泊松(Poisson)过程.ppt

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1、第四章 泊松过程,在互不相交的区间上,状态的增量是相,互独立的，有,特征:,一、齐次泊松过程,1、独立增量过程,则称增量具有平稳性.,增量 X(t)-X(s)的分布函数只依赖于,当增量具有平稳性时,是齐次的或时齐的.,称相应的独立增量过程,特征:,区间的长度t-s,而与它的位置无关.,考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：,(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;,(2)意外事故或意外差错的发生;,(3)要求服务的顾客到达服务站.,2、齐次泊松过程的概念,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随,时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.,一个计数过程一定满足：,(1)N(t)取非负整数值；,(2

2、)如果st,则N(s)N(t);,(3)N(t)在0,)上右连续且逐段取常数;,(4),计数过程的一个典型样本函数,(2)是独立增量过程;,定义,(3)对任意,注：,(1)条件(1)表明计数从0时刻开始.,(2)条件(2)通常需要根据实际过程验证.,(3)条件(3)同时表明过程具有平稳增量.,均值函数:,方差函数:,泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件数目的均值.,3.齐次泊松过程的数字特征,由于,(1),协方差函数:,相关函数:,(2),(3),(4),EN(5)=10,DN(5)=10,设,表示事件第n次出现的等待时间.,表示第n-1次,事件发生到第n次事件发生的时间间隔.,4.齐

3、次泊松过程的两个相关随机变量,注：,两者均为随机变量.,(1)时间间隔的分布,先求 的分布函数：,表明 服从均值为1/的指数分布.,再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数,由于 PT2t|T1=s,=P在(s,s+t内没有事件发生|T1=s,=PN(s+t)-N(s)=0|N(s)-N(0)=1,=PN(s+t)-N(s)=0,故,表明 服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.,(独立增量过程),重复上面的推导，可得下面的结论：,结论:,设N(t),t0是强度为的泊松过程，则,意义:,表明在概率意义上过程在任何时刻重新开始，,即泊松过程是无记忆的.,(2)等待时间的分布,由于,利用矩母函数容

4、易证明,即Wn具有概率密度,二、泊松过程的推广,1、非齐次泊松过程,注：,从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.,则有,例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求(1)7时至9时来站乘车人数的数学期望；(2)12时至14时有2000人乘车的概率.,解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数,7时至9时为t(2,4,则由非齐次泊松过程的性质可

5、得7时至9时乘车人数的数学期望为,12时至14时有2000人来站乘车的概率为,(2),设N(t),t0是强度的泊松过程,Yk,k=1,2,是 独立同分布随机变量序列,且与N(t),t0独立,令 则称为复合泊松过程.例 设N(t)是在(0,t内来到某商店的顾客数,Yk是,2、复合泊松过程,设 是复合泊松过程，则(1)X(t),t0是独立增量过程；(2)X(t)的特征函数是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数；(3)若，则,定理：,例2 设移民到某地的户数是一个速率为,（每周）的泊松过程,若每户人口,求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.,数为独立同分布的随机变量,可得五周内移民到该地人口数的的期望,解：,将 代入,由Yn的分布律可得,设进入到某超市的人数是一个速率为,（每小时）的泊松过程,若每个人消费,小时内总营业额的期望和方差.,的金额（元）为独立同分布的随机变量,课堂练习,