理论力学-第3章1上.ppt

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1、,本章将讨论力系平衡的充分与必要条件，在此基础上导出一般情形下力系的平衡方程。并且将力系的平衡方程应用于各种特殊情形，特别是各力作用线位于同一平面被称为平面力系的情形。,第3章 力系的平衡,刚体系统的平衡问题是所有机械和结构静力学设计的基础。分析和解决刚体系统的平衡问题，必须综合应用第1、2章中的基本概念、原理与基本方法，包括：约束、等效、简化、平衡以及受力分析等等。,本章还将对桁架杆件的受力分析以及考虑摩擦时的平衡问题作简单介绍。,平面力系平衡方程及其在刚体与简单刚体系统中的应用，是本章的重点。,第3章 力系的平衡,平衡与平衡条件,任意力系的平衡方程,平面力系的平衡方程,平衡方程的应用,刚体

2、系统平衡问题,平面静定桁架的静力分析,考虑摩擦时的平衡问题,平衡的概念,物体相对惯性参考系静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。,平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参考系的，相对于太阳系的参考系则是不平衡的。本章所讨论的平衡问题是以地球（将固联其上的参考系视为惯性参考系）作为参考系的。,工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统，这种系统称为刚体系统。刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。,整 体 对于刚体：由二个或二个以上刚体组成的系统。,重要概念：整体平衡，局部必然平衡,整体平衡与

3、局部平衡,C,平衡与平衡条件,平衡的概念,局 部 对于刚体：组成系统的单个刚体或几个刚体组成的子系统。,整 体 对于变形体：单个物体，或者由二个以及二个以上物体组成的系统,平衡与平衡条件,平衡的概念,局 部 对于变形体：组成物体的任意一部分。,平衡与平衡条件,平衡的概念,平衡与平衡条件,平衡的概念,局 部 对于变形体：组成物体的任意一部分。,平衡与平衡条件,平衡的概念,局 部 对于变形体：组成物体的任意一部分。,力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必要条件。,力系平衡的条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。因此，如果刚体或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体系统的力系主矢和和力系对任一点

4、的主矩都等于零。,平衡的必要条件,FR 主矢；MO 对任意点的主矩,空间任意力系平衡条件,对于一般力系，由平衡的充要条件，可以得到主矢和主矩在X、Y、Z方向的分量都等于零。,空间任意力系的有6个平衡方程，可求6个未知力。,根据平衡的充要条件,主矢和主矩都为零。,对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件的投影形式为,平衡力系中的所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和都等于零；平衡力系中的所有力对各轴之矩的代数和也分别等于零。,上述6个平衡方程是互相独立的。这些平衡方程适用于任意力系。对于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然满足的，因此，独立的平衡方程数目会有所不同。,空间力系的特殊情形,对

5、于力系中所有力的作用线都相交于一点的空间汇交力系，上述平衡方程中三个力矩方程自然满足，因此，平衡方程为：,任意力系的平衡方程,空间力系的特殊情形,对于力偶作用面位于不同平面的空间力偶系，平衡方程中的三个力的投影式自然满足，其平衡方程为：,空间力偶系,任意力系的平衡方程,空间力系的特殊情形,对于力系中所有力的作用线相互平行的空间平行力系,若坐标系的轴与各力平行，则上述6个平衡方程中,自然满足。于是,平衡方程为：,第3章 力系的平衡,平面力系的平衡方程,返回,平面力系平衡方程的一般形式,平面力系平衡方程的其他形式,平面力系平衡方程的一般形式,所有力的作用线都位于同一平面的力系称为平面任意力系（ar

6、bitrary force system in a plane）。这时，若坐标平面与力系的作用面相一致，则任意力系的6个平衡方程中，,自然满足，且,Fx=0,MO=0,Fy=0,平面力系平衡方程的一般形式为：,其中矩心O为力系作用面内的任意点。,上述平面力系的3个平衡方程中的,可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。,Fx=0,Fy=0,平面一般力系平衡方程的其他形式,A、B 连线不垂直于x 轴,A、B、C 三点不在同一直线上,求固定端A处的约束力。,解：画受力图,MA的负号表示MA实际方向与图示相反。,负号表示和假设方向相反。,平面刚架的所有外力的作

7、用线都位于刚架平面内。A处为固定端约束。若图中q、FP、M、l等均为已知，试求:A处的约束力。,平衡方程的应用,解：1.选择平衡对象,本例中只有折杆ABCD一个刚体，因而是惟一的平衡对象。,解：2.受力分析,刚架A处为固定端约束，又因为是平面受力，故有3个同处于刚架平面内的约束力FAx、FAy和MA。,刚架的隔离体受力图如图示。,其中作用在CD部分的均布载荷已简化为一集中力ql作用在CD的中点。,解：3.建立平衡方程求解未知力,应用平衡方程,Fx=0,MA=0,Fy=0,由此解得:,平衡方程的应用,解：4.验证所得结果的正确性,为了验证上述结果的正确性，可以将作用在平衡对象上的所有力（包括已经

