流体力学第十一章流体绕过物体的流动.ppt
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1、流 体 力 学,退 出,中国科学文化出版社,第十一章 流体绕过物体的流动,平面势流 流体绕过圆柱体的流动 流体绕过球体的流动,第一节,第二节,第三节,退 出,返 回,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,工程上经常遇到的流体绕过物体的流动,称为绕流。如流体绕过平板、换热器壳程流体绕过换热管、河水绕过桥墩等的流动。显然,在绕流过程中,物体会影响流体的流动,导致流场中流体质点的速度和压力重新分布。同时流体也会对被绕流的物体产生作用力。本章主要研究流体绕过不同形状物体时,物体表面附近的流速、压力分布及流体对被绕流物体的作用力。平面势流是指流场中所有流体质点在每一时刻的速度都平行于同一固定平
2、面,并且在该平面的任意一根垂直线上所有点处的流体质点速度都相同的流动。严格说来,自然界中平面势流并不存在。实际流场边界附近总是存在着不符合平面势流的偏差,这主要是由流体粘性引起的。但在很多情况下,为了简化问题,通常先把某些流动作为平面势流来处理,然后再按照实际边界条件对其进行适当的修正。,退 出,返 回,第1页,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第2页,一、势函数与流函数,(一)势函数,势流即无旋流动,有,即,(11.1),此时存在一速度势函数,满足,显然式(11.1)是存在此全微分的充分和必要条件,又由于,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,
3、返 回,第3页,比较,对应的系数,可得式(11.2)说明,速度矢量在三个坐标轴上的投影,等于速度势函数对相应坐标方向的偏导数。速度势函数的这一重要性质,对任何方向来说都是,(11.2),正确的。即任意点 上的速度 沿任一曲线l方向的分量,等于该点速度势函数 沿l方向的方向导数,如图11.1所示。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第4页,下面分析势函数的一些性质及物理意义。(1)不可压缩无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程。不可压缩流体的连续方程为,类似地,在平面极坐标中有,(11.3),式中,为径向速度;为切向速度。,将式(11.2)代入上式则得,(11.4),此式
4、即为拉普拉斯方程。因此,不可压缩流体无旋运动的速度势函数 是坐标、的调和函数。对于平面势流,不可压缩流体的连续方程可写成,(11.5),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第5页,平面极坐标中不可压缩流体的连续方程为平面极坐标中的拉普拉斯方程为(2)在势流情况下,沿任何一条曲线 的速度环量等于、两点的速度势之差,与曲线形状无关。速度环量为,(11.6),将式(11.2)代入上式可得,(11.7),若 点和 点重合,则 为封闭曲线,环量为零。由此可知:若速度势函数是单值函数,则在无旋流动中,沿任意封闭曲线的环量等于零。若势函数不是单值的,上述结论不成立。,(3)速度
5、在任意方向的分量为势函数对该方向的偏导数。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第6页,(二)流函数流函数是流体力学研究中的另外一个重要的工具。下面讨论不可压缩稳定平面势流的流函数。平面流动的流线微分方程为上式存在全微分的条件是,显然该式就是连续性方程,或,(a),(b),满足,(11.8),,所以存在全微分,及式(a)。将式(11.8)代入(b)式得到,(11.9),其中 是任意常数。方程(11.10)是流线族的方程,取某一确定的值,就可得到流线族上某一确定的流线。函数 称为流函数。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第7页,积分上式
6、就可得到流线方程,(11.10),(11.11),(11.12),同理可得,平面极坐标中流速与流函数和势函数的关系为,(11.13),使速度势函数等于任意常数,即,对比式(11.2)及式(11.8),可得直角坐标系中流速与流函数和势函数的关系,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第8页,可以得到一簇曲线称为等势线,取某一确定的值,就可得到等势线族上某一确定的等势线。下面讨论流函数 的性质和物理意义。(1)在稳定的平面势流中,流线族和等势线族相互正交。式(11.11)交叉相乘后有,可见流线和等势线是正交的。利用此性质可根据流动的势函数来求其流函数,反之亦然。,(2)势
7、流时的流函数亦为调和函数,满足拉普拉斯方程式。利用平面势流的条件 得,。再利用式(11.11)得,,此即拉普拉斯方程式。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第9页,(3)流经任意曲线 的流量(亦即流经单位宽度曲面 的流量),等于曲线两端点上流函数值之差,而与曲线形状无关。如图11.2所示,在一平面势流中,为任意曲线,在其上任取一点,外法线为。通过 点附近单位宽度、线段长为 的微元面的流量为,其中 为点 法线方向的分速度 而法线 与坐标轴夹角的余弦为,由此,,,考虑到式(11.11)得,(11.14),式(11.14)表明,流函数的微分就等于单位时间内流经单位宽度、
