留数及留数定理.ppt
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1、,用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质,得,步骤:1.分析f(z)的解析性,确定解析环域;,2.在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数,因此,我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。,留数和留数定理,一、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数,.,的某去心邻域,一、留数的定义和计算,定义,计算留数,0,(高阶导数公式),0(柯西积分定理),即,计算留数的一般公式,(1)若z0为函数f(z)的可去奇点,则它在点z0的留数为零。,当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时,若g()为偶函数,则f(z)在点z0的去心邻域内La
2、urent级数只含 z-z0的偶次幂,其奇次幂系数都为0,从而得知,规则1o 若z0为f(z)的一阶极点,则有,规则2o 若z0为f(z)的n阶极点,则对任意整数 有,规则3,如果,的一级极点,且有,为 的一级极点,证,典型例题,解,分析,由规则2得,计算较麻烦.,如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便:,解,说明:,如 为m级极点,当m 较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。,2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高能够使得计算方便.,1.在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般要将m,因为有时把m取得比实际的,如上例取,例3求下列
3、函数在指定点处的留数(1),;,于是它是 的四级极点,可用规则 计算其留数,其中n=4,为了计算简便应当取其中m=5,这时有,另解:在点 的去心邻域 内的Laurent级数为,例3求下列函数在指定点处的留数(1),;,其中n=4的项的系数为c-1=1/4!,从而也有,(2),;,解:在点 的去心邻域 内的Laurent级数为,显然 为它的本性奇点,其中 的项的系数为,于是得,注,留数定理将沿封闭曲线C 积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,留数定理,点的一条正向简单闭曲线,奇点z1,z2,zn外处处解析,函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立,C 是D 内包围诸奇,那末,二、留数
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