8、求得的约束力），对任意点（包括刚架上的点和刚架外的点）取矩。若这些力矩的代数和为零，则表示所得结果是正确的，否则就是不正确的。,解：,在水平梁上作用载荷，已知F10KN，FD20KN，q20KN/m，a10m。试求支座A和B的约束力。,例题:折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,解：,对于(a)、(b)两种情形，在辊轴支座A处，其约束力都垂直支承面，所以方向是确定的。,但是，固定铰链支座B处却有方向不确定的约束力。,因为，折杆上只作用有外加力偶，所以A、B二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。,因为，折杆上只作用有外加力偶，所

9、以A、B二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。,例题 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,例题 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,因为，折杆上只作用有外加力偶，所以A、B二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。,对于情形(c)，D处绳索的约束力FD不仅作用线方向确定，而且指向也确定。,A、B二处的约束力FA和FB作用线方向可以确定，但指向不能确定。,将A、B二处的约束力FA和FB沿其作用线方向滑移，相交于E点。,约束力FA和FB指向虽然不能确定，但是其合力

10、FE必须与D处的绳索拉力FD 组成一个力偶与外加力偶相平衡。,例题 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,E,根据力偶平衡理论，可以求得FE与D处的绳索拉力FD：,例题 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,E,将FE 沿水平与铅垂方向分解，便得到A、B二处约束力FA、FB,例题 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。,例 题,作用在水力涡轮发电机主轴上的力：,水力推动涡轮转动的力偶矩Mz=1200 N.m。,锥齿轮B

11、处受到的力分解为三个分力：圆周力Ft，轴向力Fa和径向力Fr。三者大小的比例为Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17。,已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12kN，其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m。,试求：止推轴承C和轴承A处的约束力。,解：以“轴锥齿轮涡轮”组成的系统为研究对象。,先求锥齿轮B处三个分力大小。根据所有力对z轴的力矩平衡方程，有,由此解得作用在锥齿轮上的圆周力,滑动轴承A处有2个约束力；,止推轴承C处有3个约束力；,Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17。,总重量为W=12kN，OB=0.6m。,力偶矩Mz=1200 N.m,Ft:Fa:Fr=1:0.32

12、:0.17,W=12kN，OB=0.6m。,由此解得圆周力Ft,再由三个力的数值比，得到,最后应用空间力系的平衡方程，可以写出,需要注意的是：在空间力系平衡问题的六个平衡方程中，应使每个方程的未知数尽可能的少，以避免解联立方程。列写六个方程的先后顺序也应灵活选取。,已知：F=12kN,并与铅垂方向成75度角，P=4.2kN，求：A、B的约束力及力偶矩M。,解：画受力图，空 间力系平衡。,故只有5个独立平衡方程。,求：D、B处的约束力。,解：画受力图，列平衡方程,求：三杆对边长为a的三角板的约束力。,解：画受力图,A、B、C三点不共线，三力矩平衡方程是独立的。,列平衡方程,第3章 力系的平衡,刚

13、体系统平衡问题,静定和静不定问题的概念,刚体系统平衡问题的解法,静定和静不定问题的概念,刚体系统平衡问题,未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由平衡方程可以解出全部未知数。这类问题，称为静定问题，相应的结构称为静定结构。,工程上，为了提高结构的强度和刚度等工程要求，常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的数目。这时，仅仅由静力学平衡方程无法求得全部未知约束力。这类问题称为静不定问题或超静定问题，相应的结构称为静不定结构或超静不定结构。,静不定问题中，未知量的个数Nr与独立的平衡方程数目Ne之差，称为静不定次数（degree of statically

14、indeterminate problem）。与静不定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，因而称为多余约束。,静不定次数或多余约束个数用i表示，由下式确定：,i=NrNe,静定和静不定问题的概念,刚体系统平衡问题,Nr:未知量的个数,Ne:平衡方程数目,刚体系统平衡问题的解法,由两个或两个以上的刚体所组成的系统，称为刚体系统（rigid multibody system）。,刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统），不能确定全部未知力。,为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也

15、必然是平衡的。,根据这一重要概念，只要正确理解整体平衡与局部平衡的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。,刚体系：由两个或两个以上的刚体用约束联结起来系统。称为刚体系统（rigid multibody system）。刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。当然，仅仅考虑整体平衡是可以求出一部分约束力的。刚体系统平衡，则组成这一系统的每个刚体也必然是平衡的。因此，只要正确理解整体平衡与局部平衡的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。,刚体系统平衡问题的解法,求解刚体系平衡问题的基本途径：1、分别考虑每一刚体的受力情况，建立平衡

16、方程，然后 联立求解。这一方法叫做“单体加单体”的方法。2、考虑整个系统和其中某些单个刚体的平衡条件，求出 未知量。这种方法叫做“整体与单体结合”的方法。具体选择哪一种方法，要根据题意，灵活应用。尽量避免解联立方程。,刚体系统平衡问题的解法,例 题 1,图示结构，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力,第一种情形,第二种情形,平衡方程的应用,第三种情形,第四种情形,图示结构，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力,第一种情形,平衡方程的应用,图示结构，若 FP 和 l 已知，确定图示情形下的约束力,分析 BC 和 ABD 杆受力,MB(F)=0:,MA(F)=0:,FBy=0,