8、长度为 的微元曲面的流量。因此流过曲线 的流量为,(11.15),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第10页,式(11.15)表明,若曲线 本身是某一根流线,而沿流线 常数,则流过 曲线的流量;流经二条流线 和 间任意曲线的流量均是定值,为,而与二流线上、点的位置无关。若 和 两点重合,即一封闭曲线,则在流函数 为单值时,流量。若 不是单值函数,则流经封闭曲线的流量将不等于零。,(一)均匀直线流动深度极大的流体平行流过平面时,除临近平面处的边界层外,各点的速度都是大小相等、方向相同的。这种流动称为均匀直线流动。假定流动方向与 轴成 角,如图11.3所示。令任意点的
9、速度为,且 为定值,则、方向的分速度为,二、简单流动分析,(a),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第11页,其速度势函数及流函数可由下式求出,(b),积分上式可得到势函数 和流函数,(11.16),由,可知,等势线是一簇与流线相垂直的平行线。若流动平行于 轴(),则函数 及 成为,(11.17),若流动平行于 轴时(),则,(11.18),式中常数 是 的函数,因为对 积分时,是固定的。将式(11.19)代入上式,可得,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第12页,已知一二元流动的速度势函数为,(二)直角内的流动,(11.19),其中
10、 是实数,且。根据上述分析,可由势函数 确定流函数。由式(11.11)可得到,(b),(a),为确定任意函数,将式(b)对 求导得,考虑式(11.11),式(c)可写成,(c),又由式(11.19)可得 因而有,即。将 值代入式(b)中,得到流函数,由此得流线方程为,(11.20),当 时,、或者、,曲线在第一或第三象限。当 时,、或者、,曲线在第二或第四象限内。若,则两坐标轴 和 就是流线,称为零流线。在坐标原点处,故原点为驻点。根据速度矢量可判定流场中任意点的速度方向。例如取 轴上某一点,其坐标为,其速度为,亦即点 的速度方向是沿着 轴的正方向。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面
11、势流,退 出,返 回,第13页,图11.4 直角内流动的 流线和等势线,即流线是一双曲线族,、坐标轴是其渐近线,如图11.4所示。,由式(11.19)可知,等势线亦是一双曲线族,坐标轴、的等分角线为其渐近线,等势线与流线是正交的。对于理想流体,由于没有粘性,可以把零流线、轴的正轴部分当作是固体壁面,故该流动可用来表示直角内的流动(图11.5)。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第14页,对于过 和 两端点的任意曲线,流过的流量为这是由于 和 点都处在零流线上的缘故。,由式(11.19)可知,等势线亦是一双曲线族,坐标轴、的等分角线为其渐近线,等势线与流线是正交的
12、。对于理想流体,由于没有粘性,可以把零流线、轴的正轴部分当作是固体壁面,故该流动可用来表示直角内的流动(图11.5)。,设流体从平面内o点源源不断流出,并均匀地向四周扩散,这样的流动称为点源流动,o点称为源点,如图11.6所示。以源点o为坐标原点取极坐标系,若其体积流量为,则任意点 的流速为,(a),速度方向与半径 方向一致,其x、y方向的速度分量为,(b),(三)点源和点汇,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第15页,(11.21),由此得到,积分上式可得势函数为,又,积分上式得流函数为,(11.22),式(11.21)表明,等势线方程为 或,即等势线是以源点o
13、为圆心的同心圆。由式(11.22)可知流线方程为 或,它是以源点o为起点的半辐射线,与等势线正交,如图11.6所示。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第16页,(11.23),由式(a)可知,点源流动在源点或点汇流动在汇点o处流速等于无穷大,故源点和汇点都是速度不连续的点,且流经包围源点和汇点的任何封闭曲线上的流量都等于。,如果把流出流体的点源o改为吸收流体的汇集点o,即四周流体沿平面均匀地汇集到o点,由汇集点o将流体吸收,这种流动称为点汇,o点称为汇点。显然这种流动正好是点源流动的逆过程,其各种表达式与点源流动的形式相同,只是符号相反,可直接写出下式,当,即在
14、柱体表面处,由此可得 或。任意点 的速度 在x、y方向的分速度为,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第17页,如图11.7所示,设有一圆柱体绕其中心轴旋转,其周围的流体将被带动跟着做旋转运动。假定圆柱体无限长,半径为,旋转角速度为。流场中任一点的速度 的方向与极半径 相垂直,其大小与极半径 成反比。当 趋近于 时,该处流体将不受圆柱体旋转的影响,即 趋近于0。这种平面流动称为纯环流流动。图中任意点 的速度可以写成,其中 是常数。,(四)纯环流流动,由式(11.24)可知,当 时,。因此原点是个不连续点。但由于,(11.24),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节
15、平面势流,退 出,返 回,第18页,所以除原点外,纯环流流动符合连续流动条件,包围原点的任意曲线的环量应等于常数,其值为,(11.25),故式(11.24)可写成,(11.26),(11.27),纯环流流动除原点外有流函数 存在积分得,设有二个势流,其速度势为 和,分别满足拉普拉斯方程,即,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第19页,除原点外,纯环流运动是无旋运动,这种流动又称点涡流动。其速度势满足积分得 由式(11.27)、(11.28)可知纯环流流动的流线是以原点为中心的同心圆,其等势线则是以原点为起点的半辐射线(图11.8)。对比式(11.21)、(11.2
