概率和数理统计.ppt

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1、第7章 概率和数理统计,概率和数理统计是大学数学的重要内容，无论是在科学研究还是在工程实际中都有着非常广泛的应用。在MATLAB中，提供了专门的统计工具箱Staticstics，该工具箱有几百个专用于求解概率和数理统计问题的函数。本章将详细的介绍随机数的产生，随机变量的概率密度函数和数字特征，以及假设检验、方差分析和统计绘图等。,7.1 随机数的产生,随机数的产生是概率统计的基础，概率论和数理统计就是对各种样本数据进行分析。在MATLAB中，各种样本数据可以用一些经典的随机分布数来表示。下面对常用的二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布等随机数据进行详细的介绍。,7.1.1 二项分布随机数据的

2、产生,在MATLAB中，使用函数binornd()产生二项分布的随机数据。该函数的调用方式如下：R=binornd(N,P)：在该函数中N和P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N和P的二项分布随机数。R=binornd(N,P,M)：在该函数中参数M指定随机数的个数，与返回结果R同维数。,7.1.2 泊松分布,在MATLAB中，使用函数poissrnd()产生泊松分布的随机数据。该函数的调用方式如下：R=poissrnd(LAMBDA)：在该函数中LAMBDA为泊松分布的参数，返回服从参数为LAMBDA的泊松分布随机数，其中R和LAMBDA维数相同。R=poissrnd(LAMBDA,M,N

3、)：在该函数中LAMBDA为泊松分布的参数，返回服从参数为LAMBDA的泊松分布随机数矩阵，矩阵的大小为。,7.1.3 指数分布随机数据的产生,在MATLAB中，使用函数exprnd()生成具有指数分布的随机数据。其调用格式如下：R=exprnd(MU)：该函数返回一个以MU为参数的指数分布的随机数，其中R和MU同维数。R=exprnd(MU,M,N)：该函数返回一个以MU为参数的指数分布的随机数矩阵，该矩阵的大小为。,7.1.4 均匀分布随机数据的产生,1连续型均匀分布在MATLAB中，使用函数unifrnd()生成连续型均匀分布的随机数据。该函数的调用方式如下：R=unifrnd(A,B)

4、：返回区间A,B上的连续型均匀分布；R=unifrnd(A,B,M,N)：返回区间A,B上的连续型均匀分布矩阵；2离散型均匀分布在MATLAB中，使用函数unidrnd()生成离散型均匀分布的随机数据。该函数的调用方式如下：R=unidrnd(N)：返回一个离散型均匀分布，R和N同维数；R=unidrnd(N,MM,NN)：返回一个离散型均匀分布矩阵，矩阵的大小为。,7.1.5 正态分布随机数据的产生,在MATLAB中，采用函数normrnd()生成参数为MU和SIGMA的正态分布随机数据。该函数的调用方式如下：R=normrnd(MU,SIGMA)：该函数返回均值为MU，标准差为SIGMA的

5、正态分布随机数据，其中R可以为向量，也可以为矩阵。R=normrnd(MU,SIGMA,M)：该函数中参数M指定随机数的个数，与返回值R维数相同。R=normrnd(MU,SIGMA,M,N)：该函数返回一个的矩阵。,7.1.6 其他常见分布随机数据的产生,对于其他常见分布的随机数据的产生，其函数调用方式与上面相同。表7.1列出了常用的随机数据产生函数。对于这些函数的详细使用情况用户可以通过MATLAB的帮助系统进行查看，或通过在命令行输入help和函数名查看某函数的功能和使用方法。,7.2 概率密度函数,在MATLAB中，计算某概率分布在指定点的概率密度的函数，都以代表特定概率分布的字母开头

6、，以pdf（Probability Density Function）结尾。下面介绍常用的离散分布和连续分布的概率密度函数，以及三大抽样分布的概率密度函数。,7.2.1 常见离散分布的概率密度函数,1二项分布函数binopdf()产生二项分布密度函数，调用格式为：Y=binopdf(X,N,P)，产生参数为N和P的二项分布。2泊松（Poisson）分布函数poisspdf()产生泊松分布的密度函数，调用格式为：Y=poisspdf(X,LAMBDA)，产生参数为LAMBDA的泊松分布。,3几何分布函数geopdf()产生几何分布的密度函数，该函数的调用格式为：Y=geopdf(X,P)。4均匀

