热力学与统计物理 (2).ppt

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1、1,第二部分 统计热力学,(Statistical Thermodynamics),2,统计物理发展简介经典统计奠基者：Maxwell,Boltzman,Gibbs量子统计概念提出者：Planck,Einstein,Fermi,Dirac,Pauli,Bose量子统计理论：von Neumann,Landau,Kramers,Pauli,3,麦克斯韦(James Clerk Maxwel 18311879)英国物理学家。运用数学统计的方法导出了分子运动的麦克斯韦速度分布律,4,德裔奥地利物理学家玻尔兹曼（L.E.Boltzmann，1844一1906）统计力学的奠基者。他对物理学的发展作出了许

2、多贡献，以致于劳厄（M.T.F.V.Laue）认为，“如果没有玻尔兹曼的贡献，现代物理学是不可想像的”。,熵 entropyS=kln此一精简方程式就刻在他位于维也纳的墓碑上.k=1.3811023J/K,波尔兹曼常数,5,吉布斯（Josiah Willard Gibbs,1839-1903年）美国物理化学家。他把玻尔兹曼和麦克斯韦所创立的统计理论推广和发展成为系统理论，从而创立了近代物理学的统计理论及其研究方法。,6,普朗克提出量子论。于1918年，荣获诺贝尔物理学奖。,Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858-1947,普朗克提出了能量量子化的概念和引入了一个新的

3、普适常量h，从此物理学的发展进入了一个新的革命时代。普朗克本人在接受这个背离经典物理的假说是非常勉强的，他曾企图从经典物理的观点来解释作用量子h，他在自传中回忆道：“我当时打算将基本作用量子h归并到经典理论范畴中去，但是这个常数对所有这种企图的回答都是无情的”。他又写道：“企图使基本作用量子与经典论调和起来的这种徒劳无功的打算，我持续了很多年（直到1915年），它使我付出了巨大的精力。”,7,1933年毕业于清华大学。1938年获英国剑桥大学哲学博士学位。主要从事理论物理特别是热力学、统计物理学、数学物理等方面的研究。在热力学平衡与稳定性、多元溶液、热力学绝对温标、热力学第三定律、物质内部有辐

4、射的热传导问题以及基本物理常数等广泛领域进行了许多研究，取得多项重要成果。在有序无序变化的统计力学理论方面将贝特理论作了重要推广，在热力学的理论研究方面作出多方面的推广。1955年选聘为中国科学院院士（学部委员）。,王竹溪,8,经典统计建立于19世纪下半叶，主要是Maxwell,Boltzmann和Gibbs的贡献。量子力学的建立与量子统计的建立有着相互依赖，相互促进的复杂关系。1900年，Planck 在研究黑体辐射谱的统计理论中提出了量子假说，用的是Boltzmann统计。随后，Einstein(1907),Debye(1912)和Born 与von Karman（1912，1913）应用

5、Boltzmann统计及能量量子化研究了固体比热。,9,统计物理起源于气体分子运动论分子运动论主要思想：（1）物质由大量原子、分子组成。（2）原子、分子处于不断热运动中。（3）原子、分子间有相互作用。,10,热力学方法的优缺点：以大量实验总结出来的几条定律为基础，应用严密的逻辑推理和严格的数学运算来研究宏观物体的热学性质以及和热现象有关的一切规律。热力学结果较普遍、可靠，但不能求特殊性质。统计物理方法的优缺点：统计物理从物质的微观结构出发，考虑微观粒子的热运动，通过求统计平均来研究宏观物体的热学性质以及和热现象有关的一切规律。统计物理方法可求特殊性质，但其可靠性依赖于结构的假设，计算较麻烦。此

6、二者体现了归纳与演译的不同应用，可互相补充。,11,统计物理方法中反映了三个问题:（1）微观结构？（2）微观粒子运动态的描述？（3）统计平均？,12,统计物理从建立到现在已经有一百多年。学科不断发展，应用领域不断扩大。小到原子核，大到宇宙；从物理学到其它自然科学(化学、生物、信息科学、金融学、管理学、社会科学)；学科本身也有了许多重大的发展，包括概念、理论和方法。,13,第五章 系统微观状态的描述和分布,14,本章重点:了解粒子运动状态的经典、量子及系统微观运动状态的描述方法；理解等概率原理、分布和微观状态；掌握玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布及三种分布的关系。,15,第一节 微观状态及其经典

