矩阵与线性变换.ppt

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1、1,.矩阵的初步概念 与线性变换,矩阵概念的引入,线性变换与矩阵的关系,矩阵的乘法,2,一、矩阵概念的引入,几个引例,（）考察三位同学上学期无机、高数两门课程的成绩：,上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况,3,系数,常数项,（）线性方程组,解的情况完全取决于,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为,4,（）四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位,量的售价(以某种货币单位计)可用以下数表给出,在科学技术领域和生活实践中，许多对象都可以采用上边的数表形式表示，进而进行研究,5,矩阵的定义,简记为,横排称行，纵排称列；,6,例如：,是一个

2、矩阵；,是一个n(n+)矩阵；,是一个3矩阵；,7,一些特殊矩阵:,实矩阵:,元素都是实数.,复矩阵:,有些元素是复数.,同型矩阵：,行数相同，列数相同的几个矩阵,是一个 复矩阵,为同型矩阵.,8,n阶（级）矩阵：,行矩阵（向量）：,n矩阵,列矩阵（向量）：,n矩阵,nn矩阵，记作,零矩阵：,元素全为的矩阵，记作,或,是一个三阶方（矩）阵；,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如：,9,对角矩阵：,除主对角线上有非零元素外，其余的非主对角线上的元素都是的方阵,数量矩阵：,主对角线上元素都相等的对角矩阵,10,单位矩阵：,主对角线上元素全为的对角矩阵,对称矩阵：,的方阵,反对称矩阵：,的方阵

3、,记作或,注意：反对称矩阵的对角线上的元素一定是,11,相等矩阵：,两个同型矩阵的对应行对应列的元素相等,例 设,解,行列式与矩阵的区别:,1.一个是算式，一个是数表,2.一个行、列数相同,一个行、列数可不同.,3.对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:,12,二、线性变换及其矩阵,定义,线性变换.,一般来说,13,对线性变换来说，与矩阵有密切的关系,系数矩阵,线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的,称之为线性变换的矩阵,14,这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论,下面我们看几个简单的却是重要的线性变换,（）,表示平面上绕坐标原点的一个旋转变换,是变换的矩阵,表示关于x轴的反射（反映）,表

4、示关于原点的中心反射（反映）,15,（）,表示空间一点绕z轴的一个旋转变换,是关于xoy面的(镜面)反射变换,是关于ox轴的反映.,自己写出这些变换的矩阵.,16,关于线性变换的进一步的话题:,新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的最多的,比如刚才的几个例子.一般n个变量的线性变换的形式为,其矩阵为n阶方阵,以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式.,17,如果变换的行列式,称相应的线性变换是非奇异,的,或非退化的,或是一一变换.,否则就是奇异的或退化的.,如果线性变换的矩阵是单位矩阵,则称为恒等变换.,你能写出n个变量的恒等变换的表达式吗?,下面谈谈连续施行两个变换的问题,假如对空间

5、的任意点,先绕z轴旋转角度,变为点,再作对xoy面的镜面反射(反映)，,变为点,则,18,绕z轴的旋转变换的表达式,的反映可表为,把前一式代入后一式，得,19,其中,可由下列方法得到：,20,一般地，,把第一个式子中的变量y代入第二个式子，得到的是变量x与z的关系，具有形式,21,变换是连续施行变换和的结果，称为,的乘积，记作,其中,（注意书写顺序！）,即矩阵C的第k行第j列的元素等于矩阵B的第k行与矩阵A的第j列的对应元素的乘积之和,对应于线性变换的乘积，我们把矩阵称为矩阵与矩阵的乘积，记作,22,例如,例,例,求AB,23,解,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才

6、能相乘.,一个pm矩阵与一个mn矩阵的乘积是一个pn矩阵,24,例如,是不能相乘的,而,一阶矩阵,此例说明矩阵的乘法不满足交换律，即一般地,例,25,矩阵乘法满足的运算规律：,（其中 为数）;,矩阵乘法不满足交换律,特别注意：,矩阵乘法不满足消去律，即,26,若A是n 阶方阵，则 为A的 次幂，即,方阵的幂：,并且,例如：,有,但是,同时,27,思考：,在什么条件下，有下列式子成立？,28,线性变换的矩阵表示,对于线性变换,如果令,则线性变换可表为,两个线性变换,的乘积就可表示为,多么简洁啊！,29,例,求变换,的乘积,30,最后我们给出n阶方阵的行列式的定理结束本节,定理,两个n阶方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积,即,方阵,例,易知,故,31,本节结束,刚才我们已经知道，对两个n阶方阵来说,