7、分布（离散）对于离散型均匀分布，采用函数unidpdf()函数来产生概率密度函数，其调用格式为Y=unidpdf(X,n)，离散型均匀分布的参数为n，输出参数Y和输入参数X有相同的维数。,7.2.2 常见连续分布的概率密度函数,均匀分布（连续）在MATLAB中，采用函数unifpdf()计算连续型均匀分布的密度函数，其调用格式为Y=unifpdf(X,A,B)，该函数产生区间A,B上的均匀分布。2指数分布在MATLAB中，采用函数exppdf()产生指数分布概率密度函数，其调用格式为Y=exppdf(X,MU)，该函数产生参数为MU的指数分布，参数MU的默认值为1。输出参数Y和输入参数X可以为

8、向量，也可以为矩阵，有相同的维数。3正态分布在MATLAB中，采用函数normpdf()产生正态分布的概率密度函数，其调用格式为Y=normpdf(X,MU,SIGMA)，该函数产生参数为MU和SIGMA的正态分布。参数MU和SIGMA的默认值分别为0和1，即标准正态分布。,7.2.3 三大抽样分布的概率密度函数,1卡方分布在MATLAB中，采用函数chi2pdf()产生卡方分布，该函数的调用格式为Y=chi2pdf(X,V)，该函数产生自由度为V的卡方分布，输出参数Y和输入参数X有相同的维数。2t分布在MATLAB中，利用函数tpdf()实现t分布的概率密度函数，其调用格式为Y=tpdf(X

9、,V)，产生自由度为V的t分布。3F分布在MATLAB中，采用函数fpdf()产生F分布的概率密度函数，其调用格式为：Y=fpdf(X,V1,V2)，其中V1为第一自由度，V2为第二自由度。,7.3 随机变量的数字特征,下面对随机变量的数字特征进行介绍，包括平均值和中位数，数据的排序，以及期望和方差。其中，期望和方差是随机变量的两个最重要的数字特征。,7.3.1 平均值和中位数,1算术平均值在MATLAB中，采用函数mean()计算一组样本数据的算术平均值，其调用格式为：y=mean(X)：该函数返回X的平均值，当X为向量时，返回X中各元素的算术平均值；当X为矩阵时，返回X中各列元素的算术平均

10、值构成的向量。y=mean(X,DIM)：该函数返回在给定的维数DIM上的算术平均值。,2忽略NaN计算算术平均值在MATLAB中，函数nanmean()用于求一组数据中除了NaN以外的数据的算术平均值，其调用格式为：Y=nanmean(X)：该函数返回X中除NaN以外的算术平均值，当X为向量时，返回X中各元素的算术平均值；当X为矩阵时，返回X中各列元素的算术平均值构成的向量。Y=nanmean(X,DIM)：该函数返回在给定的维数DIM上的除NaN以外的数据的算术平均值。,3几何平均数MATLAB中，采用函数geomean()来计算样本数据的几何平均数。4调和平均数在MATLAB中，采用函数

11、harmmean()计算样本数据的调和平均数。,5中位数中位数是样本数据中大小位于中间的那个数。在MATLAB中，使用函数median()计算样本数据的中位数。该函数的调用格式为：Y=median(X)：该函数返回X中数据的中位数，当X为向量时，返回X中各元素的中位数；当X为矩阵时，返回X中各列元素的中位数组成的向量。Y=median(X,DIM)：该函数返回在给定的维数DIM上的中位数。,6忽略NaN的中位数忽略NaN的中位数，是指样本数据中除了NaN以外的数据中大小位于中间的数。在MATLAB中，利用函数nanmedian()计算样本数据中除NaN以外的数据的中位数。该函数的调用格式为：Y

12、=nanmedian(X)：该函数返回X中除NaN以外的数据的中位数，当X为向量时，返回X中除NaN以外各元素的中位数；当X为矩阵时，返回X中除NaN以外各列元素的中位数组成的向量。Y=nanmedian(X,DIM)：该函数返回在给定的维数DIM上的除NaN以外的中位数。,7.3.2 数据的排序,数据的排序不仅包括数据的排序，还包括求数据的最大值和最小值等。下面分别进行介绍。1数据的排序在MATLAB中，采用函数sort()对数据进行排序，2按行进行数据排序在MATLAB中，使用函数sortrows()进行按行数据排序。3求最大值和最小值在MATLAB中，使用函数range()求数据中最大值

13、和最小值之差。使用函数minmax()获取数据的最大值和最小值。,7.3.3 期望和方差,期望和方差是是刻画随机变量性质的两个最重要的数字特征，是概率论和数理统计中非常重要的内容。数字特征能够比较容易的估算出来，在理论和实践上都具有重要的意义。期望和方差的计算是概率论和数理统计的基础。1、使用函数mean()来计算样本数据的期望。2、采用函数var()来计算样本数据的方差。3、采用函数std()来计算样本数据的标准差。,7.3.4 常见分布的期望和方差,下面对一些常见分布的期望和方差进行计算，主要包括二项分布、均匀分布、正态分布、指数分布、t分布和F分布等。1、函数binostat()计算二项