7、描述,16,一、状态及其描述1.微观量与宏观量统计物理讨论物质的客观性质，主要在分子、原子层次。在粒子从宏观到微观的过渡中，如果能够忽略量子效应，则可称作宏观，如果不能忽略则认为是微观。微观运动与微观量：微观运动即系统内部的微观粒子的热运动。描述微观粒子热运动的物理量称为微观量。例：m、v、等,17,宏观现象与宏观量：宏观现象即一个系统所表现出来的各种物理性质以及这些性质的变化规律。描述一个系统宏观性质的物理量称为宏观量。例：P、V、T、E、C等。宏观与微观的关系：微观粒子的热运动与系统的各种宏观热现象之间存在着内在的联系。宏观量等于微观量的统计平均值。,18,2.粒子运动状态的描述,统计热物

8、理学中的微观状态是用微观粒子来描述的。粒子：组成宏观物质系统的基本单元。粒子的运动状态：它的力学运动状态。经典描述：粒子遵从经典力学的运动规律。量子描述：粒子遵从量子力学的运动规律。,19,3.微观粒子模型及其内部结构选取条件,统计物理计算时是用简化的模型代替真实粒子。如：无内部结构的质点代替原子。由温度的高低决定如何考虑粒子不同层次的内部结构。一个粒子热运动能量数量级平均为kT。当分子的基态与第一激发态间能量之差kT时，粒子受热激发的几率很小，相应的结构层次可不考虑。,(1)极低温度时：分子内部运动能级间能量差满足 kT，则可不考虑分子内部结构。(2)室温下：可把构成分子的原子看成质点，不考

9、虑原子的内部结构；但是多原子分子要考虑分子的转动和振动；(3)高温下：要考虑原子内部电子的热激发。(4)温度达到107K或更高的温度：核内结构要考虑。,20,二、粒子运动状态的经典描述,1.微观表述法设粒子的自由度为r。则粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标 q1、q2、qr和与之共轭的r个广义动量p1、p2、pr 在该时刻的数值确定。粒子的能量是其广义坐标和 广义动量的函数：,简记为：=(qi,Pi)(i=1,2,r),21,在分析力学中，一般把广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数，即：(i=1,2,r)粒子的运动满足正则运动方程：一组qi、Pi完全确定了系统

10、的一个运动状态-微观运动状态。使用粒子的坐标和动量来表示热力学的方法，叫做微观描述法。,22,d空间：用 共2r个变量为直角坐标，构成的2r维空间，称d空间。粒子某一时刻的力学运动状态，用d空间中的一点表示，称粒子力学运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在d空间移动，并描绘出一条称为相迹的轨迹。,2.几何描述法：,23,3.理论模型 物理理论研究中，常把实际问题简化为一定的理论模型。金属中的电子自由运动的粒子。分子内原子的振动，晶体内原子或离子在其平衡位置附近的振动简谐运动的振子。双原子的分子转子的运动。,24,统计物理中常用的几个例子,1.自由粒子:不受力作用而作自由运

11、动的粒子。当不存在外场时，理想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子。粒子在三维空间运动时，自由度为3。粒子在任意时刻的位置可由坐标x、y、z确定，与之共轭的动量为：自由粒子的能量就是它的动能：,25,2.线性谐振子质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下，将在原点附近做简谐振动，称为线性谐振子。振动的圆频率线性谐振子的自由度为1，其能量为动量和势能之和：写成椭圆方程的标准形式为：,26,第二节 粒子运动状态的量子描述,27,1.德布罗意关系：微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等等）普遍地具有粒子和波动的二象性。德布罗意波：能量为，动量为p的自由粒子联系着圆频率为，波矢为k 的

12、平面波。德布罗意关系：适用于一切微观粒子。,一、德布罗意关系和测不准关系,28,普朗克常数的量纲：【时间】*【能量】=【长度】*【动量】=【角动量】这样的物理量通常称为作用量。普朗克常数也称为基本的作用量子。判别是否采用量子描述的判据：当物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统；反之，如果物质系统的每一个作用量纲的物理量用普朗克常数来度量都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究。,29,2.测不准关系微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。,说明：1.如果粒子的坐标具有完全确定的数值，粒子的动量将完全不确定，即2.如果粒子的动量具有完全确定的

