矩阵分析-第五章-研究课程.ppt

《矩阵分析-第五章-研究课程.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵分析-第五章-研究课程.ppt（41页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第五章 矩阵分析,向量与矩阵的范数,向量与矩阵序列的收敛性,矩阵的导数,矩阵的微分与积分,体的集合，,定义1：,设,是数域,上,维（数组）向量全,是定义在,上的一个实值函数，,如果该函数关系还满足如下条件：,第一节向量与矩阵的范数,1）,非负性,对,中任何向量,恒有,并且仅当,时，,才有,2）,齐次性,对,中任意的量,及,中任意常数,有,（有时表示为,）为,一种向量范数。,则称此函数,3）,三角不等式，,对任意,有,上的,例1：,对,中向量,定义,则,为,上的一种向量范数,表示复数,的模,例2：,对,或,上向量,定义,则,及,都是,或,上的向量范数。,证明：,1）,当,时，,显然有,2）,对,

2、向量,3）,对,向量,一般地，,对于任何不小于1的正数,向量,的函数,也构成向量范数，,称为向量的P-范数。,综上可知,确为向量范数。,上两例中的,是常用的三种向量范数。,定义2：,设,是数域F上所有,矩阵的集合，,是定义在,上的一个实值函数，,关系还满足如下条件：,对,中任意矩阵,及,中任意常数,总有,定理1：,设,为任意两种向量范数，,正的常数,使得对一切向量,恒有,例3：,设,为,维向量，,则,则存在,（这里,不限于P-范数）,如果该函数,1）,非负性,并且仅当,时，,才有,2）,齐次性,3）,三角不等式,则称,是,上的一种矩阵范数。,对,（或,）上的矩阵,定义,则,都是,（或,）上的矩

3、阵范数。,例4：,对,上的矩阵,定义,则,是一种矩阵范数，,并且具备乘法相容性。,定义3：,是数域，,是,上的方阵范数，,如果对任意的,总有,则说方阵范数,具有乘法相容性。,设,证明：,非负性与齐次性显然成立，,另两条证明,三角不等式,如下：,则称矩阵范数,与向量范数,是相容的。,定义4：,如果,阶矩阵,的范数,与,维向量,的范数,对任意,阶矩阵,及任意,维向量,均有,乘法相容性,证得,为矩阵范数且具有乘法相容性。,则,为方阵范数，,它具有乘法相容性并且与,相容。,定理2：,设,是某种向量范数，,对,阶矩阵,定义,向量范数,例如对于,上的方阵范数,取,则易见,而,可见方阵范数,不具备乘法,相容

4、性。,是常用的矩阵范数，,例5：,证明：,对,阶复矩阵,有,1）,（列模和）,2）,（行模和）,例6：,证明对,阶复矩阵,有,这里,是,的奇异值。,又称为谱范数。,定理3：,设,是任意两种矩阵范数，,则有正实数,使对一切矩阵,恒有,第二节 向量与矩阵序列的收敛性,定义5：,设有向量序列,如果对,数列,均收敛且有,则说向量序列,收敛，,如记,则称,为向量序列,的极限，,记为,或简记为,如果向量序列,不收敛，,则称为发散。,定理4：,对向量序列,的充分必要条,其中,是任意一种向量范数。,件是,成立，,证明:,1）,先对向量范数,证明定理,有,2）,由向量范数等价性，,对任一种向量范数,有正实数,使

5、,令,取极限即知,定义6：,设有矩阵序列,如果对,均有,矩阵序列,收敛，,如令,称,为,的极限。,记为,或,任何,则说,矩阵序列不收敛时称为发散。,矩阵序列极限的性质,1、若,为数列且,则,特别当,为常数时，,2、若,则,3、若,则,4、若,且诸,及,均可逆，,则,收敛，,并且,定理5：,对于矩阵序列,一种矩阵范数,有,对任何,第三节 矩阵的导数,本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数 函数对矩阵的导数 矩阵对矩阵的导数,一、函数矩阵对变量的导数,如果矩阵中诸元素都是某实变量,的函数，,则称这种矩阵为函数矩阵。,它的一般形式是,其中,都是实,的函数。,变量,定义7：,设函数矩阵,如果对一切正,均有

6、,整数,则说当,时函数矩阵,有极限,叫做,的极限,记为,定义8:,对于函数矩阵,如果所有元素,在某点,处或在某区间,则称,在,处或在某区间上可导。,上均可导，,导数或导函数记为,简记为,并规定,其中,表示,对,的一阶导数。,矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：,1、若函数矩阵,都可导，,则它们的和亦,并且,可导，,2、若,可导，,k为常数，,则,可导且,3、若,可导，,则,可导，,并且,4、若,可导，,是,的可导函数，,则,可导，,且,5、若,可导且二者可乘，,则,亦可导，,且,推论：,若,可导，,为数字矩阵，,则,6、若,为可逆的可导函数矩阵，,则,亦可导，,且,例1：,设,为,阶可导函数

7、矩阵，,求,的一、二阶导数。,解：,例2：,设,均为,其中,的可导函数，,为,阶实对称矩阵，,求二次型,对,的导数。,解：,又,为数字矩阵，,又,为,的函数，,而有,所以,二、函数对矩阵的导数,定义9：,设,为多元实变量矩阵，,是以,变量的多元函数，,并且偏导数,都存在，,则定义函数,对矩阵,的导数为,中诸元素为,特别，,当,为向量,时，,函数,对,之导数为,例3：,设,求,解：,对矩阵,三、矩阵对矩阵的导数,定义10：,设矩阵,中每一个元素,都是矩阵,中各元素,的函数，,当,对,中各元素都可导时，,则称矩阵,可导，,且规定,对,的导数为,其中,是一个,矩阵。,例4：,设,求,解：,则,这里,元素是1，,其余元素都是0的,矩阵。,例5：,设,其中,如果,都存在，,对,可导且,第四节 矩阵的微分与积分,定义11:当函数矩阵 可导时,其微分性质:,(为常数),(可微),定义12:如果函数矩阵 中各元素 均对 可积,则称 可积,且 的不定积分和定积分分别为:,性质:,(为常数),等等.例1:设,求 及.,