14、分布的期望和方差。2、函数unifstat()计算均匀分布的期望和方差。3、函数normstat()计算正态分布的期望和方差。4、函数expstat()计算指数分布的期望和方差。5、函数tstat()计算t分布的期望和方差。6、函数fstat()计算F分布的期望和方差。,7.3.5 协方差和相关系数,1协方差在MATLAB中，利用函数cov()计算协方差，调用格式为：C=cov(X)：输入参数可以为向量和矩阵。当X为向量时，该函数的返回值为该向量的方差。当输入参数X为矩阵时，矩阵的每一行代表一组样本数据，每一列代表一个变量，该函数的返回值为该矩阵的协方差矩阵。C=cov(X,Y)：该函数计算输

15、入参数X和Y的协方差矩阵，其中输入参数X和Y的行数和列数相同。2相关系数在MATLAB中，采用函数corrcoef()计算相关系数。,7.2.4 偏斜度和峰度,1偏斜度偏斜度和峰度是用来表示随机变量分布的形状与对称形式。在MATLAB中，采用函数skewness()计算样本数据的偏斜度。2峰度在MATLAB中，采用函数kurtosis()计算随机变量的峰度。,7.4 参数估计,统计量中最重要、最常用的是均值和标准差，由于样本是随机变量，它们作为样本的函数自然也是随机变量，当用它们去推断总体时，有多大的可靠性就与统计量的概率分布有关，因此我们需要知道几个重要分布的简单性质。参数估计包括点估计和区

16、间估计。,7.4.1 点估计,用样本统计量来确定总体参数的一个数值。点估计分为矩估计法和极大似然估计法。评价估计好坏的标准有三个，分别是无偏性、有效性和一致性。,7.4.2 区间估计,区间估计会得到未知参数的置信区间，下面介绍均匀分布、指数分布、Beta分布和正态分布的参数估计。1、利用函数unifit()计算均匀分布的参数估计。2、利用函数expfit()计算指数分布的参数估计。3、利用函数betafit()计算Beta分布的参数估计。4、采用函数normfit()计算正态分布的参数估计。,7.5 假设检验,在进行假设检验时，首先提出假设，然后在认为此假设成立的条件下，选择合适的统计量，最后

17、做出判断。下面介绍常用的几种假设检验。,7.5.1 方差已知时正态总体均值的假设检验,在MATLAB中，如果已知总体的方差和均值时，使用函数ztest()进行假设检验。,7.5.2 方差未知时正态总体均值的假设检验,在MATLAB中，如果总体的方差和均值未知时，使用函数ttest()进行假设检验。,7.5.3 两个正态分布均值差的检验,如果两个正态分布的方差未知但相等时，在MATLAB中用函数ttest2()用于比较两个正态分布样本均值的假设检验。,7.5.4 两个分布一致性检验,在MATLAB中，利用函数ranksum()函数进行两个分布一致性的检验，即秩和检验。,7.6 方差分析,方差分析

18、（Analysis of Variance，ANOVA）是数理统计中常用的数据处理方法之一。一个复杂的事物，例如产品的质量，受到很多因素的影响，这些因素既相互制约又相互依存。方差分析的目的是通过数据分析找到对该事物有显著影响的因素。本节只介绍一种或两种因素对实验结果有无显著影响的情况。只有一种因素的情形称为单因素方差分析，有两种因素的情形称为双因素方差分析。,7.6.1 单因素方差分析,单因素方差分析是指实验中只有一个因素发生改变。在MATLAB中，单因素方差分析可以采用函数anova1()来实现。,7.6.2 双因素方差分析,如果在某项实验中，实验结果受到两个因素的影响，则称该实验为双因素实

19、验。对研究两种因素对实验结果的影响，需要进行双因素方差分析。在MATLAB中，双因素方差分析可以采用函数anova2()来实现。,7.7 统计图绘制,MATLAB具有很强的数据可视化能力，能够将数理统计中的数据绘制成图形，用图形进行更加形象的描述。下面介绍如何利用MATLAB来绘制统计图。,7.7.1 正整数的频率表,在MATLAB中，采用函数tabulate()产生正整数的频率表，该函数的调用格式为：T=tabulate(X)。输入参数为正整数构成的向量，返回值包含3列，第1列为向量的不重复的值；第2列为这些值出现的次数；第3列为这些值对应的频率。,7.7.2 样本数据的盒图,在MATLAB