13、数值，粒子的坐标将完全不确定，即,结论：微观粒子的运动不是轨道运动。,30,经典力学中，粒子可同时具有确定的坐标和动量。量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数（微观粒子的能量是不连续的，不连续的能量用能级表示）。当粒子能量量子数确定时，其它力学量还可以取不同的值，粒子的运动状态还不能完全确定。简并态：如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的，量子态数称为该能级的简并度；如果一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。,31,根据波矢量kx与波长的关系 及在一维空间中波动可以有两个传播方向得,二、量子描述的讨论实例（复习）1.一

14、维自由粒子设粒子处在长度为L的一维容器中，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长的整数倍等于容器的长度L。,32,nx：一维自由粒子的运动状态的量子数。,由德布罗意关系得：,一维自由粒子能量的可能值为：nx=0基态非简并，激发态均为二度简并。在长度为L的一维容器中，在Px-Px+dPx范围内的粒子量子态数：,33,驻波模型讨论：由驻波边界条件得：,34,2.三维自由粒子设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量的 可能值为：,是表征三维自由粒子运动状态的量子数。,三维自由粒子能量的可能值为：,35,微观体积粒子局限在微观大小的空间范围内运动，动量值和能量值的分立性是显著

15、的。粒子的运动状态由三个量子数 表征。能级只取决于 的数值。,能级,有6个量子态，简并度为6，基态非简并。,nx=0,ny=0,nz=1;nx=0,ny=1,nz=0;nx=1,ny=0,nz=0,如：,36,宏观体积粒子在宏观大小（V=L3）的容器内运动，动量值和能量值是准连续的。px到px+dpx动量范围内，可能的px数py到py+dpy动量范围内，可能的py数pz到pz+dpz动量范围内，可能的pz数,37,体积V=L3内，px到px+dpx，py到 py+dpy，pz到pz+dpz的动量范围内，自由粒子的量子态数：作业:用驻波模型求dnx、dny和dnz。,38,如果用坐标q和p来描述

16、粒子的运动状态，一个状态必然对应于d空间中的一个体积，称为一个相格。对自由度为1的粒子，相格的大小为h（q ph）。粒子的自由度为r，各自由度的坐标和动量的不确定值为 qi和 pi分别满足不确定关系 qipih，相格大小为 自由粒子的量子态数可以理解为，将d空间的体积 除以相格大小h3而得到。,用不确定关系解释上式：,39,动量空间球极坐标 描写自由粒子的动量。,体积V内，动量大小在p 到 p+dp,动量方向 到+d,到+d的范围内，自由粒子可能的态数为：,40,在体积V内，动量大小在p到p+dp范围内（动量方向为任意），自由粒子可能的状态数为：。,在体积V内，能量在到+d 范围内，自由粒子可

17、能的状态数为,D():单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。,41,3.自旋一粒子，质量为m,电荷为-e,自旋角动量量子数1/2，粒子的自旋磁矩与自旋角动量S之比为：,若沿z方向加上外磁场，磁感应强度为B,则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影SZ有两个可能值,自旋磁矩在外磁场方向上的投影,42,粒子在外磁场中的势能为：,Sz表为则描述粒子自旋状态只要一个量子数ms，它只取两个分立的值1/2。,43,n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为。,4.线性谐振子 圆频率为的线性谐振子，能量的可能值为:,

18、44,5.转子,转子能量:,M:转子的角动量。经典理论中，M2可取任意正值，量子理论中M2只能取分立值：,对一定的l，角动量在某一z轴的投影Mz只能取分立值：即对应每个l,m有2l+1个值。,45,能级为 l 的量子态有2l+1个。,量子理论中自由度为2的转子的运动状态由l、m两个量子数表征。m的取值与经典运动平面的取向相应。经典理论中运动平面在空间的取向是任意的，量子理论中m只能取分立值，称空间量子化。量子理论中转子的能量是分立的：,46,第三节 系统微观运动状态的描述,47,在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学,在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两者在统计原

