样本空间的标准化.ppt

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1、第3讲 样本空间的标准化,陈 明 制作东南大学信息科学与工程学院,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,2,对应课本内容,附录A2.1 样本空间的标准化,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,3,学习要点,可数集合和不可数集合常见的泛函空间（距离空间、线性空间、赋范线性空间、内积空间）样本空间的标准化广义函数及其广义导数,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,4,集合映射,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,5,集合间元素个数的比较,显然，当两个集合能建立双射关系，则可以认为这两个集合具有“相同数目”的元素，否则可以认为

2、其所包含的元素的个数不等。特别，当人们面对无穷多个元素组成的集合的时候，这个准则显得非常重要。因为对于无穷集合，部分小于全体的概念不再成立。,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,6,可数集合和不可数集合,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,7,例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,8,例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,9,距离空间,距离空间只有几何结构（拓扑结构），没有代数结构几何结构：元素间的位置（排序）关系代数结构：元素间的运算关系,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,10,距离

3、空间之例1,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,11,距离空间之例2,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,12,距离空间之例3,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,13,线性空间的定义,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,14,线性空间的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,15,赋范线性空间,赋范线性空间既有几何结构，又有代数结构,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,16,赋范线性空间的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,17,内积空间的定义,

4、内积空间既有几何结构，又有代数结构,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,18,内积空间的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,19,对样本空间赋予几何和代数结构,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,20,例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,21,例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,22,随机对象,当一个概率空间的样本空间被标准化为一个线性空间之后，这个概率空间就称为随机对象。,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,23,随机变量的例子,2023/10/15,信息

5、与通信工程中的随机过程第2讲,24,随机向量的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,25,随机过程的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,26,随机矩阵的例子,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,27,样本空间标准化为两类空间,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,28,标准化之后的好处,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,29,概率空间的“质点分布模型”,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,30,概率集函数的转化,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲

6、,31,可数情形,如果样本空间是可数的，其概率分布情况就好像若干个离散的质点分布在样本点所在的位置上，这些质点的总质量为1，每个质点的质量等于该样本点的概率。此时，可以在该样本空间上定义一个所谓的概率质量函数，该函数将每一个样本点的坐标和该样本点所对应的单点事件的概率建立对应。用概率质量函数可以清楚地描述概率在可数样本空间上的分布特性。,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,32,不可数情形,如果样本空间不可数，其概率分布情况就好像总质量为1的质点连续分布在样本空间所在的空间区域内，在这种情况下，单个质点的质量可以为0，但一个小区域内不可数个质点的总质量不为0，也即单点事件的

7、概率可以为零，而不可数个这样的单点事件之并的概率则并不为零，所以此时无法用概率质量函数描述其概率特性。但是可以用概率密度函数或者概率分布函数来表征样本空间的概率特性，所谓概率密度函数就是定义在样本空间之上的一个函数，该函数将样本点的坐标和该样本点所对应的单点事件的“概率密度”建立对应。,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,33,结论,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,34,广义函数的原始例子,这和传统函数的概念有出入,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,35,广义函数的定义,在一些点上函数的取值为无穷大，这些无穷大值的“单点积分”有

8、限；无穷大值的单点积分：实际上是由类似于delta的极限方式取得。,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,36,泛函的定义,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,37,函数的支集,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,38,广义函数的泛函定义,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,39,Delta函数的泛函定义,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,40,广义导数的定义,一阶广义导数的定义：,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,41,Heavyside函数（单位阶跃函数）的广义导数,2

9、023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,42,Delta函数的导数,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,43,第3讲小结,用双射定义可数集合和不可数集合常见的泛函空间有距离空间、线性空间、赋范线性空间、内积空间样本空间的标准化：赋予样本空间以几何与代数结构之后，概率空间就转化为质点在空间分布的质点分布模型，用概率密度函数等可以描述概率分布随机对象是样本空间为线性空间的概率空间；常见的随机对象有：随机变量、随机向量、随机过程、随机矩阵等广义函数及其广义导数是通常函数和导数概念的推广,2023/10/15,信息与通信工程中的随机过程第2讲,44,随机过程第3讲 样本空间的标准化 终,