20、中，采用函数boxplot()来绘制样本数据的盒图。该函数的调用格式为：H=boxplot(X,param1,val1,param2,val2,)。该函数的输入参数为矩阵，绘制每一列的盒图。,7.7.3 最小二乘拟合直线,在MATLAB中，使用函数lsline()绘制最小二乘拟合直线，该函数的调用格式为：lsine：返回已知样本数据的最小二乘拟合直线，可以使用除-、和.-之外的其它线条样式绘制图形。h=lsine：该函数返回函数句柄。,7.7.4 正态分布概率图,在MATLAB中，使用函数normplot()绘制正态分布概率图，该函数的调用格式为：normplot(X)：如果输入参数为向量，则

21、显示正态分布的概率图形；如果为矩阵，则显示每一列的正态分布概率图形。H=normplot(X)：该函数返回函数句柄。,7.7.5 经验累积分布函数图,在MATLAB中，使用函数cdfplot()绘制经验累积分布函数图，该函数的调用格式为：cdfplot(X)：该函数绘制样本数据为的累积分布函数图。输入参数可以为行向量或列向量，代表服从某种特定分布的随机样本。H=cdfplot(X)：该函数返回函数句柄。H,stats=cdfplot(X)：该函数返回样本数据的一些特征：stats.min：样本数据的最小值。stats.max：样本数据的最大值。stats.mean：样本数据的平均值。stats

22、.median：样本数据的中位数。stats.std：样本数据的标准差。,7.7.6 威布尔概率图,在MATLAB中，使用函数weibplot()绘制威布尔概率图。绘制威布尔概率图的目的是用图解的法估计来自威布尔分布的数据。该函数的调用格式为：weibplot(X)：如果输入参数为向量，则显示威布尔概率图；如果为矩阵，则显示每一列的威布尔概率图。如果是威布尔分布数据，那么图形是直线；否则图形可能产生弯曲。H=weibplot(X)：该函数返回所绘制直线的函数句柄。,7.7.7 分位数-分位数图,在MATLAB中，使用函数qqplot()绘制分位数-分位数图。该函数的调用格式为：qqplot(X

23、)：该函数的输入参数为行向量或列向量，绘制样本数据和标准正态分布的分位数-分位数图。qqplot(X,Y)：该函数的输入参数和的分位数-分位数图。H=qqplot(X,Y)：该函数返回所绘制直线的函数句柄。,7.7.8 当前图形加一条参考线,在MATLAB中，使用函数refline()给当前图形加一条参考线。该函数的调用格式为：refline(slope,intercept)：该函数的输入参数slope为直线的斜率，intercept为直线的截距。refline(slope)：该函数的输入参数slope=a,b，图中添加的直线为y=a*x+b。H=refline(slope)：该函数返回所绘制

24、直线的函数句柄。,7.7.9 当前图形加多项式曲线,在MATLAB中，使用函数refcurve()给当前图形加一条多项式曲线。该函数的调用格式为：refcurve(p)：该函数的输入参数p为多项式系数组成的向量，多项式的系数由高到低进行排列。H=refcurve(p)：该函数返回所绘制曲线的函数句柄。,7.7.10 样本的概率图形,在MATLAB中，使用函数capaplot()绘制样本的概率图形，该函数返回随机变量落入指定区间内的概率。该函数的调用格式为：capaplot(data,specs)：该函数的输入参数data为所给的样本数据，参数specs为指定的区间，函数返回落入该区间的概率。p

25、,h=capaplot(data,specs)：该函数有两个返回值，p为指定区间的概率，h为所绘制图形的函数句柄。,7.7.11 带有正态密度曲线的直方图,在MATLAB中，使用函数histfit()绘制带有正态密度曲线的直方图。该函数的调用格式为：histfit(data,nbins)：该函数绘制带有正态密度曲线的直方图，输入参数data为所给的样本数据的向量，参数nbins为指定的BAR个数，默认值为data中数据个数的平方根。h=histfit(data,nbins)：该函数返回图形的函数句柄。,7.7.12 在指定区间绘制正态密度曲线,在MATLAB中，使用函数normspec()在指定的区间绘制正态密度曲线。该函数的调用格式为：normspec(specs)：该函数在指定的区间specs绘制标准正态密度曲线，期望mu和标准差sigma分别为0和1。normspec(specs,mu,sigma)：该函数对正态分布的期望和标准差进行设置。p,h=normspec(specs,mu,sigma)：该函数返回所绘制图形的函数句柄。,7.8 本章小结,本章详细介绍了利用MATLAB进行概率和数理统计分析，重点讲解了随机数的产生，随机变量的概率密度函数和数字特征（包括期望、方差、协方差、相关系数、偏斜度和峰度等），以及假设检验、方差分析等。最后详细介绍了如何绘制统计图。,