极限运算法则(少学时简约型).ppt

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1、第五节 极限运算法则,本节概要,由于初等函数由基本初等函数经四则运算和复合运算构成，而微积分以极限为工具研究初等函数，故在微积分中主要讨论极限的四则运算和复合运算。由极限与无穷小的关系，极限运算的讨论可归结为无穷小运算的讨论。,极限理论可分为两个部分，一是极限概念，二是极限计算。在理解极限概念的基础上，可进一步讨论极限的计算问题。利用极限与无穷小的关系，由无穷小的代数运算性质可方便地导出极限的四则运算法则。利用极限的四则运算法则可将初等函数的极限计算问题转化为基本初等函数的极限计算。从而只需求出基本初等函数的极限就可计算出相当一部分初等函数的极限。,如果 lim f(x)=A，lim g(x)

2、=B，则lim f(x)g(x)存在，且有 lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x).,(1)函数和的极限,因为 lim f(x)=A，lim g(x)=B，由极限与无穷小的关系有 f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中 lim(x)=0，lim(x)=0.于是对不受极限号约束的函数形式有 f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=(A B)+(x)(x).由无穷小的代数运算性质知(x)(x)也是无穷小。再由极限与无穷小的关系有 lim f(x)g(x)=A B=lim f(x)lim g(x).,(2)关于定理 1 意义的分析和讨论,对定理 1 条件的理解,定

3、理 1 的条件为，在自变量同一变化过程中，两个单项极限均存在，即 lim f(x)=A，lim g(x)=B.只有在两个单项极限都存在的条件下，两极限的和 lim f(x)lim g(x)才有意义。此时才能考虑极限和是否等于和的极限的问题。反之，若两个单项极限有一个不存在，则极限和 lim f(x)lim g(x)没有意义，自然也没有确定结果，但此时两函数和的极限 lim f(x)g(x)却可以有意义，也可能存在。,定理结论可分为定性和定量的两个部分。定性结论是：和的极限 lim f(x)g(x)存在。此结论通常用于判别和函数极限的存在性。定量结论是：和的极限等于极限的和，即 lim f(x)

4、g(x)=lim f(x)lim g(x).此结论通常用于和函数极限的计算。,对定理 1 结论的理解,由归纳法原理，定理 1 可推广至有限多个函数的和的情形，即 如果 lim fi(x)=A i，(i=1,2,n)，则 存在，且有 需注意的是，定理 1 的结论不能推广至无穷多个函数和的情形，即无穷多个函数的和的极限未必等于各函数极限的和。,定理 1 的推广,例：求极限 这是 n-1 项的和的求极限问题，当 n 时，就成了无穷多项和的极限问题。对此和式中的任一项 容易求得有那么是否有,三角形面积可近似地表为各小矩形面积之和,为应用和的极限运算法则进行计算，可考虑将给定的无穷和转化为有限和。因为,

5、(3)函数乘积的极限,如果 lim f(x)=A，lim g(x)=B，则lim f(x)g(x)存在，且有 lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x).,按条件，由极限与无穷小的关系有 f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中 lim(x)=0，lim(x)=0.对不受极限号约束的函数形式有 f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=A B+A(x)+B(x)+(x)(x).由无穷小的运算性质知(x)=A(x)+B(x)+(x)(x)为无穷小，故有 f(x)g(x)=A B+(x)，lim(x)=0.即 lim f(x)g(x)=A B=lim f(x)lim g

6、(x).,由归纳法原理，定理 2 可推广至有限多个函数的乘积的情形，即 如果 lim fi(x)=A i，(i=1,2,n)，则 存在，且有 需注意的是，定理 2 不能推广至无穷多个函数的乘积情形，即无穷多个函数的乘积的极限未必等于各函数极限的乘积。,定理 2 的推广,如果 lim f(x)存在，而 n 为正整数，则 lim f(x)n=lim f(x)n.如果 lim f(x)存在，而 C 为常数，则 lim C f(x)=C lim f(x).,推论1 f(x)g(x)推论2 g(x)C,对初等函数的讨论，所遇到的幂函数指数常常不一定是正整数，因此推论 1 的应用会出现一些问题。由复合函数