16、2)及式(11.27)、(11.28),可知,,(11.28),只要把点源流动的流函数及势函数互换一下并把 换成,就可得到描述纯环流运动的流函数及势函数。,三、势流的叠加原理,(11.29),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第20页,将上式中两方程相加得,(11.30),可见两个速度势之和,(11.31),也满足拉普拉斯方程,表明速度势 可代表某一新的不可压缩流体的平面势流。,复合流动的速度分量,(11.32),同样可证明,对流函数也有,(11.33),即复合流动的流函数等于两个原始流动流函数的代数和。,由此可得出结论:几个势流可叠加得到新的势流,只需把各原始流
17、动的流函数或势函数简单地代数相加即可。同样,在复杂势流问题下,亦可把复杂流动分解成几个简单的流动,分别求解这些简单流动的流函数和势函数,然后叠加即可得到复杂流动的解,使问题大大简化。下面根据这一原理来分析几个较典型的流场。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第21页,(一)源环流动,源环流动是点源流动与纯环流动的叠加。点源流动的流函数及势函数为,(a),纯环流流动的流函数及势函数为,(b),这两个简单流动叠加的结果为,(11.34),速度势方程为,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第22页,(11.35),或,流线方程为,或,(11.
18、36),等势线与流线是两族正交的对数螺旋线,如图11.9所示。,在离心式水泵的叶轮内,流体的流动符合式(11.36)所表示的流动规律。因为当水泵叶轮不转动而供水管照常供水时,叶轮内的流动为点源流动;当叶轮转动而供水管不供水时,叶轮内的流动为纯环流流动;当叶轮转动、供水管又照常供水时,叶轮内的流动为点源流动与纯环流流动的叠加。为防止流动时叶轮内流体与叶轮发生碰撞,离心泵的叶轮叶片应制成式(11.36)所示的流线型式。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第23页,(二)汇环流动汇环流动是点汇流动与纯环流流动叠加的结果。其流函数与势函数为这种流动的特点与源环流动很接近,
19、只是后者是由中心向外流,前者是由四周向中心流,流线均为对数螺旋线。如旋风燃烧室、旋风除尘器等设备中的旋转气流就是一种汇环流动。(三)偶极流,其流线方程为,(11.38),把源点及汇点间距离为无穷小的点源及点汇(其流量各为 和)叠加起来形成的流动称为偶极流。,设源点与汇点间距离为,平面内任意点 至点源和点汇的距离分别为 和,如图11.10所示,,(11.37),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第22页,则点 处的势函数为,即,(a),由图11.10可知,(b),将式(b)代入式(a)可得,(c),若使源点和汇点无限接近,即 时,可将式(c)按级数,的型式展开,并近
20、似取第一项,由此可得,(d),假定 时,则 趋于极限值。称为偶极流的偶极矩,为一向量,其方向由点源指向点汇。把 值代人式(d)、(f),并使,则得到偶极流的势函数和流函数为,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第23页,图11.10中所示流动的流函数为,(e),由于,,,而,所以,式(e)可改写成利用展开式 当 时,式(e)成为,(f),第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第24页,(11.40),(11.39),偶极流的流线方程为,或,可见,流线是圆心为(0,)、半径为 的圆周族,并在坐标原点与 轴相切(图11.11)。因此流体是沿着上
21、述圆周由坐标原点流出,重新又流入原点。显然经过任意包围偶极点的封闭曲线的流量等于零,因为该曲线的端点总是在偶极流的同一流线上。,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第25页,等势线族的方程为,是圆心为(,0)、半径为 的圆周族,与流线正交,在坐标原点与 轴相切,如图11.11中的虚线所示。,(11.41),偶极流的压力场为,(四)平行直线流动与点源的叠加将坐标原点取在点源处,平行直线流动的速度为,方向自左向右平行于 轴,如图11.12所示。由式(11.17)可知,平行直线流动的势函数 和流函数 为,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第2
22、6页,将式(11.21)、式(11.22)表示的点源流动的势函数 和流函数 与上式叠加得到复合流动的势函数 和流函数 分别为,等势线和流线方程分别为,(11.42),其速度场为,(11.43),(11.44),在这种复合流动中,接近点源时的流速很大,但流速随离点源距离的增大而减小,理论上点源的影响将在无穷远处消失。由于有不变的平行于 轴的流速,因此在 轴负方向上某点 的流速将为0,即点源流动的流速与平行流动的流速刚好大小相等、方向相反,相互抵消。此点 离原点o的距离为,第十一章 流体绕过物体的流动,第一节 平面势流,退 出,返 回,第27页,上式表明,随 的减小而增大,当 时,;随 的增大而减
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