极限存在性的判定与求法.ppt

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1、期中考试安排,考试时间：2011，11，10，上午,2.3 极限存在性的判定和求法,一、极限存在性的判定,1、夹逼定理,定理,应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，不但要,满足不等式，而且二者的极限要相等。,设数列 xn,yn,zn 满足下列关系:,(2),则,夹逼定理：,例1,答案 1,解,2、单调有界性定理,定义,有界。,定义,单调递增；,单调递减。,定理,单调有界数列必有极限。,单调收敛准则,单调减少有下界的数列必有极限.,单调增加有上界的数列必有极限.,通常说成：单调有界的数列必有极限.,例3,答案,例 4.设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项

2、相消”法,例5.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,二、两个重要极限,首先看看在计算机上,进行的数值计算结果：,第一个重要极限：,其中的两个等号只在x=0时成立.,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,则sin x=BD，tan x=AC，,当 时,首先证明不等式,当 时有,即当 时,而当 时有,从而,即当 时有,这就证明了不等式.,从而有,由夹逼准则，即得,第一个重要极限：,这是因为，令u=a(x)，,则u 0，于是,解：,例3,例4,解：,重要极限(I)：,例5,解：,重要极限(I)：,求,故,解,(2),求(1),请自己动手做一下,(1),解,(2),解,由三角函数公式,

3、求,解,故 原式,解 利用重要极限，有,例10.求,解:,原式,2.重要极限,变量代换,其中e是一个常数，其近似值为：e2.。,第二个重要极限：,下页,*证,由中学的牛顿二项式展开公式,类似地,有,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1.,*证,综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为 e,即,e 称为欧拉常数.,如果可行,则可以利用极限运算性质,得到所需的结论吗？,*证明,因为 x+,故不妨设 x 0.,由实数知识,总可取 n N,使 n x n+1,故,我们作变量代换,将它归为 x+的,情形即可.,想想,作一个什么样的代换？,*再证明,

4、由,最后证明,现在证明,令,t,则 x 0时,故,于是有,证,综上所述,得到以下公式,一般地,两个重要极限,或,思考与练习,填空题(14),重要极限(II)：,例1.求下列极限,=e-1e=1。,例2,解：,重要极限(II)：,例3思考题：求极限,解 原式,求,解,重要极限(II)：,(1),求,解,解,此题的另一解法：,解,注意：,求,解,又,故,常用的方法,例8 设有本金1000元，若用连续复利计算，年利 率为8%，问5年末可得本利和为多少？,解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为,若复利一年计算n次，则x年末本利和为,x,年末本利和为,所以,例9.已知,求 c.,本周作业：,答案：1,12.已知 求a的值。,答案：1,