19、理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。经典力学描述：不考虑粒子的内部结构，以空间坐标、质量、速度或者动量来描述粒子整体的运动状况；量子力学描述：粒子具有波粒二象性，具体位置无法准确确定，能量是量子化的，以波函数和能量来描述粒子的量子状态。,48,全同粒子系统：具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。经典全同粒子组成的系统（近独立粒子系统）：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。经典全同粒子是可以分辨的。整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：i是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。量子全同粒子：是不可分辨

20、的，有玻色子（boson）和费米子(fermion)。,一、全同粒子系统,49,二、经典全同粒子及其系统运动状态的描述,粒子自由度为r，任一时刻，第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标qi1，qi2，,qir 和r个广义动量pi1,pi2,pir 确定。组成系统的N 个粒子在某一时刻的力学运动状态都确定时，也就确定了整个系统在该时刻的微观运动状态。确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量，即：qi1，qi2，,qir;pi1，p i2,pir，(i=1,2,3,N)。,50,经典物理中，全同粒子是可以分辨的。将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。一个粒子在某一时刻的

21、力学运动状态用空间中的一点表示。由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可在空间用N个点表示。,i,i,j,j,（a）,（b）,51,三.量子全同粒子及其系统运动状态的描述,微观粒子的全同性原理（量子物理的一个基本原理）：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。全同粒子可以分辨，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。,52,自然界中微观粒子分为两类：玻色子（自旋量子数为整数）费米子（自

22、旋量子数为半整数）如：电子、质子、中子等自旋量子数是1/2费米子。光子自旋量子数是1；介子自旋量子数是0玻色子。由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子;由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。如：1H原子，2H核，4He核，4He原子玻色子。2H原子，3H核费米子,53,四、玻尔兹曼、玻色和费米系统,定域系统:可用粒子的位置来分辨粒子（其粒子也称为定域粒子），如晶体中的原子或离子；非定域系统：必须考虑微观粒子的全同性原理，如量子全同粒子组成的系统。1.玻尔兹曼(Bolzman)系统（定域系统）由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在每一个个体量子态上的粒子数不受限制，

23、称麦克斯韦-玻尔兹曼系统（M-B系统）或玻尔兹曼系统。,54,2.玻色（B-E）系统：由玻色子组成的系统。不受泡利不相容原理的约束。即多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个量子态的玻色子数目不受限制。泡利不相容原理：在含有多个全同近独立的费米系统中，一个个体量子态最多能容纳一个粒子。3.费米（F-D）系统：由费米子组成的系统。受泡利不相容原理的约束。,55,4.讨论实例,设系统有两个粒子组成，每个粒子的个体分布样式（量子态）有三个，如果这两个粒子是定域粒子、玻色子、费米子时，试分别讨论系统各有多少可能的微观状态？,56,（1）定域系统量子态1 量子态2 量子态3A B A B A

24、BA BB A A B B A A BB A有9个不同的微观状态,57,（2）玻色系统量子态1 量子态2 量子态3A A A A A AA A A AA A有6个不同的微观状态,58,（3）费米子系统量子态1 量子态2 量子态3A A A AA A有3个不同的微观状态,59,第四节 分布和微观状态,60,统计物理基本原理认为，宏观热力学量是相应的统计平均值。如有一微观状态B，在一定条件下进行N次试验，其中发现随机变量B取Bi的次数为ni，则B的统计平均值为：如果N是个很大的数值，则 就是随机变量取Bi的概率i。因而,61,如微观量为能量。处于运动状态j的粒子的能量为i，共有ni个。那么任一个粒

25、子能量的统计平均值是系统中处于运动状态j是单个粒子的能量平均值，即：宏观热力学量-内能U，即系统总能量E为：,62,nj为处于能级i上的粒子数。获得微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。由此可见，求系统总量的统计平均值须先求出各个微观状态能量i和相应的几率。几率的确定是求统计平均值的关键所在。,63,一、等概率原理,1.宏观状态：用可测量的宏观参量描述系统的状态。热力学研究的状态是宏观状态，系统处在平衡状态时，要用几个宏观参量表征。如：孤立系统，宏观参量N、V、E。2.微观状态：按微观细节描述系统的状态。系统的微观状态指系统的力学状态。由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。研究系