17、FAy=0,Fx=0:FBx+FAx=0,FBx=-FAx,Fx=0:FBx-FCx=0 FCx=FBx=FBx,Fy=0:FBy-FCy=0 FCy=FBy=FBy=0,MB(F)=0:FCx l+M=0,FCx=FBx=-FP,更简单的方法（分析BC和ABD杆受力）,这个问题是否有更简单的方法？比如说，B、C两处的约束力是水平方向的，这样就能直接把它求出来，这种想法是否正确？,?,关于平衡对象的选择,关于平衡对象选择的问题，刚才我们选择了两个平衡对象，能不能就以整体为平衡对象呢？请思考这个问题。,?,第三种情形,A处有一个约束力，C处有两个约束力，考虑整体平衡，,第三种情形:图示结构，若

18、FP 和 l 已知，确定的约束力,第四种情形,MC(F)=0:,FA=FP,FAl-M=0,Fx=0,FA=-FC=FP,例题:第一种情形，如图结构，求A、D处的约束力，为简单起见，画出如图受力简图。如果考虑整体平衡，能求出几个约束力？要求出所有约束力，还必须考虑什么？,已 知：FP、l、r 求：A、D 二处约束力,以整体作为平衡对象，用平面问题的三个平衡方程能求出A端的三个约束力，但无法求出D处的约束力；因此还要考察其它刚体，DE是二力杆，两端约束力都未知，因此考虑BEC杆，B处有两个约束力，E处有一个约束力，能通过三个平衡方程求出，从而求得D处的约束力。,第二种情形,如图结构，绳子的固定与

19、第一种情形不同，因此外加的约束力也不同，但是考虑整体平衡，还是能把A端的三个约束力求出来。,和第一种情形一样，再单独考虑BEC杆，不同之处在于C端多了一个水平力，其它并没有什么差别。,第三种情形,如图，在BEC杆上增加了均匀分布的载荷，只要把均匀分布载荷简化为一个集中力，即如图所示，以下的所有分析都是和第二种情形相似的。,q载荷集度,分析过程,结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约束力。,例 题,解：1.受力分析，选择平衡对象,考察结构整体，在固

20、定端处有3个约束力，设为FAx、FAy和MA；在辊轴支座处有1个竖直方向的约束力FRC。,这些约束力称为系统的外约束力（external constraint force）。仅仅根据整体的3个平衡方程，无法确定所要求的4个未知力。因而，除了整体外，还需要其他的平衡对象。为此，必须将系统拆开。,B,将结构从B处拆开，则铰链B处的约束力可以用相互垂直的两个分量表示，但作用在两个刚体AB和BC上同一处B的约束力，互为作用与反作用力。这种约束力称为系统的内约束力（internal constraint force）。内约束力在考察结构整体平衡时并不出现。受力图中ql为均布载荷简化的结果。,解：2.整体

21、平衡 根据整体结构的受力图(为了简便起见，当取整体为研究对象时，可以在原图上画受力图)，由平衡方程,解：3.局部平衡,杆AB的A、B二处作用有5个约束力，其中已求得FAx=0，尚有4个未知，故杆AB不宜最先选作平衡对象。,杆BC的B、C二处共有3个未知约束力，可由3个独立平衡方程确定。因此，先以杆为平衡对象。,先考察BC杆的平衡，由,求得BC上的约束力后，再应用B处两部分约束力互为作用与反作用关系，考察杆AB的平衡，即可求得A处的约束力。,也可以在确定了C处的约束力之后再考察整体平衡也可以求得A处的约束力。,再考察整体平衡，将DE段的分布载荷简化为作用于E处的集中力，其值为2ql，由平衡方程,

22、解：4.讨论,主动力系的简化极为重要，处理不当，容易出错。,例如，考察局部平衡时，即系统拆开之前，先将均匀分布载荷简化为一集中力FP，FP=2ql。系统拆开之后，再将力FP按下图所示分别加在两部分杆件上。请读者自行分析，图中的受力分析错在哪里？,销钉C固结在DE，并与滑道光滑接触。求：A、D的约束力,解：画受力图,对三角板ABC列平衡方程,销钉C固结在DE，并与滑道光滑接触。求：A、D的约束力,解：画受力图,选DE为研究对象,求：A、D、E约束力。,解：画整体结构受力图,整体结构为平面任意力系可列三个平衡方程。未知反力共4个。先考虑整体平衡,选DE为研究对象，绳子张力F=200N,各杆自重不计，求结构外约束力,解：本例若先选刚体系整体为研究对象，画出受力图，则不难发现不能先从整体的平衡方程中求出任何未知力。为此，可先选梁ED为研究对象，画出受力图，列平衡方程。,选ABC为研究对象，列方程,各约束力的正号表示各约束力实际方向与图示相同。,