7、的极限运算性质还可得到如下更具一般性的结果：若 lim f(x)=A 0，则对一切实数 有 lim f(x)=lim f(x).,(5)函数商的极限,如果 lim f(x)=A，lim g(x)=B，且 B 0，则 由极限与无穷小的关系，为证明此商的极限运算法则，可设法证明在自变量的一定趋向下 为无穷小。为证(x)为无穷小，首先需使(x)有意义，即使 g(x)在自变量的相应趋向下没有零点。,证明 x x 0 时的情形。因为 由局部保号性定理可推出，存在 1 0，使得当 0 x-x 0 1 时从而当 0 x-x 0 1 时，总有意义。因为 f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中,由无穷

8、小的性质知，当 x x 0 时，B(x)+A(x)为无穷小，故要证(x)为无穷小，只需证在点 x 0 的某邻域内有界。因为当 x x 0 时，(x)为无穷小，由极限定义知 对，存在满足条件 1 2 0 的 2，使得当 0 x-x 0 2 时有,于是有即当 0 x-x 0 2 时 有界。从而当 x x 0 时 为无穷小。由极限与无穷小的关系知,证明 x 时的情形。因为 由局部保号性定理可推出，存在 X 1 0，使得当 x X 1 时从而当 x X 1 时，总有意义。因为 f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中,由无穷小的性质知，当 x 时，B(x)+A(x)为无穷小，故要证(x)为无穷

9、小，只需证在当 x 的充分大时有界。因为当 x 时，(x)为无穷小，由极限定义知 对，存在满足条件 X 2 X 1 0 的 X 2，使得当 x X 2 时有,于是有即当 x X 2 时 有界。从而当 x 时 为无穷小。由极限与无穷小的关系知,如果(x)(x)，而 lim(x)=a,lim(x)=b,那么 a b.如果将定理 1 3 理解成在等式两边实施极限运算的条件和规则的话，定理 4 则可理解成在不等式两边实施极限运算的条件和规则，即如果(x)(x)，而 lim(x),lim(x)存在，则可在不等式(x)(x)两边取极限，且有 lim(x)lim(x).,作辅助函数 f(x)=(x)-(x)

10、.由和的极限运算法则有 lim f(x)=lim(x)-(x)=lim(x)-lim(x)=a-b.由条件知 f(x)=(x)-(x)0，故由局部保号性定理推论有 lim f(x)0，即有 a-b 0，因此 a b.,条件(x)(x)仅是局部性的要求，并非要求在函数(x)、(x)的定义域内恒成立，方可在其两边取极限。对 x x 0 的情形，不等式(x)(x)仅要求在点x 0 的某空心邻域内成立即可。对 x 的情形，不等式(x)(x)仅要求对某个正数 X，当 x X 时成立即可。,对定理 4 条件的理解,定理 4 可理解为在不等式两边取极限的运算条件和规则，需注意的是，若将条件改成(x)(x)，

11、定理结果仍为 a b，即 如果(x)(x)，而 lim(x)=a,lim(x)=b,那么 a b.不能将此定理想当然地推广为 如果(x)(x)，而 lim(x)=a,lim(x)=b,那么 a b.,对定理 4 结论的理解,例：设(x)=x 4+x 2+1，(x)=x 2+1，由极限运算法则容易求得 结果分析：由给定函数表达式易见，当 x 0 时有 x 4+x 2+1=(x)(x)=x 2+1，因此由(x)(x)只能导出 lim(x)lim(x).,用极限四则运算法则讨论和计算函数极限，首先需注意的是，这些法则都是在一定条件下成立的，应用时应注意考察相应条件是否满足。只有当运算法则条件满足时，