26、统的宏观性质，只要知道各个微观状态出现的概率（几率），就可用统计方法求微观量的统计平均值。即：确定各微观状态出现的几率是统计物理的根本问题。,64,对由大量粒子组成的系统，它在一定的宏观条件下，某一时刻处于某一状态（或范围）的几率是确定的。总的说：力学：确定性统计：有规律，但只确定几率。统计规律的特点：（1）只确定几率。如买彩票（2）“大量数”是统计规律存在的前提。（3）规律在求统计平均中体现。,65,3.等概率原理 处在平衡状态的孤立系统，系统各种可能的微观状态出现的概率是相同的。若体系的总微观状态数为，则任一微观状态出现的几率为：=1/。等概率原理是统计物理中的一个基本假设，它的正确性在于

27、从它推出的各种结论都与客观实际相符。等概率原理是平衡态统计物理的基础。,66,二、粒子数的分布,1.分布 设系统由大量全同近独立的粒子组成,具有确定的粒子数N,能量E和体积V。N个粒子在各个能级的分布：能级：1，2，3，简并度（量子态)：1,2,3,粒子数：n1，n2，n3，即：能级m 上有m个量子态，nm个粒子。以 nm 表示数列 n1，n2，n3，称为一个分布。以m表示数列1,2,3,，称之为“分布样式”。,67,对确定粒子数N、能量E和体积V的系统分布 nm 必须满足条件：,68,2.微观状态,微观状态是粒子的运动状态，也称为量子态，它反映粒子的运动特性。对于确定的分布，与之对应的微观状

28、态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态。,69,3.分布样式,对于确定的N、E、V系统，N个粒子在不同能级的分布可以有很多种方法，同一种分布有许多不同的分布样式。每一种分布对应于一种宏观状态；分布样式对应于微观状态。如实例：一个能级，三个量子态（分布样式），两个粒子。一种分布，几种不同的微观状态。玻尔兹曼系统9种微观状态，费米系统3种，玻色系统6种。,70,三.系统的微观状态数,1.玻尔兹曼系统 N个粒子可以分辨，可认为是经典全同粒子。非简并情况：每个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制。对粒子加以编号，则nm粒子占据能级m的一个量子态，是彼此独立、互不关联的。分布状态为：能级：1，2，3，

29、简并度：1，1，1，波函数：1，2，3，粒子数：n1，n2，nm，（m=1,2,3,k）,71,首先从粒子总数N中取n1个粒子占据1能级，组合数为；再从N-n1中取n2个粒子占据n2能级，组合数为，以此类推。总的微观状态数是各能级取法组合数的乘积：,72,能级是简并的，一个能级对应于若干个波函数。能级：1，2，m，简并度：1，2，.m，波函数：(11，12，11)，(21，22，22)(m1，m2，mm)粒子数：n1，n2，nm，（m=1,2,3,k）,73,能级m上的粒子有m个状态可取，则微观状态数就增大m倍。nm粒子中的每一个粒子都可有m个状态可取，则微观状态就增大mnm倍，则：上式是体系

30、所有可能分布总和的微观状态数。,（Maxwell-Boltzmann）,74,2.玻色系统,N个粒子不可分辨，可认为是量子全同粒子，且每个个体量子态容纳的粒子数不受限制。能级m非简并。由于粒子不可分辨，在任一能级上nm个粒子的分布只有一种方式。能级m简并。简并度为m，nm个粒子在m个不同量子态上的分布方式就象nm个相同的球在m个盒子中的分布一样。,75,计算nm个粒子占据m上m个量子态的可能方式。用小格代表量子态，用小圆圈代表微观粒子，将最左方固定为量子态1。小方格和小圆圈的可能组合数（nm+m-1）!。由于粒子的不可分辨，扣除粒子之间的相互交换数nm!，和量子态之间的相互交换数(m-1)!,

31、76,能级m的微观状态数为：各能级的结果相乘，得玻色系统与分布nm相应的微观状态数为：,（Bose-Einstein）,77,3.费米系统,N个粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。nm 个粒子占据m上的m个量子态，相当于从m个量子态中挑选nm个来为粒子所占据（m nm）,共有 种可能方式。各能级的结果相乘，得费米系统与分布nm相应的微观状态数为：,（Fermi-Dirac）,78,(4)经典极限条件,如在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 经典极限条件(非简并条件):在所有能级上，粒子数都远小于量子态数。意味着，平均而言，处在每一个量子态上的粒

