 阶方阵，则下列结果成立：矩阵A相似于矩阵AT矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan 块以共轭对出现。矩阵AHA相似于矩阵AAH,4.设矩阵AFmn，矩阵BFnm，则AB和BA的非零特征值相同。,讨论：若A、B都是方阵，AB和BA的特征多项式是否相同？AB和BA的最小多项式是否相同？AB和BA是否相似？,第1章习题选讲,要点：线性空间的表示形式：集合表示形式：Vn（F）=满足的性质向量生成形式：L1，2，m 子空间类型：L1，2，m W1W2矩阵AF mn，两个子空间不变子空间线性变换：,线性变换的表示线性变换的数量关系重要的线性变换,