12、才能应用这些法则进行计算。然而，对于某些极限，尽管其不满足运算法则的条件，极限却仍可能存在。因此，从计算角度可将极限可分为两类，一类称之为“定式”，一类称之为“不定式”。,所谓“定式”就是满足极限运算法则条件的极限式,而“不定式”则是指虽不满足极限运算法则条件，但其极限仍可能存在的那类极限式。对于“定式”，只需按极限运算法则计算就可以了，而对于“不定式”，通常不能直接根据法则计算，而需先对给定“不定式”进行适当的变形或转化，使其满足运算法则条件，再考虑按极限运算法则进行计算。由于“定式”计算相对简单，所以极限计算主要研究“不定式”的计算。,(1)定式极限的计算,例：求极限 对此三次多项式的极限

13、计算，由极限的加法及乘法运算法则有 需注意的是：此处计算的是三次多项式的极限值，而不是函数值，即并不是将 x=1 代入该三次多项式求得的值。,由于多项式总是经由加法和乘法运算构成的，因此本例的计算过程也适用于一般多项式在一点 x 0 处的极限的计算。对于一般的多项式 P n(x)=a 0 x n+a1 x n-1+a n-1 x+a n，求其在一点 x=x 0 处的极限 可作如下计算 因为对 1 k n 有 于是由极限运算法则有,例：求极限 对此分式的极限，考虑由极限的运算法则进行计算，为此先验证商的极限运算法则条件是否满足。因为 因此由商的极限运算法则有,由于有理分式函数总是经由加、减、乘、

14、除四种运算构成的，因此本例的计算过程也适用于一般有理分式函数在一点 x 0 处的极限计算。对于一般的有理分式函数 P m(x)=a 0 x m+a1 x m-1+a m-1 x+a m，Q n(x)=b 0 x n+b 1 x n-1+b n-1 x+b n，Q n(x0)0,求其在一点 x=x 0 处的极限 可作如下计算 由于故由商的极限法则有,由上计算看出，对有理函数 f(x)而言，只要 f(x)在点 x 0 处有定义，则当 x x 0 时，f(x)的极限必存在,且其极限值等于 f(x)在点 x 0 处的函数值。此处不加证明地指出：一切基本初等函数在其定义域内都具有这样的性质，即若 f(x

15、)是基本初等函数,其定义域为 D f，则当 x0 D f 时有 由此可得计算基本初等函数在一点处的极限的一种简便的方法：为求基本初等函数在其定义域内的点 x 0 处的极限，只需计算函数在该点处的函数值即可。,(2)不定式极限的计算,例：求极限 这是个商的极限问题，由于不能直接应用商的极限运算法则计算。注意到，故对此分母为无穷小的 商的极限，可利用无穷小与无穷大的关系进行计算。因为 故有,例：求极限 这是个商的极限问题，由于不能用商的极限运算法则计算。同时由于 故也不能利用无穷小与无穷大的关系进行计算。对此“0/0”型的不定式，由于其分子、分母是同类函数，因而它们必有公共的零因子，故可考虑消去二

16、二者公共的零因子，将其转化为定式进行计算。,本例的方法具有一般性，即对于“0/0”型不定式,若其分子、分母是同类函数，可设法先将分子、分母的零因子分离出来，并通过消去公共的零因子，将其转化为定式计算，这一方法称为“无穷小分离法”。,例：求极限 对此“0/0”型不定式，由于其分子、分母是同类函数，故必有公共零因子，因此可考虑分离并消去公共零因子，将其转化为定式进行计算。,例：设 P m(x)=a 0 x m+a1 x m-1+a m-1 x+a m，Q n(x)=b 0 x n+b 1 x n-1+b n-1 x+b n，其中 a 0 0，b 0 0，求：这是个有理分式求 x 时的极限问题。容易

17、看出它是个“/”型不定式。由于该有理式的分子、分母是同类函数，因此想到，在分离出二者的公共无穷大因子并消去，将其转化为定式计算。“/”型不定式极限的存在性取决于分子、分母趋于无穷的速度之比，即取决于二者的无穷大级别。本例分子、分母的无穷大因子的级别显然与 m、n 有关，因此应就 m、n 的不同取值进行讨论。,m=n，即 n-m=0,m 0,综上讨论有,m n，即 m-n 0,本例所用的方法称为无穷大分离法。对于“/”型不定式，若其分子、分母是同类函数，可设法先将二者的无穷大因子分离出来，并通过消去公共的无穷大因子将其转化为定式进行计算。消去无穷大因子的方法是，通过观察确定分子、分母中级别最高的