32、子数均远小于1。,79,在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的粒子数远小于1，粒子间的关联可忽略，全同性的影响只表现在因子1/N!上。,80,(5)经典统计中的分布和微观状态数,系统在某一时刻的运动状态用N个粒子的坐标(qi1，qi2，,qir)和动量(pi1,pi2,pir)确定,相应于空间的N个点。为计算微观状态数,将qi 和 pi 分为大小相等的小间隔,使，对于具有r个自由度的粒子,相应于空间中的一个相格。假使h0足够小,就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态。处在同一相格的代表点,代表相同的运动状态。,81,将 空间划分为许多体积元(m=1,2,)，以 表示运动状态处

33、在 的粒子所具有的能量,N个粒子处在各 的分布可描述如下:体积元 简并度 能量 粒子数经典统计中与分布 nm 对应的微观状态数，参照玻尔兹曼系统得,82,第五节 玻尔兹曼（M-B）分布,83,一、最可几分布 微观状态数出现最多（概率最大）的分布，是最具代表性的分布。根据等几率原理，微观状态数最多的分布出现的几率最大。最可几分布的两个重要特点：1.当粒子数目很大时，其它分布中的微观状态数与之相比可以忽略；2.最可几分布中的任一微观状态出现的几率最小，且随体系粒子数目的增多而进一步减小。,84,二、玻尔兹曼分布,M-B系统中最可几分布，称玻尔兹曼分布。,斯特令公式：lnm！=m（lnm-1），（m

34、1）,M-B系统中的最可几分布是使M.B为极大的分布。lnM.B随M.B的变化是单调的，可等价讨论使lnM.B为极大的分布。,85,使ln为极大的分布nm，必使ln=0,注：这些nm不完全独立，它们满足一定条件。,N1，考虑nm1，m1，利用斯特令公式,86,、称拉格朗日未定乘子。,麦克斯韦-玻尔兹曼分布,87,、拉氏乘子、由下两式确定,88,能级m有m个量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数是相同的。处在能量s的量子态s上的平均粒子数fs,，,89,把M-B版经典系统的微观状态表达式和经典系统的微观状态表达式比较，可以得出经典系统中的分布表达式：,和分别由下面条件决定：,90,第六节 玻

35、色分布和费米分布,91,一、玻色分布玻色系统,(N1，nm1，m1),92,玻色系统中粒子的最概然分布，称为玻色-爱因斯坦分布。,93,二、费米分布,费米系统,取对数得：,（m 1，nm 1，m-nm 1）,94,类似推导玻色分布方法得费米系统中粒子的最概然分布，也称费米-狄拉克分布或费米分布。,拉氏乘子、由下式确定,95,对玻色分布和费米分布，能级l 有l 个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。处在能量为s的量子态s上的平均粒子数为：,拉氏乘子、由下式确定,96,三、三种分布的关系,参数 和 由下述条件确定,玻尔兹曼分布,玻色分布,费米分布,97,如参数 满足条件 e1

36、玻色分布和费米分布都过渡到玻尔兹曼分布。此时反之，如对所有的能级，均成立，必须e1。上述二式是等价的。e1 均称为经典极限条件或非简并条件。,（对所有m）,98,经典极限条件满足时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻尔兹曼分布，但它们的微观状态数是不同的。,定域系统和满足经典极限的玻色（费米）系统虽然遵从同样的分布，但它们的微观状态数不同。前者为M.B,后者为M.B/N!。对由分布函数导出的热力学函数（如内能、物态方程），两者具有相同的统计表达式。而对如熵和自由能等与微观状态数有关的热力学量，两者的统计表达式有差异。,99,思考题与习题1.经典和量子方法对粒子运动状态描述的区别。2.如何对系统微观运动状态进行描述。3.什么是等概率原理？4.玻尔兹曼、玻色和费米分布各自适合什么系统？在满足经典极限的情况下，三种分布的关系。P120，5.1、5.2、5.3,