18、无穷大因子，然后在分离出该无穷大因子并消去。因此，应用无穷大分离法的关键是确定分子、分母中级别最高的无穷大因子。,例：求极限 对此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是无理式，考虑分离并消去公共无穷大因子。观察分子、分母形式可见，其间最大的公共无穷大因子为 n.,此式已是定式,例：求极限 容易看出这是个“/”型不定式求极限问题。对此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是多项式，属同类函数，故考虑用无穷大分离法求之。观察可见，分子、分母均是 50 次多项式，其间最大的公共无穷大因子为 x 50.,已是定式,“0/0”和“/”型不定式是两类基本的分式型不定式。分式型不定式的特点是便于约简，当分子分

19、母为同类函数时，这两类不定式常可通过无穷小(无穷大)分离法约去公共因子，使其转化为定式的极限计算，因而它们成为各类不定式计算常用的“中转站”。对于各类其它形式的不定式，可先设法将其转化为“0/0”型或“/”型不定式，再考虑对其进行化简和计算。,例：求极限 这是个“-”型的不定式极限，不能直接按差的极限运算法则计算。因此考虑先将其化为分式型极限，再设法约去公共因子将其转化为定式进行计算。,已是定式,例：求极限 这是无穷多项和的极限，不能直接按和的极限运算法则计算，考虑先将无穷和化为有限和再求极限。由自然数平方和公式有,已是定式,错误原因：和的极限运算法则不能推广至无穷多项和的情形。,例：求极限

20、这是无穷多项和的极限问题，为计算极限，宜先将无穷和化为有限和。由此数列各项形式联想到其各项是由简单分式通分而来的，于是考虑先将其还原为简单分式再作计算。,函数复合是构成初等函数的一种基本方式，理解和掌握复合函数取极限法则是掌握极限运算的基本要求。复合函数取极限问题较极限的四则运算法则要复杂得多。因为在复合函数中，因变量对自变量的依赖关系是间接的，且其间还涉及内层函数值域与外层函数定义域的包容性问题。这里不对复合函数取极限问题作较深入的讨论，但对其意义及应用必须理解。,(1)复合函数取极限问题,设有复合函数 y=f(x)，考虑取极限问题:由函数复合过程想到，复合函数取极限问题应考虑如何由简单函数

21、的极限确定复合函数极限，即 考虑极限 是否存在？若其存在，考虑是否有,设函数 u=(x)当 x x 0 时极限存在且等于a，即 而函数 y=f(u)在点 a 处有定义，且 那么复合函数 f(x)当 x x 0 时的极限也存在，且等于 f(a)，即,因为，故由定理 5 有即在定理 5的条件下，复合函数求极限运算与函数运算可以交换次序。利用这一结果常可方便地计算某些较复杂的复合函数的极限。,极限运算与函数运算交换次序问题,因为，由定理 5 有 因此由定理 5的可建立一种复合函数求极限的变量代换法，从而复合函数 f(x)的求极限运算可以通过代换 u=(x)化为简单函数 y=f(u)的极限计算,应用这

22、一方法常可将复杂的复合函数极限计算化为简单函数的极限计算。,复合函数求极限的变量代换法,例：求极限 这是个“0/0”型的不定式极限计算问题。注意到此极限是个复合函数的极限问题，而根号内的分式不定式的极限是易于计算的，因此可通过交换函数运算和极限运算的次序来求此极限。,例：求极限 这是个“0/0”型的不定式极限计算问题。对此分式不定式，由于其含高次无理式，要直接分离出分子、分母的公共零因子比较麻烦。为此考虑通过适当变量代换将其转化为有理式再进行计算。对本例，可选取 作为新的变量,再对分式中的其余部分作相应的变形。,令 u=(x)=，即 x=(1+u)n-1，则当 x 0 时，u 0，且(x)=，于是,Thank You,